Introduzione
Nel 2009, una coppia di astronomi dell'Osservatorio di Parigi ha annunciato una scoperta sorprendente. Dopo aver costruito un modello computazionale dettagliato del nostro sistema solare, hanno corso migliaia di simulazioni numeriche, proiettando i moti dei pianeti miliardi di anni nel futuro. Nella maggior parte di quelle simulazioni, che variavano il punto di partenza di Mercurio su un raggio di poco meno di 1 metro, tutto procedeva come previsto. I pianeti continuarono a ruotare attorno al sole, tracciando orbite a forma di ellisse che sembravano più o meno le stesse che hanno nel corso della storia umana.
Ma circa l'1% delle volte le cose sono andate di traverso, letteralmente. La forma dell'orbita di Mercurio è cambiata in modo significativo. La sua traiettoria ellittica si è gradualmente appiattita, fino a quando il pianeta è precipitato nel sole o si è scontrato con Venere. A volte, mentre tagliava il suo nuovo percorso attraverso lo spazio, il suo comportamento destabilizzava anche altri pianeti: Marte, per esempio, poteva essere espulso dal sistema solare o schiantarsi contro la Terra. Venere e la Terra potrebbero, in una lenta danza cosmica, scambiarsi orbite diverse volte prima di scontrarsi.
Forse il sistema solare non era così stabile come si pensava una volta.
Per secoli, da quando Isaac Newton ha formulato le sue leggi del moto e della gravità, matematici e astronomi hanno affrontato questo problema. Nel modello più semplice del sistema solare, che considera solo le forze gravitazionali esercitate dal sole, i pianeti seguono le loro orbite ellittiche come un orologio per l'eternità. "È una specie di immagine confortante", ha detto Riccardo Moeckel, un matematico dell'Università del Minnesota. "Andrà avanti per sempre, e noi saremo lontani da tempo, ma Giove continuerà a girare."
Ma una volta che si tiene conto dell'attrazione gravitazionale tra i pianeti stessi, tutto diventa più complicato. Non puoi più calcolare esplicitamente le posizioni e le velocità dei pianeti per lunghi periodi di tempo e devi invece porre domande qualitative su come potrebbero comportarsi. Gli effetti dell'attrazione reciproca dei pianeti potrebbero accumularsi e rompere il meccanismo dell'orologio?
Simulazioni numeriche dettagliate, come quelle pubblicate dall'Osservatorio di Parigi Jacques Laskar ed Mickaël Gastineau nel 2009, suggeriscono che c'è una piccola ma reale possibilità che le cose vadano in tilt. Ma quelle simulazioni, sebbene importanti, non sono la stessa cosa di una dimostrazione matematica. Non possono essere completamente precisi e, come mostrano le stesse simulazioni, una piccola imprecisione potrebbe, nel corso di miliardi di anni simulati, portare a risultati molto diversi. Inoltre, non forniscono una spiegazione di fondo del motivo per cui alcuni eventi potrebbero svolgersi. "Vuoi capire quali meccanismi matematici guidano le instabilità e dimostrare che esistono davvero", ha detto Marcel Guardia, un matematico dell'Università di Barcellona.
Introduzione
Ora, in tre carte che insieme superare le 150 pagine, Guàrdia e due collaboratori hanno dimostrato per la prima volta che l'instabilità sorge inevitabilmente in un modello di pianeti in orbita attorno a un sole.
"Il risultato è davvero molto spettacolare", ha detto Gabriella Pinzari, fisico matematico presso l'Università di Padova in Italia. "Gli autori hanno dimostrato un teorema che è uno dei più bei teoremi che si possano dimostrare." Potrebbe anche aiutare a spiegare perché il nostro sistema solare ha l'aspetto che ha.
Quattro pagine e una nuova storia
Secoli fa, era già chiaro che le interazioni tra i pianeti potevano avere effetti a lungo termine. Considera Mercurio. Ci vogliono circa tre mesi per viaggiare intorno al sole su un percorso ellittico. Ma anche quel percorso ruota lentamente: un grado ogni 600 anni, una rotazione completa ogni 200,000. Questo tipo di rotazione, noto come precessione, è in gran parte il risultato di Venere, Terra e Giove che attraggono Mercurio.
Ma la ricerca nel XVIII secolo di giganti matematici come Pierre-Simon Laplace e Joseph-Louis Lagrange ha indicato che, a parte la precessione, le dimensioni e la forma dell'ellisse sono stabili. Fu solo alla fine del XIX secolo che questa intuizione iniziò a cambiare, quando Henri Poincaré scoprì che anche in un modello con solo tre corpi (diciamo, una stella orbitata da due pianeti), è impossibile calcolare soluzioni esatte alle equazioni di Newton. "La meccanica celeste è una cosa delicata", ha detto Raffaele de la Llave, un matematico del Georgia Institute of Technology. Modificando le condizioni iniziali di un capello, ad esempio spostando la posizione presunta di un pianeta di un mero metro, come hanno fatto Laskar e Gastineau nelle loro simulazioni, e su lunghe scale temporali il sistema può apparire molto diverso.
Nel problema dei tre corpi, Poincaré trovò un groviglio di possibili comportamenti così complicato che in un primo momento pensò di aver commesso un errore. Una volta accettata la verità dei suoi risultati, non fu più possibile dare per scontata la stabilità del sistema solare. Ma poiché lavorare con le equazioni di Newton è così difficile, non era chiaro se il comportamento del sistema solare potesse essere complicato e caotico solo su piccola scala - i pianeti potrebbero finire in posizioni diverse all'interno di una banda prevedibile, per esempio - o se , come avrebbero infine dimostrato Guàrdia e i suoi collaboratori nel loro modello, le dimensioni e la forma delle orbite potrebbero cambiare così tanto che i pianeti potrebbero presumibilmente schiantarsi l'uno contro l'altro o viaggiare all'infinito.
Poi, nel 1964, il matematico Vladimir Arnold scrisse a carta di quattro pagine che ha stabilito il linguaggio giusto per inquadrare il problema. Ha trovato una ragione specifica per cui le variabili chiave in un sistema dinamico potrebbero cambiare in grande stile. Per prima cosa, ha inventato un esempio artificiale, una strana miscela di un pendolo e un rotore che non assomigliava minimamente a nulla che potresti incontrare in natura. In questo modello di giocattolo, ha dimostrato che, dato abbastanza tempo, certe quantità che di solito rimangono costanti possono cambiare di grandi quantità.
Arnold ha quindi ipotizzato che la maggior parte dei sistemi dinamici dovrebbe mostrare questo tipo di instabilità. Nel caso del sistema solare, ciò potrebbe significare che le forme orbitali, o eccentricità, di alcuni pianeti potrebbero potenzialmente spostarsi nel corso di miliardi di anni.
Ma mentre i matematici e i fisici alla fine hanno fatto molti progressi nel dimostrare che l'instabilità sorge in generale, hanno faticato a dimostrarlo per i modelli celesti. Questo perché l'effetto gravitazionale del sole è così straordinariamente forte che molte caratteristiche del modello planetario a orologeria persistono anche quando si considerano le forze aggiuntive esercitate dai pianeti. (In questo contesto, la meccanica newtoniana fornisce un'approssimazione della realtà così buona che questi modelli non hanno bisogno di considerare gli effetti della relatività generale.) Tale stabilità intrinseca rende difficile rilevare l'instabilità.
I parametri che sono rimasti così stabili nei calcoli eseguiti da Laplace, Lagrange e altri potrebbero davvero cambiare in modo significativo? "Devi gestire un'instabilità che è estremamente debole", ha detto Laurent Niedermann dell'Università di Parigi-Saclay. I soliti metodi non lo prenderanno.
Le simulazioni numeriche offrivano la speranza che la ricerca di una tale dimostrazione non fosse stata vana. E c'erano prove preliminari. Nel 2016, ad esempio, de la Llave e due colleghi comprovata instabilità in un modello di meccanica celeste semplificato costituito da un sole, un pianeta e una cometa, dove si presumeva che la cometa non avesse massa e quindi nessun effetto gravitazionale sul pianeta. Questa configurazione è nota come "ristretta" n- problema del corpo.
I nuovi giornali affrontano un vero n-problema del corpo - che mostra che l'instabilità si verifica in un sistema planetario in cui tre piccoli corpi ruotano attorno a un sole molto più grande. Anche se le dimensioni e la forma delle orbite potrebbero impiegare molto tempo a oscillare attorno a valori fissi, alla fine cambieranno radicalmente.
C'era da aspettarselo - era opinione diffusa che stabilità e instabilità coesistessero in questo tipo di modello - ma i matematici furono i primi a dimostrarlo.
L'ultima instabilità
Insieme a Jacques Fejoz dell'Università di Paris Dauphine, Guàrdia ha tentato per la prima volta di dimostrare l'instabilità nel problema dei tre corpi (un sole, due pianeti) nel 2016. Sebbene siano stati in grado di dimostrarlo sorsero dinamiche caotiche nel sapore di Poincaré, non potevano dimostrare che questo comportamento caotico corrispondesse a cambiamenti ampi ea lungo termine.
Andrea Clarke, un postdoc che studia con Guardia, si è unito a loro nel settembre 2020, e hanno deciso di riprovare il problema, questa volta aggiungendo un pianeta in più al mix. Nel loro modello, tre pianeti ruotano attorno a un sole a distanze sempre maggiori l'uno dall'altro. Fondamentalmente, il pianeta più interno inizia a orbitare con un'inclinazione significativa rispetto al secondo e al terzo pianeta, in modo che il suo percorso formi praticamente un angolo retto rispetto al loro.
Questa inclinazione ha permesso ai matematici di trovare condizioni iniziali che si traducono in instabilità.
Hanno mostrato l'esistenza di traiettorie che hanno portato praticamente a qualsiasi possibile eccentricità per il secondo pianeta: nel tempo, è stato possibile che la sua ellisse si appiattisse fino a sembrare quasi una linea retta. Nel frattempo, anche le orbite del secondo e del terzo pianeta, che erano iniziate sullo stesso piano, potrebbero finire perpendicolari tra loro. Il secondo pianeta potrebbe anche capovolgersi di 180 gradi, in modo che mentre tutti i pianeti avrebbero potuto inizialmente muoversi in senso orario attorno al sole, il secondo ha finito per muoversi in senso antiorario. "Immagina di guardare avanti di un milione di anni e Marte sta andando nella direzione opposta", ha detto Riccardo Montgomery dell'Università della California, Santa Cruz. "Sarebbe strano."
"Non puoi evitare orbite molto selvagge, anche in questo ambiente semplice", ha detto Niederman.
Anche così, le dimensioni delle orbite sono rimaste stabili. Questo perché in questo modello, i pianeti si muovono intorno al sole molto velocemente rispetto al tempo necessario per la precessione delle loro orbite, consentendo ai matematici di sorvolare sulle variabili "veloci" relative ai moti dei pianeti. "È noioso pensare a ciò che accade ogni anno se ciò che ti interessa veramente è ciò che accade nel corso di mille anni", ha detto Moeckel. Le oscillazioni nella dimensione di ciascuna ellisse (misurata in termini di raggio lungo, o semiasse maggiore) si esauriscono.
Questo non era sorprendente. "La conoscenza comune dice che l'inclinazione e l'eccentricità dovrebbero essere più instabili del semiasse maggiore", ha detto Guàrdia. Ma poi lui e i suoi colleghi si sono resi conto che se avessero posizionato il terzo pianeta ancora più lontano dal sole, avrebbero potuto aggiungere più instabilità al loro modello.
Questo nuovo sistema e le equazioni che lo governavano erano più complicati, ei matematici non erano sicuri di poter ottenere alcun risultato. Ma "era troppo da ignorare", ha detto Clarke. "Se c'era la possibilità di mostrare che i semiassi maggiori potevano andare alla deriva, allora voglio dire, devi perseguirlo."
Laskar, che ha guidato gran parte del lavoro numerico sull'instabilità nel sistema solare, ha detto che se sovrapponi questo tipo di sistema solare al nostro, potresti vedere il primo pianeta annidato proprio contro il sole, il secondo pianeta dove la Terra sarebbe be, e il terzo pianeta fino alla Nube di Oort, ai limiti esterni del nostro sistema solare. (Di conseguenza, ha aggiunto, questa rappresenta una "situazione molto estrema" - una che non si aspetta necessariamente di trovare nella nostra galassia.)
Maggiore è la distanza di un pianeta dal sole, maggiore è il tempo necessario per completare un'orbita. In questo caso, il terzo pianeta è così lontano che la precessione dei due pianeti interni avviene a un ritmo più veloce. Non è più possibile calcolare la media del moto dell'ultimo pianeta, uno scenario che Lagrange e Laplace non hanno considerato nei loro resoconti sulla stabilità del sistema solare. "Questo cambierà completamente la struttura dell'equazione", ha detto Alain Chenciner, matematico anche all'Osservatorio di Parigi. Ora c'erano più variabili di cui preoccuparsi.
Clarke, Fejoz e Guardia hanno dimostrato che le orbite possono diventare arbitrariamente grandi. "Finalmente riescono ad aumentare le dimensioni dell'orbita, al contrario solo della forma o qualcosa del genere", ha detto Moeckel. "Questa è la massima instabilità."
Anche se questi cambiamenti si sono accumulati molto lentamente, si sono comunque verificati più rapidamente di quanto ci si potesse aspettare, suggerendo che in un sistema planetario realistico, i cambiamenti potrebbero accumularsi in centinaia di milioni di anni, anziché in miliardi.
Introduzione
I risultati forniscono una potenziale spiegazione del motivo per cui i pianeti nel nostro sistema solare hanno orbite che giacciono tutte quasi sullo stesso piano. Mostra che qualcosa di semplice come un ampio angolo di inclinazione può essere fonte di una grande quantità di instabilità, su più fronti. "Se inizi con una situazione in cui le inclinazioni reciproche sono piuttosto grandi, allora distruggerai il sistema abbastanza 'rapidamente'", ha detto Chenciner. "Sarebbe stato distrutto centinaia, migliaia di secoli fa."
Autostrade ad alta dimensione
Queste prove hanno richiesto un'intelligente combinazione di tecniche di geometria, analisi e dinamica e un ritorno alle definizioni di base.
I matematici rappresentavano ogni configurazione del loro sistema planetario (le posizioni e le velocità dei pianeti) come un punto in uno spazio ad alta dimensione. Il loro obiettivo era mostrare l'esistenza di "autostrade" attraverso lo spazio che corrispondono, per esempio, a grandi cambiamenti nell'eccentricità del secondo pianeta o nel semiasse maggiore del terzo pianeta.
Per fare ciò, dovevano prima esprimere ogni punto in termini di coordinate così esoteriche e complesse che quasi nessuno ne aveva mai sentito parlare, figuriamoci provare a usarle. (Le coordinate sono state scoperte all'inizio degli anni '1980 dall'astronomo belga André Deprit, poi dimenticate e successivamente scoperte in modo indipendente da Pinzari nel 2009 mentre stava lavorando alla sua tesi di dottorato. Da allora sono state usate a malapena.)
Usando le coordinate di Deprit per descrivere il loro spazio ad alta dimensione delle configurazioni planetarie, i matematici hanno acquisito una comprensione più profonda della sua struttura. "Fa parte della bellezza della prova: riuscire a gestire questa geometria a 18 dimensioni", ha detto Fejoz.
Fejoz, Clarke e Guàrdia trovarono autostrade che attraversavano diverse regioni speciali in quello spazio. Hanno quindi utilizzato la loro nuova comprensione geometrica per dimostrare che le autostrade corrispondevano a dinamiche instabili nella dimensione e nella forma delle orbite dei pianeti.
“Quando ho finito il mio dottorato di ricerca. 30 anni fa", ha detto Niederman, "eravamo estremamente, estremamente lontani da questo tipo di risultati".
"È un sistema così complicato che hai la sensazione che tutto ciò che non è ovviamente proibito dovrebbe accadere", ha detto Chenciner. "Ma di solito è molto difficile dimostrarlo."
I matematici ora sperano di utilizzare le tecniche di Clarke, Fejoz e Guàrdia per dimostrare l'instabilità in modelli che assomigliano di più al nostro sistema solare. Questi tipi di risultati stanno diventando particolarmente significativi man mano che gli astronomi scoprono sempre più esopianeti in orbita attorno ad altre stelle, mostrando un'ampia gamma di configurazioni. "È come un laboratorio aperto", ha detto Mariano Gidea, un matematico della Yeshiva University. “Capire sulla carta quali tipi di evoluzioni dei sistemi planetari possono verificarsi e confrontarli con ciò che si è in grado di osservare è molto eccitante. Fornisce molte informazioni sulla fisica del nostro universo e su quanto di questo la nostra matematica è in grado di catturare attraverso modelli relativamente semplici».
Nella speranza di fare un simile confronto, Fejoz ha parlato con un paio di astronomi dell'identificazione di sistemi extrasolari che assomigliano, anche vagamente, al modello che lui e i suoi colleghi hanno sviluppato. Altri ricercatori, tra cui Gidea, affermano che il lavoro potrebbe essere utile per progettare traiettorie efficienti per satelliti artificiali o per capire come spostare le particelle ad alta velocità attraverso un acceleratore di particelle. Come disse Pinzari, "La ricerca nella meccanica celeste è ancora molto viva".
L'obiettivo finale sarebbe dimostrare l'instabilità nel nostro sistema solare. "Mi sveglio nel cuore della notte pensandoci", ha detto Clarke. “Direi che sarebbe il vero sogno, ma sarebbe un incubo, no? Perché saremmo fregati.
Correzione: 16 Maggio 2023
Questo articolo è stato rivisto per riflettere sul fatto che Marcel Guardia è professore all'Università di Barcellona. Si è trasferito dall'Università Politecnica della Catalogna nell'estate del 2022.
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