Probabilità e teoria dei numeri si scontrano - in un momento

Le loro ambizioni erano sempre alte. Quando Will Sawin e Melanie Matchett Wood hanno iniziato a lavorare insieme nell'estate del 2020, hanno deciso di ripensare i componenti chiave di alcune delle congetture più allettanti della teoria dei numeri. Gli argomenti della loro attenzione, i gruppi di classe, sono intimamente legati a domande fondamentali su come funziona l'aritmetica quando i numeri vengono estesi oltre i numeri interi. Sawin, presso la Columbia University, e Legno, ad Harvard, ha voluto fare previsioni su strutture ancora più generali e matematicamente intimidatorie del gruppo classe.

Ancor prima di aver finito di formulare le loro previsioni, in ottobre hanno dimostrato a nuovo risultato che consente ai matematici di applicare uno degli strumenti più utili della teoria della probabilità non solo a gruppi di classi, ma anche a raccolte di numeri, reti e molti altri oggetti matematici.

"Questo sarà solo il documento fondamentale a cui tutti si rivolgono quando iniziano a pensare a questi problemi", ha detto David Zureick-Brown, un matematico della Emory University. "Non sembra più che tu debba inventare le cose da zero."

Un atto di classe

Un gruppo classe è un esempio di un insieme matematico strutturato chiamato gruppo. I gruppi includono molti insiemi familiari, come gli interi. Ciò che rende gli interi un gruppo, piuttosto che un semplice insieme di numeri, è che puoi sommare i suoi elementi e ottenere un altro intero. In generale, un insieme è un gruppo se viene fornito con un'operazione che, come l'addizione, combina due elementi in un terzo elemento in un modo che soddisfi alcuni requisiti di base. Ad esempio, dovrebbe esserci una versione di zero, un elemento che non cambia nessuno degli altri.

Gli interi, che i matematici di solito chiamano $latex mathbb{Z}$, sono infiniti. Ma molti gruppi hanno un numero finito di elementi. Ad esempio, per creare un gruppo con quattro elementi, considera l'insieme {0, 1, 2, 3}. Invece di eseguire l'addizione regolare, dividi la somma di due numeri qualsiasi per 4 e prendi il resto. (Secondo queste regole, 2 + 2 = 0 e 2 + 3 = 1.) Questo gruppo è chiamato $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

In generale, se vuoi creare un gruppo con $latex n$ elementi, puoi prendere i numeri da zero a zero n – 1 e considera il resto quando dividi per n. Il gruppo risultante è chiamato $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, anche se questo non è sempre l'unico gruppo con n elementi.

Il gruppo classe appare quando i teorici dei numeri studiano la struttura dei numeri al di là degli interi. Per fare ciò, aggiungono nuovi numeri agli interi, come ad esempio i (la radice quadrata di −1), $latex sqrt{5}$, o anche $latex sqrt{–5}$.

“Le cose a cui siamo abituati sui numeri non sono più vere in questo contesto. O almeno, non sono necessariamente vere”, ha detto Giordano Elenberg, un matematico dell'Università del Wisconsin, Madison.

In particolare, il factoring funziona in modo diverso nelle estensioni degli interi. Se ti attieni solo ai numeri interi, i numeri possono essere scomposti in numeri primi (numeri che possono essere divisi solo per se stessi e 1) in un solo modo. Ad esempio, 6 è 2 × 3 e non può essere scomposto in altri numeri primi. Questa proprietà è chiamata fattorizzazione unica.

Ma se aggiungi $latex sqrt{–5}$ al tuo sistema numerico, non hai più la fattorizzazione unica. Puoi fattorizzare 6 in numeri primi in due modi diversi. È ancora 2 × 3, ma è anche $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

I gruppi di classi vengono creati da tali estensioni agli interi. "I gruppi di classe sono incredibilmente importanti", ha detto Wood. "E quindi è naturale chiedersi: come sono di solito?"

La dimensione del gruppo di classi associato a qualsiasi estensione degli interi è un barometro di quanto la fattorizzazione univoca si rompe. Sebbene i matematici abbiano dimostrato che i gruppi di classi sono sempre finiti, capire la loro struttura e dimensione è complicato. Ecco perché nel 1984, Henri Cohen e Hendrik Lenstra azzardato qualche ipotesi. Le loro congetture, ora chiamate euristiche di Cohen-Lenstra, riguardavano tutti i gruppi di classi che compaiono quando si aggiungono nuove radici quadrate agli interi. Se tutti quei gruppi di classe fossero riuniti insieme, Cohen e Lenstra suggerirebbero risposte a domande come: quale percentuale di essi contiene il gruppo $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? O $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? O qualche altro tipo noto di gruppo finito?

Cohen e Lenstra hanno spinto i teorici dei numeri a considerare non solo esempi isolati di gruppi di classe, ma statistiche che sono alla base dei gruppi di classe nel loro insieme. Le loro previsioni attingevano a una visione della matematica come un universo con schemi da scoprire a ogni livello.

Quasi 40 anni dopo, l'euristica di Cohen-Lenstra è ampiamente ritenuta vera, anche se nessuno si è avvicinato a dimostrarla. Il loro impatto sulla matematica è stato palpabile, ha affermato Nigel Boston, professore emerito all'Università del Wisconsin, a Madison. "Ciò che è stato scoperto è questa fantastica rete", ha detto. "C'è questa enorme infrastruttura del modo in cui pensiamo che il mondo sia messo insieme."

L'unico gioco in città

Incapaci di affrontare direttamente l'euristica, i matematici hanno escogitato problemi più trattabili che speravano potessero illuminare la situazione. Da quel lavoro emerse un utile insieme di quantità che i matematici iniziarono a chiamare momenti, da un termine usato nella teoria della probabilità.

Probabilmente, i momenti possono aiutarti a calcolare le distribuzioni dietro i numeri casuali. Ad esempio, considera la distribuzione della temperatura massima giornaliera il 1 gennaio a New York City: le possibilità che il 1 gennaio del prossimo anno saranno 10 gradi Fahrenheit, o 40 gradi, o 70 o 120. Tutto quello che devi lavorare con i suoi dati passati: una cronologia del massimo giornaliero del 1° gennaio di ogni anno dall'inizio della cronologia registrata.

Se calcoli la media di queste temperature, imparerai un po', ma non tutto. Una temperatura media alta di 40 gradi non ti dice le possibilità che la temperatura sia superiore a 50 gradi o inferiore a 20.

Ma questo cambia se ti vengono fornite maggiori informazioni. In particolare, potresti conoscere la media del quadrato della temperatura, una quantità nota come secondo momento della distribuzione. (La media è il primo momento.) Oppure potresti imparare la media dei cubi, che è conosciuta come il terzo momento, o la media delle quarte potenze, il quarto momento.

Negli anni '1920, i matematici avevano capito che se i momenti in questa serie crescono sufficientemente lentamente, conoscere tutti i momenti consente di dedurre che solo una possibile distribuzione ha quei momenti. (Anche se questo non ti consente necessariamente di calcolare direttamente quella distribuzione.)

"Questo è davvero poco intuitivo", ha detto Wood. “Se pensi a una distribuzione continua, ha una forma. Sembra che abbia più di quanto possa essere semplicemente catturato in una sequenza di numeri.

I matematici interessati all'euristica di Cohen-Lenstra hanno capito che, proprio come i momenti nella teoria della probabilità possono essere utilizzati per ottenere una distribuzione di probabilità, i momenti definiti in un modo particolare per i gruppi di classi possono essere una lente attraverso la quale possiamo vedere la loro dimensione e struttura . Jacob Tsimerman, un matematico dell'Università di Toronto, ha affermato di non riuscire a immaginare come si possa calcolare direttamente la distribuzione delle dimensioni dei gruppi di classe. Usare i momenti, ha detto, è “più che facile. È l'unico gioco in città.

Questo momento magico

Mentre ogni momento di probabilità è associato a un numero intero — la terza potenza, la quarta potenza e così via — le nuove quantità introdotte dai teorici dei numeri corrispondono ciascuna a un gruppo. Questi nuovi momenti dipendono dal fatto che spesso puoi ridurre un gruppo a un gruppo più piccolo comprimendo diversi elementi insieme.

Per calcolare il momento associato ad un gruppo G, prendi tutti i possibili gruppi di classi, uno per ogni nuova radice quadrata che aggiungi agli interi. Per ogni gruppo di classe, conta il numero di modi diversi in cui puoi comprimerlo G. Quindi, prendi la media di quei numeri. Questo processo potrebbe sembrare contorto, ma è molto più facile lavorarci rispetto all'effettiva distribuzione dietro le previsioni di Cohen e Lenstra. Sebbene le stesse euristiche di Cohen-Lenstra siano complicate da affermare, i momenti della distribuzione che prevedono sono tutti 1.

"Questo ti fa pensare, wow, forse i momenti sono il modo naturale per affrontarlo", ha detto Ellenberg. "Sembra più credibile essere in grado di dimostrare che qualcosa è uguale a 1 piuttosto che dimostrare che è uguale a un folle prodotto infinito."

Quando i matematici studiano le distribuzioni sui gruppi, (gruppi di classe o altro) finiscono con un'equazione per ogni gruppo G, con le probabilità che ora rappresentano, diciamo, la proporzione di gruppi di classi che assomigliano a $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. Con infinite equazioni e infiniti gruppi di classi possibili, è difficile risolvere le probabilità. Non è nemmeno ovvio che abbia senso farlo.

"Quando hai somme infinite, le cose possono andare male", ha detto Wood.

Eppure i matematici, ancora incapaci di trovare altri percorsi per studiare le distribuzioni, continuavano a tornare sul problema del momento. Nell'opera pubblicata nel Annali di matematica nel 2016, Ellenberg, insieme ad Akshay Venkatesh e Craig Westerland, momenti usati studiare le statistiche dei gruppi di classe in un contesto leggermente diverso da quello considerato da Cohen e Lenstra. Questa idea era riutilizzato alcuni volte. Ma ogni volta che i ricercatori usavano i momenti, si appoggiavano alle stranezze del loro particolare problema per dimostrare che l'insieme infinito di equazioni aveva una soluzione. Ciò significava che le loro tecniche non erano trasferibili. Il prossimo matematico che avesse bisogno di usare i momenti dovrebbe risolvere di nuovo il problema dei momenti.

All'inizio della loro collaborazione, anche Sawin e Wood avevano pianificato di percorrere questa strada. Usavano i momenti per fare previsioni su come venivano distribuite le versioni più complicate dei gruppi di classe. Ma a circa un anno dall'inizio del loro progetto, hanno rivolto la loro attenzione al problema del momento stesso.

Essere distratto

I colleghi descrivono Sawin e Wood come insolitamente appassionati del loro lavoro. “Sono entrambi molto intelligenti. Ma ci sono un sacco di persone intelligenti", ha detto Zureick-Brown. "Hanno solo questo atteggiamento positivo nei confronti della matematica".

Inizialmente, Sawin e Wood volevano utilizzare i momenti per ampliare le previsioni di Cohen-Lenstra a nuove impostazioni. Ma presto divennero insoddisfatti della loro discussione sul secondo problema. "Avevamo la necessità di scrivere ripetutamente argomenti simili", ha ricordato Sawin. Inoltre, ha aggiunto, il linguaggio matematico che stavano usando "non sembrava arrivare al cuore di ciò che stava facendo l'argomento... Le idee c'erano, ma non avevamo trovato il modo giusto per esprimerle".

Sawin e Wood hanno scavato più a fondo nella loro dimostrazione, cercando di capire cosa ci fosse veramente sotto. Si sono conclusi con una dimostrazione che ha risolto il problema del momento non solo per la loro applicazione specifica, ma per qualsiasi distribuzione di gruppi e per tutti i tipi di altre strutture matematiche.

Hanno suddiviso il problema in piccoli passaggi gestibili. Invece di cercare di risolvere l'intera distribuzione di probabilità in una volta sola, si sono concentrati solo su una piccola parte dei momenti.

Ad esempio, per risolvere il problema del momento per una distribuzione di probabilità sui gruppi, ogni momento dovrebbe essere associato a un gruppo G. All'inizio, Sawin e Wood avrebbero esaminato un sistema di equazioni che includeva solo i momenti per un elenco ristretto di gruppi. Quindi aggiungevano lentamente gruppi all'elenco, osservando sempre più momenti ogni volta. Rendendo il problema sempre più complesso, hanno trasformato ogni passaggio in un problema risolvibile. A poco a poco, hanno raggiunto una soluzione completa del problema del momento.

"Quell'elenco fisso è un po' come gli occhiali che indossi, e più gruppi sei disposto a prendere in considerazione, migliori sono i tuoi occhiali", ha spiegato Wood.

Quando finalmente hanno rispolverato l'ultimo dei dettagli estranei, si sono trovati con un argomento i cui viticci hanno raggiunto la matematica. Il loro risultato ha funzionato per gruppi di classe, per gruppi associati a forme geometriche, per reti di punti e linee, nonché per altri insiemi con maggiore complessità matematica. In tutte queste situazioni, Sawin e Wood hanno trovato una formula che comprende una serie di momenti e sputa fuori la distribuzione che ha quei momenti (a patto che i momenti non crescano troppo velocemente, tra gli altri requisiti).

"È molto nello stile di Melanie", ha detto Ellenberg. "Per dire, 'Dimostriamo un teorema molto generale che gestisce molti casi diversi in modo uniforme ed elegante.'"

Sawin e Wood stanno ora tornando al loro obiettivo originale. All'inizio di gennaio, hanno condiviso una nuova carta che corregge previsioni errate di Cohen-Lenstra realizzato alla fine degli anni '1980 da Cohen e dal suo collega Jacques Martinet. Oltre a ciò, hanno ancora più risultati in coda, con piani per espandere l'euristica a situazioni ancora più nuove. "Non so se questo progetto finirà mai", ha detto Sawin.

Il secondo problema risolto da Sawin e Wood è stato "una specie di spina nella parte posteriore della testa per molte domande diverse", ha detto Tsimerman. "Penso che molti matematici tireranno un sospiro di sollievo."