Quando Daniel Larsen frequentava le scuole medie, iniziò a progettare cruciverba. Ha dovuto sovrapporre l'hobby agli altri suoi interessi: scacchi, programmazione, pianoforte, violino. Si è qualificato due volte per lo Scripps National Spelling Bee vicino a Washington, DC, dopo aver vinto la sua competizione regionale. "Si concentra su qualcosa, ed è solo bang, bang, bang, finché non ci riesce", ha detto la madre di Larsen, Ayelet Lindenstrauss. I suoi primi cruciverba sono stati rifiutati dai principali giornali, ma ha continuato e alla fine ha fatto irruzione. Ad oggi, lui detiene il record affinché il più giovane pubblichi un cruciverba in Il New York Times, all'età di 13 anni. "È molto tenace", ha detto Lindenstrauss.
Tuttavia, l'ossessione più recente di Larsen sembrava diversa, "più lunga e più intensa della maggior parte dei suoi altri progetti", ha detto. Per più di un anno e mezzo Larsen non riusciva a smettere di pensare a un certo problema di matematica.
Aveva le sue radici in una questione più ampia, che il matematico Carl Friedrich Gauss considerava tra le più importanti in matematica: come distinguere un numero primo (un numero divisibile solo per 1 e per se stesso) da un numero composto. Per centinaia di anni, i matematici hanno cercato un modo efficiente per farlo. Il problema è diventato rilevante anche nel contesto della crittografia moderna, poiché alcuni dei crittosistemi più utilizzati di oggi implicano l'esecuzione di calcoli con numeri primi enormi.
Più di un secolo fa, nella ricerca di un test di primalità veloce e potente, i matematici si sono imbattuti in un gruppo di piantagrane, numeri che ingannano i test facendogli credere di essere primi, anche se non lo sono. Questi pseudoprimi, noti come numeri di Carmichael, sono stati particolarmente difficili da comprendere. Solo a metà degli anni Novanta, per esempio, i matematici hanno dimostrato che ce ne sono infiniti. Essere in grado di dire qualcosa in più su come sono distribuiti lungo la linea dei numeri ha rappresentato una sfida ancora più grande.
Poi arrivò Larsen con una nuova prova proprio su questo, uno ispirato da un recente lavoro epocale in un'area diversa della teoria dei numeri. All'epoca aveva solo 17 anni.
La scintilla
Cresciuto a Bloomington, nell'Indiana, Larsen è sempre stato attratto dalla matematica. I suoi genitori, entrambi matematici, hanno introdotto lui e sua sorella maggiore all'argomento quando erano giovani. (Ora sta conseguendo un dottorato in matematica.) Quando Larsen aveva 3 anni, ricorda Lindenstrauss, iniziò a farle domande filosofiche sulla natura dell'infinito. "Pensavo, questo ragazzo ha una mente matematica", ha detto Lindenstrauss, professore all'Università dell'Indiana.
Poi alcuni anni fa, nel periodo in cui era immerso nei suoi progetti di ortografia e cruciverba, si è imbattuto in un documentario circa Yitang Zhang, un matematico sconosciuto uscito dall'oscurità nel 2013 dopo dimostrando un risultato fondamentale che pone un limite superiore agli intervalli tra numeri primi consecutivi. Qualcosa è scattato in Larsen. Non riusciva a smettere di pensare alla teoria dei numeri e al problema correlato che Zhang e altri matematici speravano ancora di risolvere: la congettura dei primi gemelli, che afferma che ci sono infinite coppie di numeri primi che differiscono solo di 2.
Dopo il lavoro di Zhang, che ha mostrato che ci sono infinite coppie di numeri primi che differiscono di meno di 70 milioni, altri sono saltati dentro per abbassare ulteriormente questo limite. In pochi mesi, i matematici Giacomo Maynard ed Terence tao ha dimostrato indipendentemente un'affermazione ancora più forte sui divari tra i numeri primi. Da allora quel divario si è ridotto a 246.
Larsen voleva capire parte della matematica alla base del lavoro di Maynard e Tao, "ma per me era praticamente impossibile", ha detto. Le loro carte erano troppo complicate. Larsen ha cercato di leggere il lavoro correlato, solo per trovarlo impenetrabile. Ha continuato, saltando da un risultato all'altro, fino a quando finalmente, nel febbraio 2021, si è imbattuto in un documento che trovava bello e comprensibile. Oggetto: i numeri di Carmichael, quegli strani numeri composti che a volte potevano spacciarsi per primi.
Tutti tranne Prime
A metà del XVII secolo, il matematico francese Pierre de Fermat scrisse una lettera al suo amico e confidente Frénicle de Bessy, in cui affermava quello che sarebbe poi stato conosciuto come il suo "piccolo teorema". Se N è un numero primo, quindi bN - b è sempre un multiplo di N, non importa cosa b è. Ad esempio, 7 è un numero primo e, di conseguenza, 27 – 2 (che è uguale a 126) è un multiplo di 7. Allo stesso modo, 37 – 3 è un multiplo di 7 e così via.
I matematici hanno visto il potenziale per un test perfetto per stabilire se un dato numero è primo o composto. Lo sapevano se N è primo, bN - b è sempre un multiplo di N. E se fosse vero anche il contrario? Cioè, se bN - b è un multiplo di N per tutti i valori di b, dovere N essere primo?
Purtroppo, si è scoperto che in casi molto rari, N può soddisfare questa condizione ed essere ancora composto. Il numero più piccolo è 561: per qualsiasi intero b, b561 - b è sempre un multiplo di 561, anche se 561 non è primo. Numeri come questi prendono il nome dal matematico Robert Carmichael, a cui viene spesso attribuita la pubblicazione del primo esempio nel 1910 (sebbene il matematico ceco Václav Šimerka ne scoprì indipendentemente esempi nel 1885).
I matematici volevano capire meglio questi numeri che somigliano così da vicino agli oggetti più fondamentali nella teoria dei numeri, i numeri primi. Si è scoperto che nel 1899, un decennio prima del risultato di Carmichael, un altro matematico, Alwin Korselt, aveva elaborato una definizione equivalente. Semplicemente non sapeva se c'erano dei numeri che si adattavano al conto.
Secondo il criterio di Korselt, un numero N è un numero di Carmichael se e solo se soddisfa tre proprietà. Innanzitutto, deve avere più di un fattore primo. In secondo luogo, nessun fattore primo può ripetersi. E terzo, per ogni numero primo p che divide N, p – 1 divide anche N – 1. Si consideri ancora il numero 561. E' uguale a 3 × 11 × 17, quindi soddisfa chiaramente le prime due proprietà della lista di Korselt. Per mostrare l'ultima proprietà, sottrarre 1 da ogni fattore primo per ottenere 2, 10 e 16. Inoltre, sottrarre 1 da 561. Tutti e tre i numeri più piccoli sono divisori di 560. Il numero 561 è quindi un numero di Carmichael.
Sebbene i matematici sospettassero che ci fossero infiniti numeri di Carmichael, ce ne sono relativamente pochi rispetto ai numeri primi, il che li rendeva difficili da definire. Poi nel 1994, Red Alford, Andrea Granville ed Carlo Pomerance ha pubblicato una svolta carta in cui hanno infine dimostrato che ci sono davvero infiniti di questi pseudoprimi.
Sfortunatamente, le tecniche che hanno sviluppato non hanno permesso loro di dire nulla sull'aspetto di quei numeri di Carmichael. Sono apparsi a grappoli lungo la linea dei numeri, con ampi spazi intermedi? O potresti sempre trovare un numero di Carmichael in un breve intervallo? "Penseresti che se puoi provare che ce ne sono infiniti", ha detto Granville, "di certo dovresti essere in grado di dimostrare che non ci sono grandi divari tra loro, che dovrebbero essere relativamente ben distanziati".
In particolare, lui e i suoi coautori speravano di dimostrare un'affermazione che riflettesse questa idea, data un numero sufficientemente elevato X, ci sarà sempre un numero di Carmichael in mezzo X e 2X. "È un altro modo per esprimere quanto siano onnipresenti", ha affermato Jon Grantham, un matematico dell'Institute for Defense Analyzes che ha svolto lavori correlati.
Ma per decenni nessuno ha potuto provarlo. Le tecniche sviluppate da Alford, Granville e Pomerance "ci hanno permesso di mostrare che ci sarebbero stati molti numeri di Carmichael", ha detto Pomerance, "ma non ci hanno permesso di avere molto controllo su dove sarebbero stati. "
Poi, nel novembre 2021, Granville ha aperto un'e-mail di Larsen, allora 17enne e al suo ultimo anno di liceo. UN carta era allegato e, con sorpresa di Granville, sembrava corretto. "Non è stata la lettura più facile di sempre", ha detto. “Ma quando l'ho letto, era abbastanza chiaro che non stava scherzando. Aveva idee brillanti".
Pomerance, che lesse una versione successiva dell'opera, fu d'accordo. "La sua prova è davvero piuttosto avanzata", ha detto. “Sarebbe un articolo che qualsiasi matematico sarebbe davvero orgoglioso di aver scritto. Ed ecco un ragazzo del liceo che lo scrive.
La chiave della dimostrazione di Larsen era il lavoro che lo aveva attirato in primo luogo sui numeri di Carmichael: i risultati di Maynard e Tao sui divari primi.
Improbabile — Non impossibile
Quando Larsen ha deciso per la prima volta di dimostrare che puoi sempre trovare un numero di Carmichael in un breve intervallo, "sembrava che fosse così ovviamente vero, quanto può essere difficile dimostrarlo?" Egli ha detto. Capì subito che poteva essere davvero molto difficile. "Questo è un problema che mette alla prova la tecnologia del nostro tempo", ha detto.
Nel loro articolo del 1994, Alford, Granville e Pomerance avevano mostrato come creare infiniti numeri di Carmichael. Ma non erano stati in grado di controllare la dimensione dei numeri primi che usavano per costruirli. Questo è ciò che Larsen avrebbe dovuto fare per costruire numeri di Carmichael di dimensioni relativamente simili. La difficoltà del problema preoccupava suo padre, Michael Larsen. "Non pensavo fosse impossibile, ma pensavo che fosse improbabile che ci riuscisse", ha detto. "Ho visto quanto tempo ci stava dedicando... e ho sentito che sarebbe stato devastante per lui dare così tanto di se stesso a questo e non ottenerlo".
Tuttavia, sapeva che era meglio non cercare di dissuadere suo figlio. "Quando Daniel si impegna in qualcosa che lo interessa davvero, si attiene a ciò nel bene e nel male", ha detto.
Quindi Larsen è tornato alle carte di Maynard, in particolare, per dimostrare che se prendi determinate sequenze di numeri sufficienti, alcuni sottoinsiemi di quei numeri devono essere primi. Larsen modificò le tecniche di Maynard per combinarle con i metodi usati da Alford, Granville e Pomerance. Ciò gli ha permesso di garantire che i numeri primi con cui si è ritrovato avrebbero variato di dimensioni, abbastanza da produrre numeri di Carmichael che sarebbero rientrati negli intervalli desiderati.
"Ha più controllo sulle cose di quanto abbiamo mai avuto", ha detto Granville. E ci riuscì grazie a un uso particolarmente intelligente del lavoro di Maynard. "Non è facile... usare questo progresso su brevi intervalli tra numeri primi", ha detto Kaisa Matomäki, matematico presso l'Università di Turku in Finlandia. "È piuttosto carino che sia in grado di combinarlo con questa domanda sui numeri di Carmichael."
In effetti, l'argomento di Larsen non gli ha solo permesso di mostrare che un numero di Carmichael deve sempre apparire in mezzo X e 2X. La sua dimostrazione funziona anche per intervalli molto più piccoli. I matematici ora sperano che aiuti anche a rivelare altri aspetti del comportamento di questi strani numeri. "È un'idea diversa", ha detto Tommaso Wright, un matematico del Wofford College nella Carolina del Sud che lavora sugli pseudoprimi. "Cambia molte cose su come potremmo provare cose sui numeri di Carmichael".
Grantham acconsentì. "Ora puoi fare cose a cui non avresti mai pensato", ha detto.
Larsen, nel frattempo, ha appena iniziato il suo primo anno al Massachusetts Institute of Technology. Non è sicuro su quale problema potrebbe lavorare dopo, ma è ansioso di sapere cosa c'è là fuori. "Sto solo seguendo dei corsi... e sto cercando di essere di mentalità aperta", ha detto.
"Ha fatto tutto questo senza un'istruzione universitaria", ha detto Grantham. "Posso solo immaginare cosa gli verrà in mente alla scuola di specializzazione".
