La matematica sorprendentemente semplice dietro abbinamenti sconcertanti | Rivista Quanti

È la partita di campionato della Imaginary Math League, dove gli Atlanta Algebras affronteranno i Carolina Cross Products. Le due squadre non si sono affrontate in questa stagione, ma all'inizio dell'anno Atlanta ha sconfitto i Brooklyn Bisectors con un punteggio di 10 a 5, e Brooklyn ha sconfitto Carolina con un punteggio di 7 a 3. Questo ci dà qualche idea su chi? prenderà il titolo?

Bene, ecco una linea di pensiero. Se Atlanta batte Brooklyn, allora Atlanta è migliore di Brooklyn, e se Brooklyn batte Carolina, allora Brooklyn è migliore di Carolina. Quindi, se Atlanta è migliore di Brooklyn e Brooklyn è migliore di Carolina, allora Atlanta dovrebbe essere migliore di Carolina e vincere il campionato.

Se giochi o pratichi sport competitivi, sai che prevedere l'esito di una partita non è mai così semplice. Ma da un punto di vista puramente matematico, questo argomento ha una certa attrattiva. Utilizza un'idea importante in matematica nota come transitività, una proprietà familiare che ci consente di costruire stringhe di confronti tra relazioni. La transitività è una di quelle proprietà matematiche così fondamentali che potresti anche non notarla.

Ad esempio, l’uguaglianza dei numeri è transitiva. Ciò significa che se lo sappiamo a = b ed b = c, possiamo concludere che a = c. Anche la relazione “maggiore di” è transitiva: per i numeri reali, se a > b ed b > c, poi a > c. Quando le relazioni sono transitive, possiamo confrontarle e combinarle, creando un ordinamento degli oggetti. Se Anna è più alta di Benji e Benji è più alto di Carl, allora possiamo ordinare i tre in base alla loro altezza: A, B, C. La transitività è anche alla base della nostra ingenua argomentazione secondo cui se A è meglio che B ed B è meglio che C, poi A è meglio che C.

La transitività è presente nell'uguaglianza, nella congruenza, nella somiglianza e persino nel parallelismo. Fa parte di tutta la matematica di base che facciamo, il che lo rende particolarmente interessante dal punto di vista matematico quando non è presente. Quando gli analisti classificano i team, gli economisti studiano le preferenze dei consumatori o i cittadini votano i loro candidati preferiti, la mancanza di transitività può portare a risultati sorprendenti. Per comprendere meglio questo tipo di sistemi, i matematici studiano i “dadi intransitivi” da oltre 50 anni, e un carta recente dalla collaborazione matematica online conosciuta come progetto Polymath ha fatto avanzare questa comprensione. Per avere un'idea di come appare e come si sente l'intransitività, formiamo una nostra lega e giochiamo.

Nella nostra nuova lega di matematica, i giocatori competono lanciando monete personalizzate e confrontando i risultati. Diciamo giocatore A ha una moneta con il numero 10 su un lato e il numero 6 sull'altro, e il giocatore BLa moneta di ha i numeri 8 e 3. Assumeremo che le monete siano giuste, ovvero che ogni lato abbia la stessa probabilità di apparire quando le monete vengono lanciate, e rappresenteremo i numeri sulle monete in questo modo.

In un gioco, i giocatori lanciano le loro monete e chiunque abbia la moneta che mostra il numero più alto è il vincitore. Chi vincerà e quando A gioca B?

Certo, dipende. A volte A vincerà, a volte B vincerà. Ma non è difficile vederlo A è favorito per vincere contro B. Ci sono quattro modi in cui il gioco potrebbe svolgersi e A vince in tre di essi.

Quindi nel gioco di A B, A ha una probabilità del 75% di vincere.

Adesso C arriva e sfida B ad un gioco. CLa moneta di ha un 5 su un lato e un 4 sull'altro. Anche in questo caso ci sono quattro possibilità.

Qui B ed C ciascuno vincerà due dei quattro incontri, quindi vincerà ciascuno il 50% delle partite. B ed C sono equamente abbinati.

Ora, cosa ti aspetteresti che succeda quando A ed C giocare? BENE, A di solito batte Be B è equamente abbinato a C, quindi sembra ragionevole aspettarselo A probabilmente sarà favorito C.

Ma A è più che un favorito. A domina C, vincendo il 100% delle volte.

Ciò potrebbe sembrare sorprendente, ma matematicamente non è difficile capire perché ciò accada. Ci numeri sono nel mezzo Bè così C vince in qualsiasi momento B capovolge il loro numero inferiore. Ma CI numeri sono entrambi qui sotto Aè così C non vincerà mai quell'incontro. Questo esempio non viola l'idea di transitività, ma mostra che le cose potrebbero essere più complicate del semplice A > B > C. Una leggera modifica al nostro gioco mostra quanto possa essere più complicato.

I nostri concorrenti si stancano rapidamente del gioco del lancio della moneta a due facce, poiché è facile da comprendere completamente dal punto di vista matematico (vedi gli esercizi alla fine della colonna per maggiori dettagli), quindi la lega decide di passare alle monete a tre facce. (Uno dei vantaggi di giocare in un campionato di matematica immaginario è che tutto è possibile.)

qui ci sono A ed Ble monete:

Chi è favorito in un gioco tra A ed B? Bene, ci sono tre risultati per Aè il lancio della moneta e tre a favore B, portando a nove possibili risultati del gioco che possiamo facilmente tracciare.

Assumendo ancora una volta che tutti i risultati siano ugualmente probabili, A battiti B in cinque dei nove risultati. Questo significa A dovrebbe vincere $latex frac{5}{9} circa$ il 55% delle volte, quindi A è favorito contro B.

Sentendosi un po' giù riguardo alle loro prospettive, B sfide C ad un gioco. Ci numeri sono mostrati di seguito. Ti piace Bquali sono le possibilità?

Ancora una volta, ci sono nove possibili risultati in un gioco di B C, quindi possiamo semplicemente elencarli.

Possiamo vederlo B sembra piuttosto buono contro C. In cinque dei nove possibili risultati, B vince. COSÌ B è favorito contro C.

povero C ora deve giocare A. Con A favorito contro B ed B favorito contro C, cosa fa il caso C devi vincere? Abbastanza buono, a quanto pare.

In cinque dei nove possibili risultati qui, C battiti A. Questo significa C è favorito contro A, nonostante Aè favorito contro B ed B è favorito contro C.

Questo è un esempio di sistema intransitivo. In termini più tecnici, la relazione “essere favoriti contro” nel nostro gioco non è transitiva: A è favorito contro Be B è favorito contro C, ma A non è necessariamente favorito C.

Non lo vediamo spesso in matematica, ma questo tipo di comportamento non sorprenderebbe gli appassionati di sport. Se i Giants battessero gli Eagles e gli Eagles battessero i Cowboys, i Cowboys potrebbero comunque battere benissimo i Giants. Ci sono molti fattori che contribuiscono al risultato di un singolo gioco. I team possono migliorare con la pratica o stagnare se non innovano. I giocatori possono cambiare squadra. Dettagli come il luogo in cui si svolge la partita (in casa o in trasferta) o l'ultima partita in cui le squadre hanno giocato possono influire su chi vince e chi perde.

Ma questo semplice esempio mostra che ci sono anche ragioni puramente matematiche dietro questo tipo di intransitività. E questa considerazione puramente matematica ha qualcosa in comune con i vincoli della competizione nel mondo reale: gli incontri.

Ecco i numeri per A, B ed C.

Quando li osserviamo fianco a fianco, è più facile capire perché in questa situazione si verifica l'intransitività. Sebbene B è favorito per vincere contro C, CI due numeri medio-alti, il 7 e il 6, danno loro un vantaggio rispetto a A che B non ha. Nonostante A è favorito contro B ed B è favorito contro C, C partite contro A meglio B fa. Questo è simile al modo in cui una squadra sportiva perdente potrebbe confrontarsi bene con un avversario superiore perché il suo stile di gioco è difficile da gestire per quella squadra, o perché un giocatore o un allenatore dà loro un vantaggio contro quel particolare avversario.

Il fatto che gli sport siano intransitivi è parte di ciò che li rende divertenti e avvincenti. Dopotutto, se A battiti B ed B battiti C, C non si arrenderà a causa della transitività quando si affronteranno A. Nella competizione tutto può succedere. Come hanno detto molti commentatori dopo un turbamento, "Ecco perché giocano".

Ed è per questo che giochiamo con la matematica. Per trovare ciò che è divertente, avvincente e sorprendente. Tutto può succedere.

esercizi

1. Supponiamo che due giocatori giochino al gioco della moneta a due facce e che i quattro numeri delle due monete siano tutti diversi. Esistono essenzialmente solo sei possibili scenari per chi vince e quanto spesso. Quali sono?

2. Nello scenario di gioco a tre facce descritto sopra, trova una moneta a tre facce diversa per C affinché B è ancora favorito C ed C è ancora favorito A.

3. Dimostrare che in un gioco a due facce è impossibile avere tre giocatori A, B, C così A è favorito contro B, B è favorito contro Ce C è favorito contro A.