1ICFO-Institut de Ciencies Fotoniques, Istituto di scienza e tecnologia di Barcellona, 08860 Castelldefels, Spagna
2CFIS-Centre de Formació Interdisciplinària Superior, UPC-Universitat Politècnica de Catalunya, 08028 Barcellona, Spagna
3Univ Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, Institut Néel, 38000 Grenoble, Francia
4ICREA-Institucio Catalana de Recerca i Estudis Avançats, Lluis Companys 23, 08010 Barcellona, Spagna
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Astratto
Le basi mutuamente imparziali corrispondono a coppie di misurazioni molto utili nella teoria dell'informazione quantistica. Nella dimensione composita più piccola, sei, è noto che esistono da tre a sette basi mutuamente imparziali, con una congettura vecchia di decenni, nota come congettura di Zauner, che afferma che ne esistono al massimo tre. Qui affrontiamo numericamente la congettura di Zauner attraverso la costruzione di disuguaglianze di Bell per ogni coppia di interi $n,d ge 2$ che possono essere violati al massimo nella dimensione $d$ se e solo se esistono $n$ MUB in quella dimensione. Quindi trasformiamo la congettura di Zauner in un problema di ottimizzazione, che affrontiamo mediante tre metodi numerici: ottimizzazione altalenante, programmazione semidefinita non lineare e tecniche Monte Carlo. Tutti e tre i metodi identificano correttamente i casi noti in dimensioni basse e tutti suggeriscono che non esistono quattro basi mutuamente imparziali nella dimensione sei, trovando tutte le stesse basi che ottimizzano numericamente la corrispondente disuguaglianza di Bell. Inoltre, questi ottimizzatori numerici sembrano coincidere con le "quattro basi più distanti" in dimensione sei, trovate attraverso l'ottimizzazione numerica di una misura di distanza in [P. Raynal, X. Lü, B.‑G. Englert, {Fis. Rev. A}, { 83} 062303 (2011)]. Infine, i risultati di Monte Carlo suggeriscono che esistono al massimo tre MUB nella dimensione dieci.
Immagine in primo piano: la differenza relativa tra il valore delle nostre disuguaglianze di Bell supponendo che esistano n MUB nella dimensione d e il valore trovato dai nostri metodi numerici. I valori zero indicano che i metodi hanno trovato n MUB nella dimensione d, mentre i valori diversi da zero indicano che i metodi non hanno trovato n MUB nella dimensione d. Tutti i casi noti (dimensioni da due a cinque e dimensione sei con due e tre MUB) sono correttamente identificati dai numeri. Nella sesta dimensione, nessuno dei metodi trova quattro MUB e tutti i metodi convergono allo stesso insieme di quattro basi.
Riepilogo popolare
Nonostante il loro ampio utilizzo, rimangono ancora questioni aperte riguardo alla struttura dei MUB. In particolare, il numero massimo di misurazioni imparziali a coppie ("il numero di MUB") non è noto se la dimensione del sistema quantistico è un numero composto. In particolare, nella dimensione sei sappiamo solo che il numero di MUB è compreso tra tre e sette. Una congettura aperta di lunga data è quella di Zauner, che afferma che non esistono più di tre MUB nella dimensione sei. Questa congettura decennale è supportata da alcune prove numeriche, ma fino ad oggi non esiste alcuna prova.
In questo lavoro affrontiamo la congettura di Zauner attraverso la non-località di Bell. La non-località di Bell riguarda due sperimentatori che non sono autorizzati a comunicare, ma possono condividere alcune correlazioni sotto forma di casualità classica o uno stato quantico condiviso. È stato dimostrato che la condivisione di risorse quantistiche può portare a dati sperimentali che non possono essere spiegati dalla fisica classica (più precisamente, dai cosiddetti modelli a variabili nascoste locali). Questo è noto come teorema di Bell ed è stato verificato sperimentalmente nell'ultimo decennio. Testimoniare la non classicità dei dati sperimentali è più comunemente fatto tramite le cosiddette disuguaglianze di Bell, che sono funzioni delle probabilità di esito della misurazione che si verificano nell'esperimento. I dati classici devono soddisfare le disuguaglianze di Bell, mentre i dati quantistici possono violarle.
Recentemente, sono state trovate disuguaglianze di Bell che vengono violate al massimo se una delle parti impiega una coppia di misure MUB di una data dimensione. In questo lavoro, estendiamo queste disuguaglianze a nuove, violate al massimo da un numero selezionato di misurazioni MUB in una data dimensione. Inoltre, se la dimensione nell'esperimento è fissa, la massima violazione si ottiene se e solo se le misure impiegate corrispondono al numero selezionato di MUB nella data dimensione. Pertanto, decidere se esiste un numero selezionato di MUB in una data dimensione equivale a trovare la massima violazione della corrispondente disuguaglianza di Bell in questa dimensione fissa.
Mentre trovare questa massima violazione è in generale un problema difficile, utilizziamo tre diversi metodi numerici come tentativo di trovare la massima violazione delle nostre disuguaglianze di Bell in una dimensione fissa. Due di questi metodi sono varianti delle tecniche di programmazione semidefinita, mentre il terzo si ispira alla fisica statistica e si chiama ricottura simulata. Sebbene tutti questi metodi siano euristici, ovvero non vi è alcuna garanzia che trovino il vero ottimo del problema, è possibile misurarne le prestazioni applicandoli a problemi di ottimizzazione di cui si conosce l'ottimo. In particolare, troviamo che tutti e tre i metodi sono correttamente in grado di identificare le misurazioni MUB nei casi in cui sono note per esistere. Inoltre, nei casi in cui si sa che non esistono, tutti e tre i metodi convergono allo stesso insieme di misurazioni fino alla precisione numerica. Applichiamo quindi i nostri metodi al primo caso sconosciuto, ovvero quattro MUB nella dimensione sei. Nessuno dei metodi è in grado di identificare quattro MUB nella dimensione sei, ma ancora una volta convergono tutti allo stesso insieme di quattro misurazioni fino alla precisione numerica. Inoltre, la tecnica di ricottura simulata non trova quattro MUB nella successiva dimensione composita, dimensione dieci. Pertanto, sebbene non si possano fare affermazioni rigorose a causa della natura euristica delle nostre tecniche, i nostri risultati supportano la congettura di Zauner dalla nuova prospettiva della non-località di Bell.
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