Introduzione
Nel 2012, il matematico Shinichi Mochizuki affermò di aver risolto il problema abc congettura, una delle principali questioni aperte nella teoria dei numeri sulla relazione tra addizione e moltiplicazione. C’era solo un problema: la sua dimostrazione, lunga più di 500 pagine, era completamente impenetrabile. Si basava su un groviglio di nuove definizioni, notazioni e teorie a cui quasi tutti i matematici trovavano impossibile dare un senso. Anni dopo, quando due matematici tradussero gran parte della dimostrazione in termini più familiari, indicarono ciò che veniva chiamato “divario grave e insanabile” nella sua logica - solo per Mochizuki respingere la loro argomentazione sulla base del fatto che semplicemente non erano riusciti a comprendere il suo lavoro.
L’incidente solleva una domanda fondamentale: cos’è una dimostrazione matematica? Tendiamo a pensarlo come la rivelazione di una verità eterna, ma forse è meglio comprenderlo come una sorta di costrutto sociale.
Andrea Granville, matematico dell'Università di Montreal, ci ha pensato molto di recente. Dopo essere stato contattato da un filosofo in merito ad alcuni dei suoi scritti, "ho avuto modo di pensare a come arriviamo alle nostre verità", ha detto. "E una volta che inizi a spingere quella porta, scopri che è un argomento vasto."
A Granville piaceva l'aritmetica fin dalla tenera età, ma non prese mai in considerazione una carriera nella ricerca matematica perché non sapeva che esistesse una cosa del genere. "Mio padre lasciò la scuola a 14 anni, mia madre a 15 o 16", ha detto. “Sono nati in quella che allora era la zona operaia di Londra, e l’università era appena oltre ciò che vedevano come possibile. Quindi non ne avevamo idea.
Dopo essersi laureato all'Università di Cambridge, dove ha studiato matematica, ha iniziato ad adattarsi Le Carte Rachele, un romanzo di Martin Amis, in una sceneggiatura. Mentre lavorava al progetto e cercava finanziamenti per il progetto, voleva evitare di accettare un lavoro d'ufficio - aveva lavorato presso una compagnia di assicurazioni durante un anno sabbatico tra la scuola superiore e l'università e non voleva tornarci - "così sono andato alla scuola di specializzazione", ha detto. Il film non è mai decollato (il romanzo è stato successivamente trasformato in un film in modo indipendente), ma Granville ha conseguito un master in matematica e poi si è trasferito in Canada per completare il dottorato. Non ha mai guardato indietro.
Introduzione
"È stata un'avventura, davvero", ha detto. “Non mi aspettavo molto. Non sapevo davvero cosa fosse un dottorato di ricerca. era."
Nei decenni successivi è autore di più di 175 articoli, principalmente sulla teoria dei numeri. È diventato famoso anche per aver scritto di matematica per un pubblico popolare: nel 2019 è stato coautore di graphic novel sui numeri primi e concetti correlati con la sorella maggiore, Jennifer, una sceneggiatrice. Il mese scorso, uno dei suoi articoli su “come arriviamo alle nostre verità” è stato pubblicato negli Annali di Matematica e Filosofia. E insieme ad altri matematici, informatici e filosofi, ha in programma di pubblicare una raccolta di articoli nel prossimo anno Bollettino dell'American Mathematical Society su come le macchine potrebbero cambiare la matematica.
Quanta ha parlato con Granville della natura delle dimostrazioni matematiche: da come funzionano nella pratica alle idee sbagliate popolari su di esse, a come la scrittura delle dimostrazioni potrebbe evolversi nell'era dell'intelligenza artificiale. L'intervista è stata modificata e condensata per chiarezza.
Recentemente hai pubblicato un articolo sulla natura della dimostrazione matematica. Perché hai deciso che era importante scrivere di questo?
Il modo in cui i matematici svolgono la ricerca non è generalmente ben rappresentato nei media popolari. Le persone tendono a vedere la matematica come una ricerca pura, dove arriviamo a grandi verità solo attraverso il puro pensiero. Ma la matematica è una questione di supposizioni, spesso sbagliate. È un processo sperimentale. Impariamo per gradi.
Ad esempio, quando l'ipotesi di Riemann apparve per la prima volta in un articolo nel 1859, fu come per magia: ecco questa sorprendente congettura, dal nulla. Per 70 anni si è parlato di ciò che un grande pensatore può fare con il solo pensiero puro. Poi il matematico Carl Siegel trovò gli appunti di Riemann negli archivi di Gottinga. Riemann aveva effettivamente fatto pagine di calcoli sugli zeri della funzione zeta di Riemann. Le famose parole di Siegel furono: "Questo per quanto riguarda solo il puro pensiero".
Quindi c’è questa tensione nel modo in cui le persone scrivono di matematica – alcuni filosofi e storici in particolare. Sembra che pensino che siamo una pura creatura magica, un unicorno della scienza. Ma non lo siamo, in genere. Raramente è solo puro pensiero.
Introduzione
Come descriveresti ciò che fanno i matematici?
La cultura della matematica è tutta una questione di dimostrazioni. Ci sediamo e pensiamo, e il 95% di ciò che facciamo è una prova. Gran parte della comprensione che otteniamo deriva dal lottare con le prove e dall’interpretare i problemi che emergono quando lottiamo con esse.
Spesso pensiamo alla dimostrazione come ad un argomento matematico. Attraverso una serie di passaggi logici, si dimostra che una determinata affermazione è vera. Ma tu scrivi che questo non deve essere confuso con la verità pura e oggettiva. Che cosa vuoi dire con questo?
Lo scopo principale di una dimostrazione è convincere il lettore della verità di un’asserzione. Ciò significa che la verifica è fondamentale. Il miglior sistema di verifica che abbiamo in matematica è che molte persone guardano una dimostrazione da diverse prospettive e si adatta bene a un contesto che conoscono e in cui credono. In un certo senso, non stiamo dicendo che sappiamo che è vero. Stiamo dicendo che speriamo sia corretto, perché molte persone lo hanno provato da diverse prospettive. Le prove sono accettate da questi standard comunitari.
Poi c'è questa nozione di obiettività: essere sicuri che ciò che si afferma sia giusto, sentirsi come se si possedesse una verità ultima. Ma come possiamo sapere che siamo obiettivi? È difficile uscire dal contesto in cui hai fatto una dichiarazione, per avere una prospettiva al di fuori del paradigma messo in atto dalla società. Ciò è vero tanto per le idee scientifiche quanto per qualsiasi altra cosa.
Ci si può anche chiedere cosa sia oggettivamente interessante o importante in matematica. Ma anche questo è chiaramente soggettivo. Perché consideriamo Shakespeare un buon scrittore? Shakespeare non era così popolare ai suoi tempi come lo è oggi. Ovviamente ci sono convenzioni sociali su ciò che è interessante, ciò che è importante. E questo dipende dal paradigma attuale.
Introduzione
In matematica, che aspetto ha?
Uno degli esempi più famosi di cambiamento di paradigma è il calcolo infinitesimale. Quando fu inventato il calcolo infinitesimale, si trattava di dividere qualcosa che andava verso lo zero per qualcos'altro che andava verso lo zero, portando a zero diviso per zero, il che non ha alcun significato. Inizialmente, Newton e Leibniz inventarono oggetti chiamati infinitesimi. Faceva funzionare le loro equazioni, ma per gli standard odierni non era sensato o rigoroso.
Oggi disponiamo della formulazione epsilon-delta, introdotta alla fine del XIX secolo. Questa formulazione moderna è così straordinariamente, ovviamente buona per esprimere correttamente questi concetti, che quando guardi le vecchie formulazioni, ti chiedi, cosa stavano pensando? Ma all’epoca quello era considerato l’unico modo per farlo. Per essere onesti nei confronti di Leibniz e Newton, probabilmente avrebbero amato il modo moderno. Non pensavano di farlo, a causa dei paradigmi della loro epoca. Quindi ci è voluto davvero molto tempo per arrivarci.
Il problema è che non sappiamo quando ci comporteremo in quel modo. Siamo intrappolati nella società in cui viviamo. Non abbiamo una prospettiva esterna per dire quali ipotesi stiamo facendo. Uno dei pericoli in matematica è che puoi concepire qualcosa come non importante perché non è facilmente espresso o discusso nella lingua che hai scelto di utilizzare. Non significa che hai ragione.
Mi piace molto questa citazione di Cartesio, dove sostanzialmente dice: “Penso di sapere tutto quello che c'è da sapere su un triangolo, ma chi può dire che lo so? Voglio dire, qualcuno in futuro potrebbe inventare una prospettiva radicalmente diversa, portando a un modo molto migliore di pensare a un triangolo. E penso che abbia ragione. Lo vedi in matematica.
Come hai scritto nel tuo articolo, puoi pensare a una dimostrazione come a un patto sociale: una sorta di accordo reciproco tra l'autore e la sua comunità matematica. Abbiamo visto un esempio estremo di questo non funzionamento, con la prova dichiarata da Mochizuki abc congetturare.
È estremo, perché Mochizuki non voleva giocare nel modo in cui viene giocato. Ha fatto questa scelta per essere oscuro. Quando le persone fanno grandi passi avanti, con idee davvero nuove e difficili, sento che spetta loro cercare di includere altre persone spiegando le loro idee nel modo più accessibile possibile. E lui era più del tipo, beh, se non vuoi leggerlo come l'ho scritto, non è un mio problema. Ha il diritto di giocare il gioco che vuole fare. Ma non ha niente a che fare con la comunità. Non ha niente a che fare con il modo in cui facciamo progressi.
Introduzione
Se esistono prove in un contesto sociale, come sono cambiate nel tempo?
Tutto inizia con Aristotele. Ha detto che è necessario che ci sia una sorta di sistema deduttivo: che puoi provare cose nuove solo basandole su cose che già conosci e di cui sei certo, tornando a certe “affermazioni primitive” o assiomi.
Allora la domanda è: quali sono quelle cose fondamentali che sai essere vere? Per molto tempo la gente diceva semplicemente: beh, una linea è una linea, un cerchio è un cerchio; ci sono alcune cose semplici e ovvie, e questi dovrebbero essere i presupposti da cui partire.
Quella prospettiva è durata per sempre. È ancora in giro oggi in larga misura. Ma il sistema assiomatico euclideo che si sviluppò – “una linea è una linea” – aveva i suoi problemi. C'erano questi paradossi scoperti da Bertrand Russell basati sulla nozione di insieme. Inoltre, si potrebbero fare giochi di parole con il linguaggio matematico, creando affermazioni problematiche come “questa affermazione è falsa” (se è vera, allora è falsa; se è falsa, allora è vera) che indicassero che c'erano problemi con il sistema assiomatico.
Così Russell e Alfred Whitehead cercarono di creare un nuovo sistema di matematica che potesse evitare tutti questi problemi. Ma era ridicolmente complicato, ed era difficile credere che questi fossero i primitivi giusti da cui partire. Nessuno era a suo agio. Qualcosa come dimostrare 2 + 2 = 4 ha richiesto molto spazio fin dal punto di partenza. Qual è lo scopo di un sistema del genere?
Poi è arrivato David Hilbert e ha avuto questa fantastica idea: forse non dovremmo dire a nessuno qual è la cosa giusta con cui iniziare. Invece, vale la pena esplorare tutto ciò che funziona – un punto di partenza semplice, coerente e consistente. Non puoi dedurre dai tuoi assiomi due cose che si contraddicono a vicenda e dovresti essere in grado di descrivere la maggior parte della matematica in termini di assiomi selezionati. Ma non dovresti dire a priori cosa sono.
Anche questo sembra adattarsi alla nostra precedente discussione sulla verità oggettiva in matematica. Quindi, all'inizio del XX secolo, i matematici si stavano rendendo conto che poteva esistere una pluralità di sistemi assiomatici: che un dato insieme di assiomi non doveva essere preso come una verità universale o evidente?
Giusto. E dovrei dire che Hilbert non iniziò a farlo per ragioni astratte. Era molto interessato a diverse nozioni di geometria: geometria non euclidea. È stato molto controverso. Le persone all'epoca dicevano, se mi dai questa definizione di linea che gira attorno agli angoli di una scatola, perché mai dovrei ascoltarti? E Hilbert ha detto che se fosse riuscito a renderlo coerente e consistente, dovreste ascoltarlo, perché questa potrebbe essere un'altra geometria che dobbiamo capire. E questo cambiamento di punto di vista – che può essere consentito a qualsiasi sistema assiomatico – non si applica solo alla geometria; si applicava a tutta la matematica.
Ma ovviamente alcune cose sono più utili di altre. Quindi la maggior parte di noi lavora con gli stessi 10 assiomi, un sistema chiamato ZFC.
Il che porta alla domanda su cosa si può e cosa non si può dedurre da ciò. Ci sono affermazioni, come l'ipotesi del continuo, che non possono essere dimostrate utilizzando ZFC. Ci deve essere un undicesimo assioma. E puoi risolverlo in entrambi i modi, perché puoi scegliere il tuo sistema assiomatico. È molto bello. Continuiamo con questa sorta di pluralità. Non è chiaro cosa sia giusto e cosa sia sbagliato. Secondo Kurt Gödel dobbiamo ancora fare delle scelte in base al gusto, e speriamo di avere buon gusto. Dovremmo fare cose che abbiano senso. E lo facciamo.
A proposito di Gödel, anche qui gioca un ruolo piuttosto importante.
Per discutere di matematica, hai bisogno di una lingua e di una serie di regole da seguire in quella lingua. Negli anni '1930 Gödel dimostrò che, indipendentemente da come si sceglie la lingua, in quella lingua ci sono sempre affermazioni che sono vere ma che non possono essere dimostrate a partire dagli assiomi di partenza. In realtà è più complicato di così, ma ti trovi comunque subito di fronte a un dilemma filosofico: cos'è un'affermazione vera se non puoi giustificarla? È pazzesco.
Quindi c'è un gran pasticcio. Siamo limitati in ciò che possiamo fare.
I matematici professionisti in gran parte lo ignorano. Ci concentriamo su ciò che è fattibile. Come ama dire Peter Sarnak: “Siamo persone che lavorano”. Andiamo avanti e proviamo a dimostrare ciò che possiamo.
Introduzione
Ora, con l’uso non solo dei computer ma anche dell’intelligenza artificiale, come sta cambiando il concetto di prova?
Ci siamo spostati in un posto diverso, dove i computer possono fare cose stravaganti. Ora la gente dice: oh, abbiamo questo computer, può fare cose che le persone non possono fare. Ma può? Può effettivamente fare cose che le persone non possono fare? Negli anni ’1950 Alan Turing affermava che un computer è progettato per fare ciò che possono fare gli esseri umani, ma più velocemente. Non è cambiato molto.
Da decenni i matematici utilizzano i computer, ad esempio per effettuare calcoli che possano aiutarli a comprendere meglio. Ciò che l'intelligenza artificiale può fare di nuovo è verificare ciò che crediamo sia vero. Alcuni sviluppi straordinari si sono verificati con la verifica delle prove. Come [l'assistente alle dimostrazioni] Lean, che ha permesso ai matematici di verificare molte dimostrazioni, aiutando allo stesso tempo gli autori a comprendere meglio il proprio lavoro, perché devono scomporre alcune delle loro idee in passaggi più semplici da inserire in Lean per la verifica.
Ma questo è infallibile? Una prova è una prova solo perché Lean concorda sul fatto che lo sia? In un certo senso, è altrettanto valido quanto le persone che convertono le dimostrazioni in input per il Lean. Il che assomiglia molto al modo in cui facciamo la matematica tradizionale. Quindi non sto dicendo che credo che qualcosa come Lean commetterà molti errori. Non sono sicuro che sia più sicuro della maggior parte delle cose fatte dagli esseri umani.
Temo di nutrire molto scetticismo riguardo al ruolo dei computer. Possono essere uno strumento molto prezioso per fare le cose nel modo giusto, in particolare per verificare la matematica che si basa fortemente su nuove definizioni che non sono facili da analizzare a prima vista. Non c'è dubbio che sia utile avere nuove prospettive, nuovi strumenti e nuove tecnologie nel nostro arsenale. Ma quello da cui rifuggo è il concetto che ora avremo macchine logiche perfette che produrranno teoremi corretti.
Devi riconoscere che non possiamo essere sicuri che le cose siano corrette con i computer. Il nostro futuro deve fare affidamento sul senso di comunità su cui abbiamo fatto affidamento nel corso della storia della scienza: che ci rimbalziamo a vicenda. Che parliamo con persone che guardano la stessa cosa da una prospettiva completamente diversa. E così via.
Ma dove vedi che andrà in futuro, man mano che queste tecnologie diventeranno più sofisticate?
Forse potrebbe aiutare a creare una prova. Forse tra cinque anni dirò a un modello di intelligenza artificiale come ChatGPT: “Sono abbastanza sicuro di averlo visto da qualche parte. Vuoi dare un'occhiata?" E tornerà con un'affermazione simile che è corretta.
E poi, una volta che diventi molto, molto bravo in questo, forse potresti fare un ulteriore passo avanti e dire: "Non so come farlo, ma c'è qualcuno che ha fatto qualcosa del genere?" Forse alla fine un modello di intelligenza artificiale potrebbe trovare modi abili per effettuare ricerche nella letteratura per mettere in campo strumenti che sono stati utilizzati altrove, in un modo che un matematico potrebbe non prevedere.
Tuttavia non capisco come ChatGPT possa andare oltre un certo livello per fare dimostrazioni in un modo che ci supera. ChatGPT e altri programmi di apprendimento automatico non pensano. Stanno usando associazioni di parole basate su molti esempi. Quindi sembra improbabile che trascendano i dati di allenamento. Ma se ciò dovesse accadere, cosa faranno i matematici? Gran parte di ciò che facciamo è una prova. Se ci togli le prove, non sono sicuro di chi diventeremo.
In ogni caso, quando pensiamo a dove porteremo l'assistenza informatica, dobbiamo tenere conto di tutte le lezioni che abbiamo imparato dallo sforzo umano: l'importanza di usare linguaggi diversi, lavorare insieme, portare prospettive diverse. C'è una robustezza, una salute, nel modo in cui diverse comunità si uniscono per lavorare e comprendere una prova. Se vogliamo avere un supporto informatico in matematica, dobbiamo arricchirlo allo stesso modo.
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