מאה שנה מאוחר יותר, מתמטיקה חדשה מחליקה את היחסות הכללית | מגזין קוונטה

תורת היחסות הכללית של אלברט איינשטיין הצליחה מאוד בתיאור אופן הפעולה של כוח הכבידה וכיצד הוא מעצב את המבנה בקנה מידה גדול של היקום. זה מסוכם באימרה של הפיזיקאי ג'ון ווילר: "החלל-זמן אומר איך לזוז; החומר אומר למרחב-זמן איך להתעקם." עם זאת, המתמטיקה של תורת היחסות הכללית היא גם נוגדת את האינטואיציה.

מכיוון שהמשוואות הבסיסיות שלו כל כך מסובכות, אפילו את ההצהרות הפשוטות ביותר קשה להוכיח. לדוגמה, רק בסביבות 1980 הוכיחו מתמטיקאים, כחלק ממשפט עיקרי בתורת היחסות הכללית, שמערכת פיזיקלית מבודדת, או מרחב, ללא מסה כלשהי בה חייבת להיות שטוחה.

זה הותיר ללא פתרון את השאלה איך נראה חלל אם הוא כמעט ואקום, שיש לו רק כמות זעירה של מסה. האם זה בהכרח כמעט שטוח?

למרות שזה עשוי להיראות מובן מאליו שמסה קטנה יותר תוביל לעקמומיות קטנה יותר, הדברים אינם כה חתוכים ויבשים כשמדובר בתורת היחסות הכללית. על פי התיאוריה, ריכוזים צפופים של חומר יכולים "לעוות" חלק מהחלל, מה שהופך אותו לעקום מאוד. במקרים מסוימים, עקמומיות זו יכולה להיות קיצונית, ואולי להוביל להיווצרות של חורים שחורים. זה יכול להתרחש אפילו בחלל עם כמויות קטנות של חומר, אם הוא מרוכז חזק מספיק.

בחודש האחרון מאמר, קונגאן דונג, סטודנט לתואר שני באוניברסיטת סטוני ברוק, ו אנטואן סונג, עוזר פרופסור במכון הטכנולוגי של קליפורניה, הוכיח שרצף של חללים מעוקלים עם כמויות קטנות יותר ויותר של מסה יתכנס בסופו של דבר לחלל שטוח עם אפס עקמומיות.

תוצאה זו היא התקדמות ראויה לציון בחקר המתמטי של תורת היחסות הכללית - עיסוק שממשיך לתת דיבידנדים יותר ממאה שנה לאחר שאיינשטיין הגה את התיאוריה שלו. דן לי, מתמטיקאי בקווינס קולג' שחוקר את המתמטיקה של תורת היחסות הכללית אך לא היה מעורב במחקר זה, אמר שההוכחה של דונג וסונג משקפת הבנה עמוקה של האופן שבו עקמומיות ומסה מתקשרים.

מה שהם הוכיחו

ההוכחה של דונג וסונג נוגעת למרחבים תלת מימדיים, אבל תחילה שקול דוגמה דו מימדית לשם המחשה. דמיין חלל שטוח ללא מסה כגיליון נייר רגיל וחלק. חלל עם מסה קטנה, במקרה זה, עשוי להיראות דומה ממרחק - כלומר, לרוב שטוח. עם זאת, בדיקה מדוקדקת יותר עשויה לגלות כמה קוצים חדים או בועות צצות פה ושם - השלכות של התקבצות החומר. החשופים האקראיים האלה יגרמו לנייר להידמות למדשאה מטופחת עם מדי פעם פטריות או גבעול מבצבצים מעל פני השטח.

דונג וסונג הוכיחו א השערה שנוסח בשנת 2001 על ידי המתמטיקאים גרהרד הויסן ו תום אילמן. ההשערה קובעת שכאשר המסה של חלל מתקרבת לאפס, כך גם העקמומיות שלו חייבת. הויסקן ואילמן זיהו, עם זאת, שהתרחיש הזה מסובך על ידי נוכחותם של בועות ודוקרנים (שנבדלים זה מזה מבחינה מתמטית). הם שיערו שניתן לחתוך את הבועות והקוצים בצורה כזו שאזור הגבול שהותיר מאחור על פני החלל על ידי כל כריתה היה קטן. הם הציעו, אך לא הצליחו להוכיח, שהחלל שנותר לאחר הסרת התוספים הבעייתיים הללו יהיה קרוב לשטוח. הם גם לא היו בטוחים איך צריך לעשות קיצוצים כאלה.

"השאלות האלה היו קשות, ולא ציפיתי לראות פתרון להשערת הויסקן-אילמן", אמר לי.

בלב ההשערה עומדת מדידת עקמומיות. החלל יכול להתעקם בדרכים שונות, בכמויות שונות ובכיוונים שונים - כמו אוכף (בדו מימד) שמתעקל למעלה קדימה ואחורה, אבל למטה הולך שמאלה וימינה. דונג וסונג מתעלמים מהפרטים האלה. הם משתמשים במושג שנקרא עקמומיות סקלרית, המייצג את העקמומיות כמספר בודד המסכם את העקמומיות המלאה לכל הכיוונים.

העבודה החדשה של דונג וסונג, אמר דניאל שטרן מאוניברסיטת קורנל, היא "אחת התוצאות החזקות ביותר שיש לנו עד כה שמראה לנו כיצד עקמומיות סקלרית שולטת בגיאומטריה" של החלל בכללותו. המאמר שלהם ממחיש ש"אם יש לנו עקמומיות סקלרית לא שלילית ומסה קטנה, אנחנו מבינים היטב את מבנה החלל".

ההוכחה

השערת הויסקן-אילמן נוגעת לגיאומטריה של חללים בעלי מסה יורדת בהתמדה. הוא קובע שיטה ספציפית לומר עד כמה חלל עם מסה קטנה הוא קרוב לחלל שטוח. מידה זו נקראת מרחק גרמוב-האוסדורף, על שם המתמטיקאים מיכאל גרומוב ופליקס האוסדורף. חישוב המרחק גרומוב-האוסדורף הוא תהליך בן שני שלבים.

הצעד הראשון הוא למצוא את מרחק האוסדורף. נניח שיש לך שני עיגולים, A ו-B. התחל עם כל נקודה ב-A וגלה כמה היא רחוקה לנקודה הקרובה ביותר ב-B.

חזור על זה עבור כל נקודה ב-A. המרחק הגדול ביותר שאתה מוצא הוא מרחק האוסדורף בין המעגלים.

ברגע שיש לך את המרחק האוסדורף, אתה יכול לחשב את המרחק גרומוב-האוסדורף. כדי לעשות זאת, הנח את החפצים שלך בחלל גדול יותר כדי למזער את המרחק של האוסדורף ביניהם. במקרה של שני עיגולים זהים, מכיוון שאפשר היה לשים אותם ממש זה על גבי זה, המרחק של גרומוב-האוסדורף ביניהם הוא אפס. עצמים זהים מבחינה גיאומטרית כמו אלה נקראים "איזומטריים".

מדידת מרחק קשה יותר, כמובן, כאשר האובייקטים או החללים שמשווים דומים אך אינם זהים. המרחק של גרומוב-האוסדורף מספק מידה מדויקת של קווי הדמיון (או ההבדלים) בין צורותיהם של שני עצמים שנמצאים בתחילה בחללים שונים. "מרחק גרומוב-האוסדורף הוא אחת הדרכים הטובות ביותר שיש לנו לומר ששני רווחים הם כמעט איזומטריים, וזה נותן מספר לזה 'כמעט'", אמר שטרן.

לפני שדונג וסונג הצליחו לערוך השוואות בין חלל בעל מסה קטנה לחלל שטוח לחלוטין, הם היו צריכים לגזור את הבליטות המציקות - הקוצים הצרים שבהם החומר ארוז היטב ובועות צפופות עוד יותר שעלולות להכיל חורים שחורים זעירים. "חתכנו אותם כך שאזור הגבול [המקום בו נוצרה הפרוסה] קטן", אמר סונג, "והראינו שהשטח הולך וקטן ככל שהמסה יורדת".

למרות שהטקטיקה הזו עשויה להישמע כמו רמאות, סטרן אמר שמותר בהוכחת ההשערה לבצע סוג של עיבוד מקדים על ידי חיתוך בועות ודוקרנים ששטחם מתכווץ לאפס ככל שהמסה יורדת.

בתור פרוקסי לחלל בעל מסה קטנה, הוא הציע, נוכל לדמיין דף נייר מקומט שאחרי שהחלקו אותו שוב, עדיין יש לו קמטים וקפלים חדים. אתה יכול להשתמש במחורר כדי להסיר את האי-סדירות הבולטים ביותר, ולהשאיר פיסת נייר מעט לא אחידה עם כמה חורים בתוכה. ככל שגודלם של החורים האלה יצטמצם, כך גם חוסר האחידות של השטח של הנייר יתכווץ. בגבול, אפשר לומר, החורים היו מתכווצים לאפס, התלוליות והרכסים ייעלמו, ואתה תישאר עם פיסת נייר חלקה ואחידה - סטנד-אין אמיתי לחלל שטוח.

זה מה שדונג וסונג ביקשו להוכיח. השלב הבא היה לראות כיצד החללים המעורפלים הללו - ללא תכונותיהם הגסות - עומדים מול הסטנדרט של שטוחות מוחלטת. האסטרטגיה שהם נקטו עשתה שימוש בסוג מיוחד של מפה, שהיא דרך להשוות בין שני מרחבים על ידי שיוך נקודות במרחב אחד לנקודות במרחב אחר. המפה שבה השתמשו פותחה ב- a מאמר נכתב על ידי שטרן ושלושה עמיתים - הוברט בריי, דמטרה קאזאראס ומרקוס ח'ורי. הליך זה יכול לאיית בדיוק כמה קרובים שני רווחים.

כדי לפשט את המשימה שלהם, דונג וסונג אימצו טריק מתמטי נוסף מסטרן ומשותפיו, שהראה שניתן לחלק מרחב תלת-ממדי לפרוסות דו-ממדיות רבות הנקראות רמות, בדומה לביצה קשה. להיות מפולח ליריעות צרות על ידי החוטים המתוחים של חותך ביצים.

ערכות המפלס יורשות את העקמומיות של החלל התלת מימדי שהם מהווים. על ידי מיקוד תשומת הלב שלהם במערכות רמות ולא במרחב התלת מימדי הגדול יותר, הצליחו דונג וסונג להפחית את הממדיות של הבעיה משלושה לשניים. זה מאוד מועיל, אמר סונג, כי "אנחנו יודעים הרבה על אובייקטים דו מימדיים... ויש לנו הרבה כלים ללמוד אותם."

אם הם יכלו להראות בהצלחה שכל סט רמות הוא "סוג של שטוח", אמר סונג, זה יאפשר להם להשיג את המטרה הכוללת שלהם להראות שמרחב תלת מימדי עם מסה קטנה קרוב לשטוח. למרבה המזל, האסטרטגיה הזו יצאה לפועל.

השלבים הבא

בהסתכלות קדימה, סונג אמר שאחד האתגרים הבאים של התחום הוא להפוך את ההוכחה למפורשת יותר על ידי הנחת נוהל מדויק להפטר מבועות ודוקרנים ותיאור טוב יותר של האזורים שנחתכו. אבל לעת עתה, הוא הודה, "אין לנו אסטרטגיה ברורה להשיג זאת".

 שדרה מבטיחה נוספת, אמר סונג, תהיה לחקור את א השערה נפרדת שנוסחה בשנת 2011 על ידי Lee and כריסטינה סורמני, מתמטיקאי באוניברסיטת סיטי בניו יורק. השערת לי-סורמני שואלת שאלה דומה לזו שהציגו הויסקן ואילמן, אך היא מסתמכת על דרך שונה למדידת ההבדל בין צורות. במקום לשקול את המרחק המקסימלי בין שתי צורות, כפי שעושה המרחק גרומוב-האוסדורף, גישת לי-סורמני שואלת על נפח החלל ביניהם. ככל שהנפח קטן יותר, כך הם קרובים יותר.

סונג, בינתיים, מקווה לבדוק שאלות בסיסיות על עקמומיות סקלריות שאינן מונעות על ידי הפיזיקה. "בתורת היחסות הכללית", אמר, "אנחנו מתמודדים עם מרחבים מאוד מיוחדים שהם כמעט שטוחים באינסוף, אבל בגיאומטריה אכפת לנו מכל מיני מרחבים".

"יש תקווה שהטכניקות הללו יכולות להיות בעלות ערך במסגרות אחרות" שאינן קשורות לתורת היחסות הכללית, אמר שטרן. "יש משפחה גדולה של בעיות קשורות", הוא אמר, שמחכה להיחקר.

Quanta עורכת סדרה של סקרים כדי לשרת טוב יותר את הקהל שלנו. קח את שלנו סקר קוראי מתמטיקה ותוכלו לזכות בחינם Quanta סחורה.