בתחילת שנות ה-1950 יצאה קבוצת חוקרים במכון ללימודים מתקדמים בפרויקט היי-טק. ב להתנהג של ג'ון פון נוימן והרמן גולדסטיין, הפיזיקאית הדוויג סלברג תכנתה את מחשב ה-IAS עם 1,700 צינורות ואקום כדי לחשב סכומים מתמטיים מוזרים שמקורותיהם נמשכו עד המאה ה-18.
הסכומים היו קשורים לסכומי גאוס ריבועיים, על שם המתמטיקאי המפורסם קרל פרידריך גאוס. גאוס יבחר מספר ראשוני כלשהו p, ואז סכם מספרים מהצורה $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$. מאז הקמתם, סכומי גאוס ריבועיים הוכיחו ערך רב עבור משימות כמו ספירת פתרונות לסוגים מסוימים של משוואות. "מסתבר שסכומי גאוס הם קסומים, שהם פשוט עושים דברים נפלאים כי אלוהים יודע איזו סיבה", אמר ג'פרי הופשטיין, מתמטיקאי באוניברסיטת בראון.
באמצע המאה ה-19, המתמטיקאי הגרמני ארנסט אדוארד קאמר השתעשע עם קרוב משפחה לסכומי גאוס ריבועיים אלה, שם n2 במעריך מוחלף ב-an n3. קאמר הבחין שהם נטו לאסוף ערכים מסוימים במידה מפתיעה - התבוננות חדה שתוביל למאות שנים של חקירה בתורת המספרים.
אם סכומי גאוס מעוקבים אינם עובדים מחדש לנוסחה פשוטה יותר, קשה להסיק את הערכים שלהם. בהיעדר נוסחה כזו, קאמר התחיל לחשב סכומי גאוס מעוקבים - וחישוב וחישוב. "זה היה נפוץ מאוד עבורם לעשות את סוג החישובים ההרואיים האלה ביד אז", אמר מתיו יאנג, מתמטיקאי באוניברסיטת טקסס A&M. לאחר שחרש 45 סכומים, המקבילים ל-45 המספרים הראשוניים הלא טריוויאליים הראשונים, קאמר נכנע לבסוף.
כשסקר את התוצאות שלו, קאמר הבחין במשהו מעניין. בתיאוריה, הסכומים יכולים להיות כל דבר בין -1 ל-1 (לאחר ש"נורמלו" - חלקי קבוע מתאים). אבל כשעשה את החישובים, הוא גילה שהם מחולקים בצורה מוזרה. מחצית התוצאות היו בין ½ ל-1, ורק שישית מהן היו בין −1 ל-½. נראה שהם התקבצו בסביבות 1.
קאמר הציג את התצפיות שלו, יחד עם השערה: אם איכשהו תצליחו לשרטט את כל סכומי גאוס המעוקבים הרבים לאין שיעור, הייתם רואים את רובם בין ½ ל-1; פחות בין −½ ל-½; ועדיין פחות בין -1 ל -½.
סלברג, פון נוימן וגולדסטין יצאו לבדוק זאת במחשב המוקדם שלהם. סלברג תכנת אותו לחשב את סכומי גאוס מעוקבים עבור כל הראשוניים הלא טריוויאליים של פחות מ-10,000 - בסביבות 600 סכומים בסך הכל. (גולדסטין ופון נוימן ימשיכו לכתוב את המאמר; תרומותיה ירדו בסופו של דבר לקו של הכרה.) הם גילו שככל שהראשונים גדלו, הסכומים המנורמלים נטו פחות להתקבץ ליד 1. עם עדות משכנעת לכך שהשערתו של קאמר הייתה שגויה, מתמטיקאים החלו לנסות להבין סכומי גאוס מעוקבים בצורה עמוקה יותר שחרגה מעבר לחישוב בלבד.
תהליך זה הושלם כעת. בשנת 1978, המתמטיקאי סמואל פטרסון העז בפתרון לתעלומה המתמטית של קאמר, אך לא הצליח להוכיח זאת. ואז בסתיו שעבר, שני מתמטיקאים מהמכון הטכנולוגי של קליפורניה הוכיחו את השערתו של פטרסון, סוף סוף סיפקו סגירה להגיגי קאמר מ-1846.
פטרסון התמכר לראשונה לבעיה כסטודנט לתואר שני באוניברסיטת קיימברידג' בשנות ה-1970. ההשערה שלו נבעה ממה שקורה כאשר מספרים ממוקמים באופן אקראי בכל מקום בין -1 ל-1. אם אתה מסתכם N מבין המספרים האקראיים הללו, הגודל הטיפוסי של הסכום יהיה $latexsqrt{N}$ (הוא יכול להיות חיובי או שלילי). באופן דומה, אם סכומי גאוס מעוקבים היו מפוזרים באופן שווה מ-1 עד 1, היית מצפה N מתוכם להסתכם בערך $latexsqrt{N}$.
עם זה בחשבון, הוסיף פטרסון N סכומי גאוס מעוקבים, תוך התעלמות (לעת עתה) מהדרישה להיצמד למספרים הראשוניים. הוא גילה שהסכום היה בסביבה N5/6 - גדול מ-$latexsqrt{N}$ (שאפשר לכתוב כ N1/2), אבל פחות מ N. ערך זה מרמז שהסכומים התנהגו כמו מספרים אקראיים אך עם כוח חלש הלוחץ עליהם לעבר ערכים חיוביים, הנקרא הטיה. כפי ש N נהיה גדול יותר ויותר, האקראיות תתחיל להכריע את ההטיה, ולכן אם היית מסתכל איכשהו על כל סכומי גאוס המעוקבים הרבים בבת אחת, הם נראים מחולקים באופן שווה.
זה הסביר לכאורה הכל: החישובים של קאמר מראים הטיה, כמו גם חישובי ה-IAS מפריכים אחד כזה.
אבל פטרסון לא היה מסוגל לעשות את אותם חישובים עבור מספרים ראשוניים, אז ב-1978, הוא רשם את זה באופן רשמי בתור השערה: אם אתה מחבר את סכומי גאוס מעוקבים עבור מספרים ראשוניים, אתה אמור לקבל את אותו הדבר N5/6 התנהגות.
זמן קצר לאחר שנשא הרצאה על עבודתו על בעיית קאמר, פנה לפטרסון סטודנט לתואר שני בשם רוג'ר הית'-בראון, שהציע לשלב טכניקות מתורת המספרים הראשוניים. השניים התחברו ובקרוב לאור התקדמות על הבעיה, אבל הם עדיין לא הצליחו להראות שפטרסון ניבא N5/6 הטיה הייתה מדויקת עבור ראשוניים.
במהלך העשורים שלאחר מכן, הייתה התקדמות מועטה. לבסוף, בתחילת המילניום, הית' בראון עשה עוד אחד פריצת דרך, שבו כלי שפיתח בשם המסננת הגדולה הקובית שיחק תפקיד חיוני.
כדי להשתמש במסננת הקובית הגדולה, הית' בראון השתמש בסדרה של חישובים כדי לקשר את סכום סכומי גאוס מעוקבים לסכום אחר. בעזרת הכלי הזה, הית' בראון הצליח להראות שאם מחברים את סכומי גאוס מעוקבים עבור ראשוניים פחות מ- N, התוצאה לא יכולה להיות הרבה יותר גדולה מ N5/6. אבל הוא חשב שהוא יכול לעשות יותר טוב - שאפשר לשפר את המסננת עצמה. אם זה היה יכול, זה היה מוריד את הגבול ל N5/6 בדיוק, ובכך מוכיח את ההשערה של פטרסון. בשורה קצרה של טקסט, הוא שרטט מה לדעתו תהיה הנוסחה הטובה ביותר למסננת.
אפילו עם הכלי החדש הזה ביד, מתמטיקאים לא הצליחו להתקדם הלאה. ואז שני עשורים לאחר מכן, מפגש בר מזל בין הפוסט-דוקטורט של קלטק אלכסנדר דאן והממונה עליו מקסים רדזיווילל סימן את תחילת הסוף. לפני שדן החל את תפקידו בספטמבר 2020, ראדז'יוויל הציע שהם יעבדו יחד על ההשערה של פטרסון. אבל עם מגיפת קוביד-19 שעדיין משתוללת, המחקר וההוראה המשיכו מרחוק. לבסוף, בינואר 2021, המקרה - או הגורל - התערב כאשר שני המתמטיקאים נתקלו זה בזה במפתיע בחניון בפסדינה. "שוחחנו בלבביות והסכמנו שנתחיל להיפגש ולדבר מתמטיקה", כתב דאן באימייל. עד מרץ הם עבדו בחריצות על הוכחה להשערה של פטרסון.
"זה היה מרגש לעבוד עליו, אבל בסיכון גבוה מאוד", אמר דאן. "כלומר, אני זוכר שבאתי למשרד שלי בחמש בבוקר כל בוקר ברציפות במשך ארבעה או חמישה חודשים."
דאן ורדז'יוויל, כמו הית' בראון לפניהם, מצאו שהמסננת הגדולה המעוקבת הכרחית להוכחתם. אבל כשהם השתמשו בנוסחה שהית' בראון רשם במאמרו משנת 2000 - זו שלדעתו היא המסננת הטובה ביותר האפשרית, השערה שקהילת תורת המספרים האמינה שהיא נכונה - הם הבינו שמשהו לא בסדר . "הצלחנו להוכיח ש-1 = 2, לאחר עבודה מאוד מאוד מסובכת", אמר Radziwiłł.
בשלב זה, רדזיוויל היה בטוח שהטעות היא שלהם. "הייתי די משוכנע שבעצם יש לנו טעות בהוכחה שלנו". דאן שכנע אותו אחרת. את המסננת הקובית הגדולה, בניגוד לציפיות, לא ניתן היה לשפר.
חמושים בצדקתה של המסננת הגדולה, דאן ורדז'יוויל כיילו מחדש את גישתם להשערה של פטרסון. הפעם, הם הצליחו.
"אני חושב שזו הייתה הסיבה העיקרית לכך שאף אחד לא עשה את זה, כי ההשערה הזו [הית' בראון] הטעתה את כולם", אמר רדזיוויל. "אני חושב שאם הייתי אומר להית' בראון שההשערה שלו שגויה, אז הוא כנראה היה מבין איך לעשות את זה."
דאן ורדז'יוויל פרסמו את מאמרם ב-15 בספטמבר 2021. בסופו של דבר, ההוכחה שלהם הסתמכה על השערת רימן המוכללת, השערה מפורסמת שלא הוכחה במתמטיקה. אבל מתמטיקאים אחרים רואים בכך רק חסרון מינורי. "אנחנו רוצים להיפטר מההשערה. אבל אנחנו שמחים לקבל תוצאה מותנית בכל מקרה", אמר הית'-בראון, שכיום הוא פרופסור אמריטוס באוניברסיטת אוקספורד.
עבור הית' בראון, עבודתם של דאן ורדז'יוויל היא יותר מסתם הוכחה להשערה של פטרסון. עם התובנה הבלתי צפויה שלו על המסננת הגדולה המעוקבת, העיתון שלהם הביא סוף מפתיע לסיפור שהוא חלק ממנו במשך עשרות שנים. "אני שמח שבעצם לא כתבתי בעיתון שלי, 'אני בטוח שאפשר להיפטר מזה'", אמר, בהתייחס לחלק המסננת שגילו דאן ורדז'יוויל שהוא חיוני. "פשוט אמרתי, 'זה יהיה נחמד אם אפשר להיפטר מזה. זה נראה אפשרי שאתה צריך להיות מסוגל.' ואני טעיתי - לא בפעם הראשונה".
