השערה ישנה נופלת, מה שהופך את הכדורים להרבה יותר מסובכים | מגזין קוונטה

בתחילת יוני, באזז נבנה כאשר מתמטיקאים נחתו בנמל התעופה הית'רו בלונדון. יעדם היה אוניברסיטת אוקספורד וא כנס לכבוד יום ההולדת ה-65 של מייקל הופקינס, מתמטיקאי באוניברסיטת הרווארד ששימש כמנטור לרבים מהמשתתפים.

הופקינס עשה לעצמו שם בסוף שנות ה-1980 בגלל עבודה על שבע השערות דאג רוונל מאוניברסיטת רוצ'סטר גיבשו עשור קודם לכן. הם היו קשורים לטכניקות לקביעה מתי שתי צורות, או רווחים, שעשויים להיראות שונים באמת זהים. הופקינס ומשתפי הפעולה שלו הוכיחו את כל ההשערות של Ravenel מלבד אחת, בעיה עם שם מרמז אך מסתורי שנקרא השערת הטלסקופ.

באותו זמן, הופקינס הניח את עבודתו על השערותיו של Ravenel למנוחה. במשך עשרות שנים לאחר מכן, השערת הטלסקופ נראתה כמעט בלתי אפשרית לפתרון.

"לא יכולת לגעת במשפט כזה," אמר הופקינס.

אבל כשהמתמטיקאים נחתו בלונדון, היו שמועות שזה נעשה - על ידי קבוצה של ארבעה מתמטיקאים עם קשרים למכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס, שלשלושה מהם יעץ הופקינס בבית הספר לתארים מתקדמים. הצעיר מבין הארבעה, שם סטודנט לתואר שני אישן לוי, היה אמור לשאת הרצאה ביום שלישי, היום השני של הוועידה, שנראה היה שזה הזמן שבו אולי תוכרז הוכחה.

"שמעתי שמועות שזה מתקרב, ולא ידעתי בדיוק למה לצפות", אמר וסנה סטויאנוסקה, מתמטיקאי מאוניברסיטת אילינוי, אורבנה-שמפיין שהשתתף בכנס.

עד מהרה היה ברור שהשמועות נכונות. החל מיום שלישי, ובמהלך שלושת הימים הבאים, לוי ושותפיו - רוברט בורקלונד, ג'רמי האן ו תומר שלנק - הסביר לקהל של כ-200 מתמטיקאים איך הם הוכיחו שהשערת הטלסקופ הייתה שקרית, מה שהפך אותה ליחידה מההשערות המקוריות של Ravenel שאינה נכונה.

להסתרת השערת הטלסקופ יש השלכות רחבות טווח, אבל אחת הפשוטות והעמוקות ביותר היא זו: זה אומר שבמימדים גבוהים מאוד (חשבו על כדור של 100 מימדים), היקום של צורות שונות הוא הרבה יותר מסובך מאשר המתמטיקאים ציפו.

מיפוי המפות

כדי לסווג צורות, או מרחבים טופולוגיים, מתמטיקאים מבחינים בין הבדלים שחשובים לאלו שלא. תיאוריית ההומוטופיה היא פרספקטיבה שממנה ניתן לעשות את ההבחנות הללו. הוא מחשיב כדור וביצה ביסודו של אותו מרחב טופולוגי, כי אתה יכול להתכופף ולהתמתח אחד לתוך השני מבלי לקרוע גם. באותו אופן, תיאוריית ההומטופיה מחשיבה כדור וצינור פנימי כשונים מהותיים מכיוון שצריך לקרוע חור בכדור כדי לעוות אותו לתוך הצינור הפנימי.

הומוטופיה שימושית לסיווג חללים טופולוגיים - יצירת תרשים של כל סוגי הצורות האפשריות. זה גם חשוב להבנת משהו אחר שמתמטיקאים חשובים ממנו: מפות בין רווחים. אם יש לך שני מרחבים טופולוגיים, דרך אחת לחקור את המאפיינים שלהם היא לחפש פונקציות שממירות, או ממפות, נקודות באחת לנקודות בשנייה - הזן נקודה במרחב A, קבל נקודה במרחב B בתור הפלט שלך, ועשה זאת עבור כל הנקודות ב-A.

כדי לראות כיצד מפות אלו פועלות, ומדוע הן מאירות מאפיינים של החללים המעורבים, התחל במעגל. כעת ממפה אותו על הכדור הדו-ממדי, שהוא פני השטח של כדור. יש אינסוף דרכים לעשות זאת. אם אתה מדמיין את הכדור כמשטח של כדור הארץ, אתה יכול לשים את המעגל שלך בכל קו רוחב, למשל. מנקודת המבט של תיאוריית ההומטופיה, כולם שווים, או הומוטופיים, מכיוון שכולם יכולים להתכווץ עד לנקודה בקוטב הצפוני או הדרומי.

לאחר מכן, מפה את המעגל על ​​פני השטח הדו-ממדי של צינור פנימי (טורוס חד-חור). שוב, יש אינסוף דרכים לעשות זאת, ורובן הומוטופיות. אבל לא כולם. אתה יכול למקם מעגל אופקית או אנכית סביב הטורוס, ואי אפשר לעוות בצורה חלקה את השני. אלו הן שתי דרכים (מני רבים) למיפוי מעגל על ​​גבי הטורוס, בעוד שקיימת רק דרך אחת למפות אותו על כדור, המשקפת הבדל מהותי בין שני המרחבים: לטורוס יש חור אחד ואילו לכדור אין.

קל לספור את הדרכים שבהן אנו יכולים למפות מהמעגל לכדור הדו-ממדי או הטורוס. הם חללים מוכרים שקל לדמיין אותם. אבל ספירת מפות היא הרבה יותר קשה כאשר מעורבים חללים בעלי ממדים גבוהים יותר.

הבדלי ממדים

אם לשני ספירות יש אותו ממד, תמיד יש אינסוף מפות ביניהן. ואם המרחב שממנו אתה ממפה הוא מימדי נמוך יותר מהמרחב אליו אתה ממפה (כמו בדוגמה שלנו של המעגל החד-ממדי שמופה על כדור דו-ממדי), תמיד יש רק מפה אחת.

חלקית מסיבה זו, ספירת מפות היא הכי מעניינת כאשר למרחב שממנו אתה ממפה יש מימד גבוה יותר מהמרחב אליו אתה ממפה, כמו כשאתה ממפה כדור שבע-ממדי על כדור תלת-ממדי. במקרים כאלה, מספר המפות תמיד סופי.

"המפות בין ספירות באופן כללי נוטות להיות מעניינות יותר כאשר למקור יש מימד גדול יותר", אמר האן.

יתרה מכך, מספר המפות תלוי רק בהבדל במספר הממדים (ברגע שהמידות גדלות מספיק בהשוואה להבדל). כלומר, מספר המפות מכדור 73 מימד לכדור 53 מימדי זהה למספר המפות מכדור 225 מימד לכדור 205 מימד, מכיוון שבשני המקרים, ההבדל בממד הוא 20.

מתמטיקאים היו רוצים לדעת את מספר המפות בין מרחבים בכל הבדל בממדים. הם הצליחו לחשב את מספר המפות עבור כמעט כל ההבדלים בממדים עד 100: יש 24 מפות בין כדורים כשההפרש הוא 20, ו-3,144,960 כאשר הוא 23.

אבל חישוב מספר המפות עבור כל הבדל גדול מ-100 ממצה את כוח המחשוב המודרני. ויחד עם זאת, מתמטיקאים לא זיהו מספיק דפוסים במספר המפות כדי להרחיק עוד יותר. המטרה שלהם היא למלא טבלה שמציינת את מספר המפות עבור כל הבדל בממד, אבל המטרה הזו מרגישה רחוקה מאוד.

"זו לא שאלה שאני מצפה לפתרון מלא בחייהם של נכדיי", אמר רוונל, בן 76.

השערת הטלסקופ מנבאת כיצד מספר המפות גדל ככל שההבדל בממדים גדל. למעשה, הוא צופה שהמספר גדל לאט. אם זה היה נכון, זה היה מקלה מעט את הבעיה של מילוי הטבלה.

ספק אל חוסר אמון

השערת הטלסקופ קיבלה את שמה בצורה בלתי סבירה.

זה התחיל מהעובדה שבמימדים גבוהים מאוד, אינטואיציה גיאומטרית שנוצרת בממדים נמוכים יותר מתקלקלת לעתים קרובות, וקשה לספור מפות בין כדורים. אבל בניסוח השערתו, ראונל הבין שאתה לא חייב. במקום לספור מפות בין כדורים, אתה יכול לבצע ספירת פרוקסי קלה יותר של מפות בין כדורים ואובייקטים הנקראים טלסקופים.

טלסקופים כוללים סדרה של עותקים של עקומה סגורה בממדים גבוהים יותר, כל אחד מהם גרסה מוקטנת של זו שבאה לפניו. סדרת הקימורים מזכירה את הצינורות המשתלבים של טלסקופ מתקפל בפועל. "עד כמה שהטלסקופ הזה נשמע מוזר כשאתה מתאר אותו, זה למעשה אובייקט שקל יותר להתמודד איתו מאשר הכדור עצמו," אמר רייונל.

אבל עדיין, כדורים יכולים למפות על טלסקופים בדרכים רבות ושונות, והאתגר הוא לדעת מתי המפות הללו באמת שונות.

כדי לקבוע אם שני מרחבים הם הומוטופיים נדרש מבחן מתמטי המכונה אינוריאנטי, שהוא חישוב המבוסס על מאפיינים של המרחבים. אם החישוב מניב ערך שונה עבור כל חלל, אתה יודע שהם ייחודיים מנקודת המבט של ההומטופיה.

ישנם סוגים רבים של אינוריאנטים, וחלקם יכולים לתפוס הבדלים שאינוריאנטים אחרים עיוורים אליהם. השערת הטלסקופ חוזה כי אינווריאנט נקרא מוראבה E-התיאוריה (והסימטריות שלה) יכולות להבחין בצורה מושלמת בין כל המפות בין כדורים וטלסקופים עד להומטופיה - כלומר, אם Morava E-התיאוריה אומרת שהמפות שונות, הן שונות, ואם היא אומרת שהן זהות, הן זהות.

אבל ב-1989 החל רוונל לפקפק בכך שהוא נכון. הספקנות שלו נבעה מחישובים שביצע, שנראה שלא עולים בקנה אחד עם ההשערה. אבל רק באוקטובר של אותה שנה, כשרעידת אדמה אדירה פגעה באזור המפרץ כשהיה בברקלי, הספקות הללו התגבשו לכדי חוסר אמון מלא.

"הגעתי למסקנה הזו תוך יום או יומיים מרעידת האדמה, אז אני אוהב לחשוב שקרה משהו שגרם לי לחשוב שזה לא נכון", אמר רייונל.

הפרכת השערת הטלסקופ תדרוש מציאת אינוריאנט חזק יותר שיוכל לראות דברים Morava E-התיאוריה לא יכולה. במשך עשרות שנים לא נראה ששום דבר כזה היה זמין, מה שהציב את ההשערה מחוץ להישג יד. אבל ההתקדמות בשנים האחרונות שינתה את זה - ובורקלונד, האן, לוי ושלנק ניצלו את זה.

האקזוטי המתפוצץ

ההוכחה שלהם מסתמכת על מערכת כלים הנקראת אלגברית Kתיאוריה, שהוקמה בשנות החמישים על ידי אלכסנדר גרוטנדייק והתפתחה במהירות בעשור האחרון. יש לו יישומים במתמטיקה, כולל בגיאומטריה, שם יש לו את היכולת להטעין אינוריאנט.

ארבעת המחברים משתמשים באלגברית K-תיאוריה כגאדג'ט: הם מכניסים את Morava E-תיאוריה, והפלט שלהם הוא אינוריאנט חדש שהם מתייחסים אליו כאלגברי K-תיאוריית הנקודות הקבועות של מוראבה E-תֵאוֹרִיָה. לאחר מכן הם מיישמים את האינוריאנט החדש הזה על מפות מכדורים לטלסקופים ומוכיחים שהוא יכול לראות מפות שמוראבה E-התיאוריה לא יכולה.

וזה לא רק שהאינווריאנט החדש הזה רואה עוד כמה מפות. הוא רואה הרבה יותר, אפילו לאין שיעור. כל כך הרבה יותר שזה הוגן לומר מוראבה E-התיאוריה בקושי גירדה את פני השטח כשזה הגיע לזיהוי מפות מכדורים ועד טלסקופים.

אינסוף יותר מפות מכדורים לטלסקופים פירושו אינסוף מפות בין הכדורים עצמם. מספר מפות כאלה הוא סופי לכל הבדל בממד, אבל ההוכחה החדשה מראה שהמספר גדל במהירות וללא רחמים.

העובדה שיש כל כך הרבה מפות מצביע על מציאות גיאומטרית מטרידה: יש כל כך הרבה ספירות.

בשנת 1956 זיהה ג'ון מילנור את הדוגמאות הראשונות למה שמכונה ספירות "אקזוטיות". אלו הם חללים שיכולים להיות מעוותים לתוך הספירה הממשית מנקודת המבט של ההומטופיה, אך שונים מהספירה במובן מדויק מסוים. ספירות אקזוטיות אינן קיימות כלל בממדים 16,256, 15 או 523,264, ואף אחד לא גילה דוגמאות שלהן מתחת למימד 19 - המימד שבו מילנור מצא אותם לראשונה. אבל ככל שהמימד גדל, מספר הספירות האקזוטיות מתפוצץ. יש XNUMX בממד XNUMX, ו-XNUMX בממד XNUMX.

ועדיין, עד כמה שהמספרים האלה עצומים, ההכחשה של השערת הטלסקופ פירושה שיש הרבה הרבה יותר. ההסתרה פירושה שיש יותר מפות בין ספירות ממה שציפו כשראוונל הצהיר את ההשערה, והדרך היחידה להשיג יותר מפות היא על ידי מגוון גדול יותר של כדורים למפות ביניהם.

ישנם סוגים שונים של התקדמות במתמטיקה ובמדעים. סוג אחד מביא סדר לכאוס. אבל אחר מגביר את הכאוס על ידי הרחקת הנחות תקווה שלא היו נכונות. ההפרכה של השערת הטלסקופ היא כזו. זה מעמיק את המורכבות של הגיאומטריה ומעלה את הסיכויים שדורות רבים של נכדים יבואו וילכו לפני שמישהו יבין לגמרי מפות בין ספירות.

"נראה שכל התקדמות גדולה בנושא אומרת לנו שהתשובה היא הרבה יותר מסובכת ממה שחשבנו קודם", אמר רוונל.