'מלמול' עיקול אליפטי נמצאו עם AI Take Flight | מגזין קוונטה

עקומות אליפטיות הן בין האובייקטים המפתים יותר במתמטיקה המודרנית. הם לא נראים מסובכים, אבל הם מהווים נתיב מהיר בין המתמטיקה שאנשים רבים לומדים בתיכון לבין מחקר המתמטיקה בשיאה. הם היו מרכזיים בהוכחה המהוללת של אנדרו ווילס למשפט האחרון של פרמה בשנות ה-1990. הם כלי מפתח בהצפנה המודרנית. ובשנת 2000, המכון למתמטיקה קליי בשם א השערה לגבי הסטטיסטיקה של עקומות אליפטיות אחת משבע "בעיות פרס המילניום", שכל אחת מהן נושאת פרס של מיליון דולר עבור פתרונה. ההשערה הזו, שהעזה לראשונה בריאן ברץ' ו פיטר סווינרטון-דייר בשנות ה-1960, עדיין לא הוכח.

הבנת עקומות אליפטיות היא מאמץ גבוה שהיה מרכזי במתמטיקה. אז בשנת 2022, כאשר שיתוף פעולה טרנס-אטלנטי השתמש בטכניקות סטטיסטיות ובבינה מלאכותית כדי לגלות דפוסים בלתי צפויים לחלוטין בעקומות אליפטיות, זו הייתה תרומה מבורכת, אם לא צפויה. "זה היה רק ​​עניין של זמן עד שלמידת מכונה תנחת על מפתן הדלת שלנו עם משהו מעניין", אמר פיטר סרנק, מתמטיקאי במכון ללימודים מתקדמים ובאוניברסיטת פרינסטון. בתחילה, איש לא יכול היה להסביר מדוע קיימים הדפוסים החדשים שהתגלו. מאז, בסדרה של מאמרים אחרונים, החלו מתמטיקאים לגלות את הסיבות מאחורי הדפוסים, שכונו "מלמולים" בשל הדמיון שלהם לצורות הנוזלות של זרזירים נוהרים, והחלו להוכיח שהם חייבים להתרחש לא רק בפרט הספציפי. דוגמאות שנבדקו בשנת 2022, אך בעיקולים אליפטיים באופן כללי יותר.

החשיבות של להיות אליפטי

כדי להבין מהן הדפוסים הללו, עלינו להניח מעט בסיס לגבי מהן עקומות אליפטיות וכיצד מתמטיקאים מחלקים אותן לקטגוריות.

עקומה אליפטית מתייחסת לריבוע של משתנה אחד, הכתוב בדרך כלל כ y, בחזקה שלישית של אחר, נהוג לכתוב בשם x: y² = x³ + Ax + B, עבור כמה זוג מספרים A ו B, כל עוד A ו B לעמוד בכמה תנאים פשוטים. משוואה זו מגדירה עקומה שניתן לצייר גרף במישור, כפי שמוצג להלן. (למרות הדמיון בשמות, אליפסה אינה עקומה אליפטית.)

אף על פי שהם פשוטים למראה, עקומות אליפטיות מתגלות ככלים חזקים להפליא עבור תורת המספרים - מתמטיקאים שמחפשים דפוסים במספרים השלמים. במקום לתת למשתנים x ו y טווח על פני כל המספרים, מתמטיקאים אוהבים להגביל אותם למערכות מספרים שונות, שהם מכנים הגדרת עקומה "מעל" מערכת מספרים נתונה. עקומות אליפטיות מוגבלות למספרים הרציונליים - מספרים שניתן לכתוב כשברים - שימושיות במיוחד. "עקומות אליפטיות על המספרים האמיתיים או המרוכבים הם די משעממים", אמר סרנק. "רק המספרים הרציונליים הם עמוקים."

הנה דרך אחת שהיא נכונה. אם תצייר קו ישר בין שתי נקודות רציונליות בעקומה אליפטית, המקום שבו קו זה חוצה שוב את העקומה יהיה גם רציונלי. אתה יכול להשתמש בעובדה זו כדי להגדיר "הוספה" בעקומה אליפטית, כפי שמוצג להלן.

צייר קו בין P ו Q. הקו הזה יחצה את העקומה בנקודה שלישית, R. (למתמטיקאים יש טריק מיוחד להתמודדות עם המקרה שבו הקו לא חוצה את העקומה על ידי הוספת "נקודה באינסוף".) השתקפות של R מעבר x-ציר הוא הסכום שלך P + Q. יחד עם פעולת החיבור הזו, כל הפתרונות לעקומה יוצרים עצם מתמטי הנקרא קבוצה.

מתמטיקאים משתמשים בזה כדי להגדיר את ה"דרגה" של עקומה. ה דרגה של עקומה מתייחס למספר הפתרונות הרציונליים שיש לו. לעקומות דרגה 0 יש מספר סופי של פתרונות. לעקומות עם דרגה גבוהה יותר יש אינסוף פתרונות שהקשר שלהם זה לזה באמצעות פעולת החיבור מתואר על ידי הדרגה.

הדרגות אינן מובנות היטב; למתמטיקאים לא תמיד יש דרך לחשב אותם והם לא יודעים כמה גדולים הם יכולים להגיע. (הדרגה המדויקת הגדולה ביותר שידועה עבור עקומה ספציפית היא 20.) עקומות דומות למראה יכולות להיות בעלות דרגות שונות לחלוטין.

גם לעקומות אליפטיות יש הרבה קשר למספרים ראשוניים, שמתחלקים רק ב-1 ובעצמם. במיוחד, מתמטיקאים מסתכלים על עקומות על פני שדות סופיים - מערכות של אריתמטיקה מחזורית המוגדרות עבור כל מספר ראשוני. שדה סופי הוא כמו שעון שמספר השעות שלו שווה לראשוני: אם תמשיך לספור כלפי מעלה, המספרים מתחילים מחדש. בשדה הסופי עבור 7, למשל, 5 ועוד 2 שווה לאפס, ו-5 ועוד 3 שווה ל-1.

לעקומה אליפטית יש רצף של מספרים משויך, הנקרא a_p, המתייחס למספר הפתרונות שיש לעקומה בשדה הסופי המוגדר על ידי ראשוני p. קטן יותר a_p פירושו פתרונות נוספים; גדול יותר a_p פירושו פחות פתרונות. למרות שקשה לחשב את הדירוג, הרצף a_p זה הרבה יותר קל.

על בסיס חישובים רבים שנעשו באחד מהמחשבים הראשונים, ברץ' וסווינרטון-דייר שיערו קשר בין הדרגה של עקומה אליפטית לרצף a_p. כל מי שיכול להוכיח שהוא צדק עומד לזכות במיליון דולר ובאלמוות מתמטי.

מתגלה תבנית הפתעה

לאחר תחילת המגיפה, Yang-Hui He, חוקר במכון לונדון למדעי מתמטיקה, החליט לקחת על עצמו כמה אתגרים חדשים. הוא היה מתמחה בפיזיקה בקולג', וקיבל את הדוקטורט שלו מהמכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס בפיזיקה מתמטית. אבל הוא התעניין יותר ויותר בתורת המספרים, ובהתחשב ביכולות ההולכות וגדלות של בינה מלאכותית, הוא חשב שינסה את כוחו בשימוש בבינה מלאכותית ככלי למציאת דפוסים בלתי צפויים במספרים. (הוא כבר היה באמצעות למידת מכונה לסווג סעפות Calabi-Yau, מבנים מתמטיים שנמצאים בשימוש נרחב בתורת המיתרים.)

באוגוסט 2020, כשהמגיפה העמיקה, אוניברסיטת נוטינגהם אירחה אותו לאירוע שיחה מקוונת. הוא היה פסימי לגבי ההתקדמות שלו, ולגבי עצם האפשרות להשתמש בלמידת מכונה כדי לחשוף מתמטיקה חדשה. "הנרטיב שלו היה שתורת המספרים הייתה קשה כי אי אפשר ללמוד דברים במכונה בתורת המספרים", אמר תומאס אוליבר, מתמטיקאי באוניברסיטת וסטמינסטר שהיה בקהל. כפי שהוא זוכר, "לא הצלחתי למצוא שום דבר כי לא הייתי מומחה. אפילו לא השתמשתי בדברים הנכונים כדי להסתכל על זה".

אוליבר ו קיו-הוואן לי, מתמטיקאי באוניברסיטת קונטיקט, החל לעבוד עם He. "החלטנו לעשות זאת רק כדי ללמוד מהי למידת מכונה, במקום ללמוד ברצינות מתמטיקה", אמר אוליבר. "אבל מהר מאוד גילינו שאתה יכול ללמוד הרבה דברים במכונה."

אוליבר ולי הציעו לו ליישם את הטכניקות שלו כדי לבחון L-פונקציות, סדרות אינסופיות הקשורות קשר הדוק לעקומות אליפטיות דרך הרצף a_p. הם יכולים להשתמש במסד נתונים מקוון של עקומות אליפטיות והקשרים ביניהם L-פונקציות הנקראות את LMFDB להכשיר את מסווגי למידת המכונה שלהם. באותו זמן למאגר היו קצת יותר מ-3 מיליון עקומות אליפטיות על הרציונלים. עד אוקטובר 2020, היה להם נייר שהשתמש במידע שנאסף ממנו L-פונקציות לחזות תכונה מסוימת של עקומות אליפטיות. בנובמבר הם שיתפו נייר אחר שהשתמש בלמידת מכונה כדי לסווג אובייקטים אחרים בתורת המספרים. עד דצמבר הם הצליחו לחזות את דרגות העקומות האליפטיות עם דיוק גבוה.

אבל הם לא היו בטוחים מדוע אלגוריתמי למידת המכונה שלהם עובדים כל כך טוב. לי ביקש מהתלמיד שלו לתואר ראשון אלכסיי פוזדניאקוב לראות אם הוא יכול להבין מה קורה. כפי שזה קורה, ה-LMFDB ממיין עקומות אליפטיות לפי כמות הנקראת המוליך, המסכמת מידע על ראשוניים שעבורם עקומה לא מצליחה להתנהג בצורה טובה. אז פוזדניקוב ניסה להסתכל על מספר רב של עקומות עם מוליכים דומים בו זמנית - נניח, כל העקומות עם מוליכים בין 7,500 ל-10,000.

זה הסתכם בכ-10,000 עקומות בסך הכל. כמחצית מהן היו בדרגה 0, וחצי בדרגה 1. (דרגות גבוהות יותר הן נדירות ביותר). לאחר מכן ערך ממוצע של ערכי a_p עבור כל עקומות הדרגה 0, ממוצע בנפרד a_p עבור כל עקומות הדרגה 1, ושרטט את התוצאות. שתי קבוצות הנקודות יצרו שני גלים ברורים שניתן להבחין בהם בקלות. זו הייתה הסיבה שמסווגי למידת המכונה הצליחו לברר נכון את דרגות העקומות המסוימות.

"בהתחלה פשוט הרגשתי שמח שסיימתי את המשימה", אמר פוזדניקוב. "אבל קיו-הוואן זיהה מיד שהדפוס הזה מפתיע, ואז זה הפך למרגש באמת."

לי ואוליבר היו מרותקים. "אלכסי הראה לנו את התמונה, ואמרתי שזה נראה כמו הדבר שציפורים עושות", אמר אוליבר. "ואז קיו-הוואן חיפש את זה ואמר שזה נקרא מלמול, ואז יאנג אמר שצריך להתקשר לעיתון'רחש של עקומות אליפטיות. '"

הם העלו את המאמר שלהם באפריל 2022 והעבירו אותו לקומץ מתמטיקאים אחרים, ציפו בעצבנות שיגידו להם שמה שנקרא "הגילוי" שלהם ידוע. אוליבר אמר שהקשר היה כל כך גלוי שהיה צריך לשים לב אליו מזמן.

כמעט מיד, הטרום-הדפסה זכתה לעניין, במיוחד מ אנדרו סאתרלנד, מדען מחקר ב-MIT שהוא אחד מהעורכים המנהלים של LMFDB. סאתרלנד הבין ש-3 מיליון עקומות אליפטיות לא מספיקות למטרותיו. הוא רצה להסתכל על טווחי מוליכים גדולים בהרבה כדי לראות עד כמה המלמולים חזקים. הוא שלף נתונים ממאגר עצום אחר של כ-150 מיליון עקומות אליפטיות. עדיין לא מרוצה, אז הוא שלף נתונים ממאגר אחר עם 300 מיליון עקומות.

"אבל אפילו אלה לא הספיקו, אז למעשה חישבתי מערך נתונים חדש של למעלה ממיליארד עקומות אליפטיות, וזה מה שהשתמשתי כדי לחשב את התמונות באמת ברזולוציה גבוהה", אמר סאתרלנד. המלמולים הופיעו אם הוא העמיד בממוצע מעל 15,000 עקומות אליפטיות בכל פעם או מיליון בכל פעם. הצורה נשארה זהה גם כשהסתכל על העקומות מעל מספרים ראשוניים גדולים יותר ויותר, תופעה שנקראת אינווראנס בקנה מידה. סאתרלנד גם הבין שמלמולים אינם ייחודיים לעיקולים אליפטיים, אלא מופיעים גם באופן כללי יותר L-פונקציות. הוא כתב מכתב המסכם את ממצאיו ושלח אותו לסרנק ו מיכאל רובינשטיין באוניברסיטת ווטרלו.

"אם יש לזה הסבר ידוע, אני מצפה שתכירו אותו", כתב סאתרלנד.

הם לא עשו זאת.

הסבר על התבנית

לי, הוא ואוליבר ארגנו סדנה בנושא מלמולים באוגוסט 2023 במכון למחקר חישובי וניסיוני במתמטיקה (ICERM) של אוניברסיטת בראון. הגיעו סרנק ורובינשטיין, וכך גם תלמידו של סרנק נינה זוברילינה.

זוברילינה הציגה את מחקריה על דפוסי מלמול ב צורות מודולריות, פונקציות מורכבות מיוחדות אשר, כמו עקומות אליפטיות, היו קשורות L-פונקציות. בצורות מודולריות עם מוליכים גדולים, המלמולים מתכנסים לעקומה מוגדרת בחדות, במקום ליצור תבנית מובחנת אך מפוזרת. ב נייר זוברילינה, שפורסמה ב-11 באוקטובר 2023, הוכיחה שסוג זה של מלמול עוקב אחר נוסחה מפורשת שגילתה.

"ההישג הגדול של נינה הוא שהיא נתנה לזה נוסחה; אני קורא לזה נוסחת צפיפות המלמולים של זוברילינה", אמר סרנק. "באמצעות מתמטיקה מתוחכמת מאוד, היא הוכיחה נוסחה מדויקת שמתאימה לנתונים בצורה מושלמת."

הנוסחה שלה מסובכת, אבל סרנק מתייחס אליה כסוג חדש וחשוב של פונקציה, הדומה לפונקציות האווריריות שמגדירות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות המשמשות במגוון הקשרים בפיזיקה, החל מאופטיקה ועד מכניקת הקוונטים.

למרות שהנוסחה של זוברילינה הייתה הראשונה, אחרים הלכו בעקבותיו. "מדי שבוע יוצא מאמר חדש", אמר סרנק, "בעיקר תוך שימוש בכלים של זוברילינה, שמסביר היבטים אחרים של מלמול."

ג'ונתן בובר, אנדרו בוקר ו מין לי מאוניברסיטת בריסטול, יחד עם דוד לורי-דודה של ICERM, הוכיח את קיומו של סוג אחר של מלמול בצורות מודולריות ב עוד עיתון באוקטובר. וקיו-הוואן לי, אוליבר ופוזדניקוב הוכיח את הקיום של מלמולים בחפצים הנקראים דמויות דיריכלה שקשורות בקשר הדוק L-פונקציות.

סאתרלנד התרשם ממנת המזל המשמעותית שהובילה לגילוי מלמולים. אם נתוני העקומה האליפטית לא היו מסודרים על ידי מנצח, המלמולים היו נעלמים. "היה להם מזל לקחת נתונים מה-LMFDB, שהגיעו ממוינים מראש לפי המנצח", אמר. "זה מה שמקשר עקומה אליפטית לצורה המודולרית המקבילה, אבל זה בכלל לא ברור. ... לשתי עקומות שהמשוואות שלהן נראות מאוד דומות יכולות להיות מוליכים שונים מאוד." לדוגמה, סאתרלנד ציין זאת y² = x³ - 11x + 6 יש מוליך 17, אבל הפיכת סימן המינוס לסימן פלוס, y² = x³ + 11x + 6 יש מוליך 100,736.

גם אז נמצאו המלמולים רק בגלל חוסר ניסיונו של פוזדניקוב. "אני לא חושב שהיינו מוצאים את זה בלעדיו," אמר אוליבר, "מכיוון שהמומחים מנרמלים באופן מסורתי a_p להיות בעל ערך מוחלט 1. אבל הוא לא נרמל אותם... אז התנודות היו מאוד גדולות ונראות לעין."

הדפוסים הסטטיסטיים שבהם משתמשים אלגוריתמי בינה מלאכותית כדי למיין עקומות אליפטיות לפי דרגה קיימים במרחב פרמטרים עם מאות ממדים - רבים מדי מכדי שאנשים יוכלו למיין אותם במוחם, שלא לדבר על לדמיין, ציין אוליבר. אבל למרות שלמידת מכונה מצאה את התנודות הנסתרות, "רק מאוחר יותר הבנו שהן המלמולים".

הערת העורך: אנדרו סאתרלנד, קיו-הוואן לי ומסד הנתונים של L-functions and modular forms (LMFDB) קיבלו כולם מימון מקרן Simons, שגם מממנת את הפרסום הבלתי תלוי הזה מבחינה עריכה. להחלטות המימון של קרן סימונס אין השפעה על הסיקור שלנו. מידע נוסף זמין כאן.