'בייגל אנטרופיה' ומבנים מורכבים אחרים עולים מתוך כללים פשוטים | מגזין קוונטה

חזרה לא תמיד חייבת להיות צנועה. במתמטיקה, זהו כוח רב עוצמה, המסוגל ליצור מורכבות מביכה.

גם לאחר עשרות שנות לימוד, מתמטיקאים מוצאים את עצמם לא מסוגלים לענות על שאלות על ביצוע חוזר ונשנה של כללים פשוטים מאוד - ה"מערכות הדינמיות" הבסיסיות ביותר. אבל בניסיון לעשות זאת, הם חשפו קשרים עמוקים בין הכללים הללו לבין תחומים אחרים שנראים רחוקים במתמטיקה.

למשל, סט מנדלברוט, שאני כתב על בחודש שעבר, היא מפה של האופן שבו משפחת מתפקדת - המתוארת במשוואה f(x) = x² + c - מתנהג כערך של c טווחים על פני המישור המורכב כביכול. (בניגוד למספרים ממשיים, שניתן למקם על קו, למספרים מרוכבים יש שני מרכיבים, אותם ניתן לשרטט על x- ו yצירים של מישור דו מימדי.)

לא משנה כמה אתה מתקרב לסט מנדלברוט, דפוסים חדשים תמיד עולים, ללא הגבלה. "זה מרגש אותי לחלוטין, אפילו עכשיו, שהמבנה המאוד מורכב הזה נובע מחוקים פשוטים כל כך", אמר מתיו בייקר של המכון הטכנולוגי של ג'ורג'יה. "זו אחת התגליות המפתיעות באמת של המאה ה-20."

המורכבות של קבוצת מנדלברוט מתגלה בין השאר משום שהיא מוגדרת במונחים של מספרים שהם עצמם, ובכן, מורכבים. אבל, אולי באופן מפתיע, זה לא כל הסיפור. גם כאשר c הוא מספר ממשי פשוט כמו, למשל, -3/2, כל מיני תופעות מוזרות יכולות להתרחש. אף אחד לא יודע מה קורה כשאתה מיישם את המשוואה שוב ושוב f(x) = x² – 3/2, שימוש בכל פלט כקלט הבא בתהליך המכונה איטרציה. אם אתה מתחיל איטרציה מ x = 0 ("הנקודה הקריטית" של משוואה ריבועית), לא ברור אם תייצר רצף שמתכנס בסופו של דבר לעבר מחזור חוזר של ערכים, או כזה שממשיך לקפוץ בלי סוף בדפוס כאוטי.

עבור ערכים של c קטן מ-2 או יותר מ-1/4, איטרציה מתפוצצת במהירות עד אינסוף. אבל בתוך המרווח הזה, יש אינסוף ערכים של c ידוע כמייצר התנהגות כאוטית, ואינסוף מקרים כמו -3/2, שבהם "אנחנו לא יודעים מה קורה, למרות שזה סופר קונקרטי", אמר ג'וליו טיוזו של אוניברסיטת טורונטו.

אבל בשנות ה-1990, המתמטיקאי של אוניברסיטת סטוני ברוק מישה ליוביץ', שהיה בולט בדו"ח שלי על סט מנדלברוט, הוכיח שבמרווח שבין –2 ל-1/4, הרוב המכריע של הערכים של c לייצר התנהגות "היפרבולית" נחמדה. (המתמטיקאים Jacek Graczyk ו-Grzegorz Swiatek הוכח באופן עצמאי התוצאה בערך באותו זמן.) משמעות הדבר היא שהמשוואות המתאימות, כאשר הן חוזרות, מתכנסות לערך בודד או למחזור חוזר של מספרים.

עשור לאחר מכן, שלישיית מתמטיקאים הראתה שרוב הערכים של c הם היפרבוליים לא רק עבור משוואות ריבועיות, אלא עבור כל משפחה של פולינומים אמיתיים (פונקציות כלליות יותר המשלבות משתנים המועלים לחזקות, כמו x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). ועכשיו אחד מהם, סבסטיאן ואן סטריאן מאימפריאל קולג' בלונדון, מאמין שיש לו הוכחה לתכונה זו עבור מחלקה רחבה אף יותר של משוואות הנקראות פונקציות אנליטיות אמיתיות, הכוללות פונקציות סינוס, קוסינוס ואקספוננציאלי. ואן סטריאן מקווה להכריז על התוצאה במאי. אם זה יחזיק מעמד לאחר סקירת עמיתים, זה יסמן התקדמות גדולה באפיון כיצד מתנהגות מערכות חד-ממדיות אמיתיות.

צמתים לא סבירים ובייגלס אנטרופיה

יש אינסוף משוואות ריבועיות אמיתיות שכאשר הן חוזרות מאפס, ידוע שהן יוצרות מחזור חוזר של מספרים. אבל אם תגביל c לערכים רציונליים - אלה שניתן לכתוב כשברים - רק שלושה ערכים יוצרים בסופו של דבר רצפים מחזוריים: 0, -1 ו -2. "המערכות הדינמיות האלה מאוד מאוד מיוחדות", אמר קלייטון פטשה מאוניברסיטת אורגון סטייט.

In נייר פורסם בשנה שעברה, Petsche and צ'צ'אי נויתפטים מאוניברסיטת ווטרלו הוכיחו שהם אפילו יותר מיוחדים ממה שהם נראים במבט ראשון. המתמטיקאים הסתכלו על מספרים "אמיתיים לחלוטין", שהם מגבילים יותר ממספרים ממשיים אך פחות מגבילים ממספרים רציונליים.

אם אתה מחבר מספר לפולינום ומקבל פלט של אפס, המספר הזה הוא פתרון לפולינום, או השורש שלו. לדוגמה, 2 הוא שורש של f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30, ועוד אינסוף משוואות אחרות. לפולינומים כאלה יכולים להיות שורשים שהם אמיתיים, או שורשים מורכבים. (לדוגמה, השורשים של x² + 1 הם השורש הריבועי של –1, כתוב בשם i, ו -i - שניהם מספרים מרוכבים.)

מספר הוא אמיתי לחלוטין אם הוא עונה על משוואה פולינומית עם מקדמים שלמים שיש לה רק שורשים אמיתיים. כל המספרים הרציונליים הם אמיתיים לחלוטין, אבל כך גם כמה מספרים אי-רציונליים. לדוגמה, $latex sqrt{2}$ הוא אמיתי לחלוטין, מכיוון שהוא פתרון ל f(x) = x² – 2, שיש לו רק שורשים אמיתיים ($latex sqrt{2}$ ושורש ה"אחות" שלו $latex -sqrt{2}$). אבל שורש הקובייה של 2, $latex sqrt[3]{2}$, אינו אמיתי לחלוטין. זה פתרון ל f(x) = x³ – 2, שיש לו שני שורשים אחים נוספים, הידועים גם כצימודים Galois, שהם מורכבים.

פטשה ונויטפטים הוכיחו שאין מספרים אמיתיים לגמרי לא רציונליים שבסופו של דבר מייצרים מחזורים מחזוריים. במקום זאת, 0, -1 ו -2 הם המספרים האמיתיים היחידים שעושים זאת. הם מייצגים מפגש בלתי סביר בין מאפיינים משני עולמות שונים לכאורה - תורת המספרים (חקר המספרים השלמים) ומערכות דינמיות. פטשה ונויטפטים השתמשו בתוצאות חשובות מתורת המספרים בהוכחתם, והדגישו את הקשר בין שני התחומים.

המתמטיקאים אקסבייר באף ו שרה קוך מצא עוד צומת לא סביר. הם הראו שרק ארבעה ערכים אמיתיים לחלוטין של c - 1/4, -3/4, -5/4 ו -7/4 - יוצרים רצפים מסוג מסוים ומובן היטב הנקרא מחזור פרבולי.

צימודים של גלואה גם סללו את הדרך לגילוי של חפץ מסתורי המכונה "בייגל אנטרופיה", טבעת פרקטלית זוהרת במישור המורכב. אנטרופיה היא מדד לאקראיות; בהקשר זה, הוא מודד עד כמה קשה לחזות את רצף המספרים שנוצר על ידי איטרציה x² + c. ב המאמר האחרון שכתב לפני מותו ב-2012, הטופולוג הנודע וויליאם ת'רסטון שרטט את קבוצת ערכי האנטרופיה המקבילים לכמעט מיליארד ערכים אמיתיים שונים של c - יחד עם הצימודים הגלואים של אותם ערכי אנטרופיה, שיכולים להיות מורכבים. הרעיון של אנטרופיה "נמצא רק על הקו האמיתי, אבל איכשהו אתה עדיין יכול לראות את הצל הזה של העולם המורכב", אמר טיוזו.

"אתה רואה שזה מארגן את עצמו לתוך המבנה הפרקטלי המדהים הזה", אמר קוך. "זה כה מגניב." בייגל האנטרופיה הוא רק דפוס אחד מאוד מסובך העולה מהאיטרציה של משוואות ריבועיות אמיתיות. "אנחנו עדיין לומדים את כל ההצהרות הקסומות האלה - אבני חן קטנות - על פולינומים ריבועיים אמיתיים", הוסיפה. "אתה תמיד יכול לחזור ולהיות מופתע מהדבר הזה שחשבת שאתה מכיר היטב."