איך מישהו יכול לדבר בוודאות על אינסוף? מה באמת נוכל לדעת על המספרים הראשוניים המסתוריים מבלי לדעת את כולם? בדיוק כפי שמדענים זקוקים לנתונים כדי להעריך את ההשערות שלהם, מתמטיקאים צריכים ראיות כדי להוכיח או להפריך השערות. אבל מה נחשב כראיה בתחום הבלתי מוחשי של תורת המספרים? בפרק זה, סטיבן סטרוגאץ מדבר עם מלאני מאצ'ט ווד, פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת הרווארד, כדי ללמוד כיצד הסתברות ואקראיות יכולות לעזור לבסס ראיות לטיעונים האטומים הנדרשים ממתמטיקאים.
תקשיב Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasts, Stitcher, לכונן או אפליקציית הפודקאסט המועדפת עליך, או שאתה יכול להזרים את זה Quanta.
תמליל
סטיבן סטרוגאץ (00:02): אני סטיב סטרוגאץ, וזהו השמחה של למה, פודקאסט מ מגזין Quanta זה לוקח אותך לכמה מהשאלות הגדולות ביותר ללא מענה במתמטיקה ובמדעים כיום. בפרק הזה, אנחנו הולכים לדבר על ראיות במתמטיקה. באילו סוגי ראיות משתמשים מתמטיקאים? מה גורם להם לחשוד שמשהו עשוי להיות נכון, לפני שיש להם הוכחה אטומה למים?
(00:26) זה אולי נשמע כמו פרדוקס, אבל מסתבר שההיגיון המבוסס על תורת ההסתברות, חקר המקרה והאקראיות, יכול לפעמים להוביל למה שמתמטיקאים באמת מחפשים, שהוא ודאות, לא רק הסתברות. לדוגמה, בענף המתמטיקה המכונה תורת המספרים, יש היסטוריה ארוכה של שימוש באקראיות כדי לעזור למתמטיקאים לנחש מה נכון. עכשיו משתמשים בהסתברות כדי לעזור להם להוכיח מה נכון.
(00:53) נתמקד כאן במספרים ראשוניים. אתה בטח זוכר מספרים ראשוניים, נכון? למדת עליהם בבית הספר. מספר ראשוני הוא מספר שלם הגדול מ-1 שניתן לחלק רק ב-1 ובעצמו. למשל, 7 או 11. אלו הם מספרים ראשוניים, אבל 15 אינו בגלל שניתן לחלק את 15 באופן שווה ב-3 או ב-5. אפשר לחשוב על מספרים ראשוניים כאל היסודות בטבלה המחזורית של הכימיה, במובן זה. שהם האטומים הבלתי ניתנים לחלוקה שמרכיבים את כל שאר המספרים.
(01:27) מספרים ראשוניים נראים כאילו הם צריכים להיות פשוטים, אבל כמה מהתעלומות הגדולות ביותר במתמטיקה הן שאלות על מספרים ראשוניים. במקרים מסוימים, שאלות שקיימות כבר מאות שנים. יש באמת משהו מאוד עדין בראשיונים. נראה שהם חיים בארץ גבול בין סדר לאקראיות. האורח שלי היום יעזור לנו להבין יותר על מהות הראיות במתמטיקה, ובמיוחד כיצד ומדוע אקראיות יכולה לספר לנו כל כך הרבה על מספרים ראשוניים, ומדוע מודלים המבוססים על הסתברות יכולים להיות כל כך שימושיים בחוד החנית של תורת המספרים. מצטרפת אליי עכשיו לדון בכל זה מלאני מאצ'ט ווד, פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת הרווארד. ברוכה הבאה, מלאני!
מלאני מאצ'ט ווד (02:09): היי, טוב לדבר איתך.
סטרוגאץ (02:11): טוב מאוד לדבר איתך, אני מעריץ גדול. הבה נדבר על מתמטיקה ומדעים ביחס זה לזה, כי המילים לרוב משתלבות יחד, ובכל זאת הטכניקות שבהן אנו משתמשים כדי להגיע להוכחה ולוודאות במתמטיקה שונות במקצת ממה שאנו מנסים לעשות במדע. לדוגמה, כאשר אנו מדברים על איסוף ראיות במתמטיקה, במה זה זהה או במה זה שונה מאיסוף ראיות בשיטה המדעית במדע?
עץ (02:38): הוכחה מתמטית היא טיעון הגיוני אטום לחלוטין, שטענה מתמטית כלשהי חייבת להיות כזו ולא יכולה להיות אחרת. אז בניגוד לתיאוריה מדעית - שאולי היא הטובה ביותר שיש לנו בהתבסס על הראיות שיש לנו היום, אבל נקבל עוד ראיות, אתה יודע, בעשר השנים הבאות ואולי תהיה תיאוריה חדשה - הוכחה מתמטית אומר שאמירה כלשהי חייבת להיות כזו, לא נוכל לגלות שהיא תהיה שגויה בעוד 10 שנים, או 10 שנה.
סטרוגאץ (03:17): ובכן, אילו סוגים של דברים נחשבים כראיות במתמטיקה?
עץ (03:19): אז אולי תראה שמשהו נכון בהרבה דוגמאות. ובהתבסס על כך שזה נכון בהרבה דוגמאות, שאפשר אולי לומר שיהיו ראיות לעובדה הזו, אתה יכול להעלות השערה, מה שמתמטיקאים יקראו השערה, ניחוש שמשהו נכון. אבל אז, מה שמתמטיקאים ירצו תהיה הוכחה לכך שהדבר הזה שראית הסתדר בכל כך הרבה דוגמאות תמיד יסתדר כמו שאתה טענת.
סטרוגאץ (03:49): נכון, שונה מאוד ממשקל הראיות בלבד. זו הצהרה שיש סיבה לכך שמשהו הולך להיות נכון לנצח, לכל עת, בכל מקרה.
עץ (03:58): ולא רק "טוב, הסתכלתי על מיליון מקרים וזה נכון בכל אחד מהם." וזו סיבה לנחש או לשער שזה תמיד נכון. אבל במתמטיקה, אנחנו עושים הבחנה בין ניחוש כזה שיכול להתבסס על הרבה מקרים או ראיות, לבין משפט או הוכחה, טיעון שאומר לך שזה יעבוד בכל מקרה, אפילו אלה שיש לך לא ניסיתי.
סטרוגאץ (04:25): האם זה רק שמתמטיקאים הם קפדניים מטבעם, או שיש מקרים שבהם משהו שנראה כאילו הוא נכון, עד למספר גדול מאוד של אפשרויות, בסופו של דבר לא היה נכון מעבר למספר גדול אחר ?
עץ (04:39): אה, זאת שאלה מצוינת. ובכן, הנה דוגמה שאני אוהב, כי אני אוהב את המספרים הראשוניים. אז כשאתה עובר על המספרים הראשוניים - 2, 3, 5, 7 - אחד הדברים שאתה יכול לעשות, אתה עלול להסתכל ולומר, "היי, האם הם מתחלקים ב-2?" ומסתבר שזה לא מעניין במיוחד. אחרי 2, אף אחד מהם לא מתחלק ב-2. כולם, כולם מוזרים.
(05:10) ואז אולי תחשוב, "טוב, האם הם מתחלקים ב-3?" וכמובן, גם אחרי 3 לא ניתן לחלק אותם ב-3, מכיוון שהם ראשוניים. עם זאת, אולי תשים לב שחלק מהם, כאשר אתה מחלק אותם ב-3, אתה מקבל שארית של 1, שהם 1 יותר מכפולה של 3. אז דברים כמו 7, שזה 1 יותר מ-6, או 13 , שזה 1 יותר מ-12. וחלק מהראשוניים האלה, כמו 11, או 17, שהם 2 יותר מ-15, יהיה להם שארית של 2 כשתחלק אותם ב-3, כי הם 2 יותר מ- כפולה של 3.
(05:47) וכך אתה יכול לחשוב על ראשי התיבות האלה בצוותים. צוות 1 הוא כל אלה שהם 1 יותר מכפולה של 3 וצוות 2 הם כולם אלה שהם 2 יותר מכפולה של 3. וכאשר אתה עובר על הראשוניים ורשום את הראשוניים, אתה יכול לרשום את כל ראשוניים ותוכל לספור ולראות כמה יש בצוות 1, וכמה בצוות 2. ואם היית עושה את זה עד 600 מיליארד, בכל נקודה, כל מספר עד 600 מיליארד, היית מגלה ש יש יותר ראשוני צוות 2 מאשר ראשוני צוות 1. אז, אתה יכול לשער באופן טבעי, בהתבסס על העדויות האלה, שתמיד יהיו יותר ראשוני צוות 2 מאשר ראשוני צוות 1.
סטרוגאץ (06:33): בטח. לגמרי נשמע ככה.
עץ: מסתבר שבמספר סביב 608 מיליארד ומשהו, אני שוכח את המספר המדויק, זה משתנה.
סטרוגאץ (06:46): הו, קדימה.
עץ: כן, זה באמת משתנה. ועכשיו פתאום, צוות 1 בראש. אז זה -
סטרוגאץ (06:53): חכה רגע. רגע, אבל זה מדהים. מה - עכשיו, האם הם ממשיכים להשתנות? האם אנחנו יודעים מה קורה כשאתה ממשיך? האם הם ממשיכים להשתנות?
עץ (07:01): כן, שאלה מצוינת. אז, אכן, זה משפט שהם ישנו לידים לעתים תכופות אינסופיות.
סטרוגאץ (07:07): באמת?
עץ: אז הם ימשיכו לסחור בלידים. אבל זו באמת דוגמה מצוינת לזכור כשאתה לומד מספרים ראשוניים, שעצם העובדה שמשהו היה נכון עבור 600 מיליארד המקרים הראשונים, לא אומר שזה תמיד יהיה נכון.
סטרוגאץ (07:25): הו, וואו. נֶחְמָד. בסדר. אז, כמו באופן כללי, איך מגיעים מהשערה להוכחה?
עץ (07:31): זה תלוי מאוד במקרה. כלומר, יש הרבה מקרים של מתמטיקה שבהם יש לנו השערות ואין לנו הוכחות. אז אין איזה מתכון פשוט להגיע מהשערה להוכחה, אחרת לא יהיו לנו כל כך הרבה בעיות פתוחות מפורסמות שבהן, אתה יודע, יש כאלה - איזו השערה שאנשים חושבים שמשהו עובד בצורה מסוימת, אבל אנחנו לא עושים זאת. לא יודע את זה בוודאות. אבל, אתה יודע, לפעמים ההשערה עשויה להציע סיבות שמשהו נכון. לפעמים זו רק תיאוריה מתמטית, שבנויה על עוד ועוד תיאוריה מתמטית שאנשים מפתחים במשך מאות שנים, נותנת לנו מספיק כלים ומבנה לעבוד איתם כדי להבין דברים, שאנחנו מגיעים עם הוכחה. אבל זה לא שההשערה מובילה בהכרח להוכחה. ההשערה עשויה לעורר אנשים לנסות למצוא את ההוכחה, אבל הדרך שבה ההוכחה מגיעה עשויה להיות נפרדת לחלוטין מההשערה עצמה.
סטרוגאץ (08:31): כן, אני מעוניין בסוג של למנות, או לרשום את סוגי הראיות שחסרות להם הוכחה, שמובילות אנשים לקבל את הביטחון ששווה לנסות ללכת על הוכחה.
עץ (08:41): כן, דבר נוסף שאנו עשויים לקרוא לו כהוכחה שאינה רק דוגמאות יהיה היוריסטיקה. היוריסטיקה עשויה להיות משהו כמו טיעון, למעט בסטנדרט נמוך בהרבה של קפדנות. זה פשוט כאילו, זה נראה בסדר? לא "האם בוודאות קבעתי עובדה זו מעל לכל צל של ספק?" אבל "עושה את זה - כן, זה נראה די סביר." אז היוריסטיקה עשויה להיות קו נימוק שנראה די סביר, אתה יודע, אבל הוא למעשה לא טיעון קפדני. אז זה סוג אחד של ראיות.
(09:12) לפעמים יכול להיות שיש מודל שלדעתנו לוכד את המרכיבים החיוניים של המערכת המתמטית שאנחנו מנסים להבין, ולכן אז אתה יכול לשער שהמערכת שלך נוהגת באותה התנהגות כמו המודל שלך.
סטרוגאץ (09:30): בסדר. בשלב מסוים, אני רוצה לשמוע כמה דוגמאות של מודלים והשערות, ואתה יודע, עד כמה הם עובדים או לא עובדים על שאלות מסוימות או לא אחרות, אבל אם לא אכפת לך, אוהבים לחזור רק לכמה דברים אישיים קטנים, בערך, כי אנחנו מדברים כאן על מספרים, ואתה תיאורטיקן של מספרים. אנשים אולי לא מכירים הרבה תיאורטיקנים של מספרים בחיי היומיום שלהם. אז אני תוהה אם תוכל לספר לנו מהי תורת המספרים, וגם, למה אתה מוצא את זה מעניין? למה באת ללמוד את זה?
עץ (10:02) ובכן, תורת המספרים היא מחקר מתמטי של המספרים השלמים. אז, חשבו 1, 2, 3, 4, 5. ובמיוחד, אחד הדברים החשובים במספרים השלמים הם המספרים הראשוניים. כפי שהסברת, ממש בהתחלה, הם אבני הבניין שמהן אנו יכולים, באמצעות הכפל, לבנות את כל המספרים האחרים. אז בגלל שתורת המספרים עוסקת בכל המספרים השלמים האלה, היא עוסקת גם באבני הבניין שלהם, המספרים הראשוניים, ואיך מספרים אחרים מתחלקים לראשוניים וכיצד הם בנויים - מתוך ראשוניים.
סטרוגאץ (10:37): אז, תורת המספרים, למטרותינו היום, אני מניח, תהיה לימוד המספרים השלמים, עם עניין מסוים במספרים ראשוניים. זה נראה כמו התחלה די טובה. אני מניח שזה יותר מזה. אבל אולי זו הגדרה טובה עבורנו כעת. אתה חושב כך?
עץ (10:50): זה טוב, זו התחלה טובה. כלומר, משם, אפשר לחקור דברים נוספים כמו, ובכן, מה אם תתחיל לשקול מערכות מספרים מסובכות יותר מסתם המספרים השלמים? כאילו אתה מתחיל להכניס מספרים אחרים, כמו השורש הריבועי של 2, אז מה קורה עם ראשוניים ופירוק לגורמים? מובילים אותך לשאלות נוספות. אבל בכנות, יש הרבה מתמטיקה עשירה ויפה רק במספרים השלמים ובראשוניים.
סטרוגאץ (11:16): אז עם זה בחשבון, מדוע אתה מוצא את זה משכנע? למה אתה אוהב את לימודי תורת המספרים? מה משך אותך לזה?
עץ (11:22): אני חושב שאני אוהב שהשאלות יכולות להיות כל כך קונקרטיות. אתה יודע, אני הולך ומדבר עם ילדי בית ספר יסודי. ואני יכול לספר להם על, אתה יודע, כמה מהדברים שאני חושב עליהם. אז כיף לי לעבוד על משהו שמצד אחד השאלות יכולות להיות כל כך קונקרטיות, אבל מצד שני החידה של ניסיון לפתור אותה יכולה להיות כל כך קשה. זאת אומרת, אנשים ניסו לענות על שאלות על המספרים השלמים, על ראשוניים כבר אלפי שנים.
(11:54) ויש הרבה ענפים של מתמטיקה. אחד החלקים החשובים של תורת המספרים המודרנית הוא שכדי להתקדם בשאלות הישנות העקשניות האלה שאנשים עבדו עליהן כל כך הרבה זמן, צריך להביא רעיונות חדשים, וצריך ליצור קשרים עם חלקים אחרים של המתמטיקה. אז למרות שהייתי קורא לעצמי תיאורטיקן מספרים, אני משתמש במתמטיקה מכל מיני תחומים שונים. מלימוד, אתה יודע, גיאומטריה וטופולוגיה וצורות המרחבים ועד הסתברות ולימוד אקראיות. אני משתמש בכל מיני סוגים של מתמטיקה, אבל כדי לנסות לומר משהו על דברים כמו המספרים השלמים ומספרים ראשוניים ופירוק לגורמים.
סטרוגאץ (12:36): כן, אני אוהב את החזון הזה של מתמטיקה בתור הרשת הענקית הזו של רעיונות, ואתה יכול לרצות לחיות בחלק מסוים שלו שהוא האהוב עליך. אבל הזכרת מספרים ראשוניים כתחום עניין מסוים בתורת המספרים, החלק הבסיסי ביותר בה, באמת. מה קשה בהם? לא ברור עדיין, בדיון שלנו, מה כל כך מסתורי שם? כפי שהגדרנו אותם, כנראה נוכל להמשיך לרשום אותם, אני מניח. מהן כמה מהבעיות שאתה מתייחס אליהן בנות מאות שנים?
עץ (13:05): ובכן, אחת השאלות הגדולות והחשובות ביותר, שהיא אולי בת 120 שנה בערך, היא, אמרת, "אוי, אתה יכול לרשום אותן. אם היית עושה את זה, כמה היית מוצא?" אז נניח שרשמתם את ראשוני, עד מאה, או אלף, או מאה אלף, או מיליון, מיליארד. כאשר אתה מפרט ראשוניים עד מספרים גדולים יותר ויותר, כמה מאותם מספרים שאתה עובר יהיו בעצם ראשוניים? אז ההבנה שהכמות היא באמת הלב של השערת רימן, שהוא אחד ממכון החימר למתמטיקה בעיות פרס המילניום, יש פרס של מיליון דולר לתשובה. זו אחת השאלות המפורסמות ביותר ואין לנו מושג איך לעשות את זה, והיא באמת עוסקת רק בשאלה, כשתפרט את ראשוני הקודמים האלה, כמה תמצא?
סטרוגאץ (13:58): בסדר. זה מצחיק, נכון? כי כשאתה מתחיל להכין את הרשימה, גם אם מישהו פשוט התחיל לרשום את המספרים שהם ראשוניים עד 100 - אתה שם לב לכמה דברים מצחיקים. כאילו, בהתחלה 11 ו-13, הם 2 בנפרד. חמש עשרה, טוב, זה לא עובד, כי זה מתחלק ב-5 ו-3. ואז 17, אז יש פער של 4 עכשיו, בין 13 ל-17. אבל אז 19 שוב קרוב. אני לא יודע, אני מתכוון, אז המרווח בין הראשוניים יכול להיות די מופרע. כאילו לפעמים יש שם פער די גדול, ולפעמים הם ממש ליד זה, רק 2 זה מזה.
עץ (14:31): כן, אז ההבנה שהרווחים והפערים האלה היו גם שאלה גדולה של עניין. בעשור האחרון חלה התקדמות יוצאת דופן בהבנת המרווחים בין ראשי התיבות. אבל עדיין יש שאלה ממש מגרה, בסיסית שאנחנו לא יודעים את התשובה עליה. אז ציינת שהראשונים האלה, 11 ו-13, הם רק 2 זה מזה. אז ראשוניים כאלה נקראים ראשוניים תאומים. לא יכולנו לצפות שמספר ראשוני יתקרב יותר מ-2 זה מזה, מכיוון שאחרי 2, כולם צריכים להיות מוזרים. הנה שאלה פתוחה במתמטיקה, כלומר אנחנו לא יודעים את התשובה, וזהו: האם יש אינסוף זוגות של ראשוני תאומים? אז הנה, יש השערה, ההשערה תהיה, כן. כלומר, לא רק שיש השערה ש"כן, הם צריכים להימשך לנצח, ותמיד צריכים להיות יותר מהם", אלא יש אפילו השערה לגבי, בערך כמה תמצא תוך כדי. אבל זה פתוח לגמרי. ככל הידוע לנו, יכול להיות שברגע שמגיעים למספר ממש גדול, הם פשוט מפסיקים ולא מוצאים עוד זוגות ראשוניים תאומים בכלל.
סטרוגאץ (15:40): יש בזה משהו מאוד פיוטי, נוקב, המחשבה הזו, כאילו, זה יכול להיות סוף השורה בשלב מסוים. כלומר, אף אחד מאיתנו כנראה לא מאמין בזה. אבל זה אפשרי, אני מניח, מתקבל על הדעת שיש איזה זוג בודד אחרון של תאומים שמתכרבל בחושך, בדרך החוצה, אתה יודע, על קו המספרים.
עץ (15:57): כן, יכול להיות. ואתם יודעים, בתור מתמטיקאים, היינו אומרים, אתם יודעים, אנחנו לא יודעים. גם אם אתה יכול לעשות גרף תוך כדי המשך של כמה שמצאת, אם אתה מתווה את הגרף הזה, זה נראה כאילו הוא פשוט בהחלט עולה ועולה בקצב שלעולם לא יתהפך. אבל אני מניח שזה חלק מההבדל בין מתמטיקה ומדעים הוא שאנחנו שומרים על הספקנות ואומרים, ובכן, אנחנו לא יודעים. כלומר, אולי בשלב מסוים, הגרף פשוט מסתובב, ואין עוד.
סטרוגאץ (16:29): אז, זה - אני אוהב את התמונה שלך שם של גרף, כי אני חושב שכולם יכולים להתייחס לרעיון הזה, של יצירת תרשים, יצירת איזה סוג של גרף. אתה יודע, חושבים על ראשוניים כמו נתונים כמו. ולכן אני חושב שזה אולי זמן טוב בשבילנו לפנות, להתחיל לדבר על תורת ההסתברות. וזה נראה קצת מוזר לדבר על הסתברות וסטטיסטיקה בקשר עם ראשוניים כי אין כאן שום סיכוי. ראשוניים נקבעים לפי ההגדרה שנתנו, שהם אינם ניתנים לחלוקה. אבל עדיין מתמטיקאים ותיאורטיקנים של מספרים, כמוך, השתמשו בטיעונים סטטיסטיים או הסתברותיים בחשיבה על ראשוניים. אני תוהה אם אתה יכול לשרטט משהו כזה עבורי באמצעות היפוך מטבעות, ובחזרה - על מה דיברנו בהתחלה, מספרים אי-זוגיים ומספרים זוגיים.
עץ (17:14): בסדר. אז בניגוד לראשוניים, אנחנו למעשה מבינים היטב את התבנית של מספרים אי-זוגיים וזוגיים. הם הולכים מוזר, זוגי, מוזר, אפילו, כמובן. אבל נניח שלא הבנו את הדפוס הזה. ואנחנו משתמשים בזה כדי להבין כמה מספרים אי-זוגיים אתה עלול למצוא אם תסתכל על כל המספרים עד מיליון. אתה יכול לדמיין, מכיוון שיש שתי אפשרויות, מספר יכול להיות אי זוגי או מספר יכול להיות זוגי, שאולי מישהו הלך והפיל מטבע עבור כל מספר, ואם המטבע עלה בראש, המספר היה אי זוגי. ואם המטבע עלה זנבות, המספר היה זוגי. וכך אתה יכול לגרום לאדם המטיל מטבעות שלך ללכת על קו המספרים, להטיל מטבע על כל מספר, וזה מגיע, נניח, להכריז על המספר הזה אי זוגי או זוגי.
(18:03) עכשיו, מצד אחד, זה שטויות. מצד שני, המודל של היפוך מטבעות יעשה כמה דברים נכונים. לדוגמה, אם אתה אומר, אתה יודע, בערך, כמה מהמספרים עד מיליון הם זוגיים? אנו יודעים שבערך מספר ההיפוך המטבעות שיעלו, נניח, זנבות, אם תבצע מספר עצום של הטלות מטבעות, כמו מיליון, הוא בערך חצי מהם. וכך, המודל הזה, מטופש ככל שיהיה, עדיין יכול לעשות כמה תחזיות בצורה נכונה. ואני צריך לומר שזה אולי נשמע טיפשי, כי אנחנו כבר יודעים את התשובה לשאלה הזו. הרעיון הוא שאנחנו בונים מודלים לדפוסים מסובכים יותר, כמו היכן מופיעים ראשוניים בין המספרים, במקום רק היכן מופיעים הסיכויים.
סטרוגאץ (18:55): כן. אני מתכוון, אני חושב שאנחנו צריכים להדגיש את זה - עד כמה מסתוריים הם הפריים. אין נוסחה למספרים הראשוניים, כמו שיש נוסחה למספרים אי-זוגיים. כאילו אם אתה חושב, הו, בחייך, זהו - אנחנו באמת מדברים כאן על דברים אבסורדיים, זה בעצם מאוד חשוב שיהיו המודלים הסטטיסטיים האלה שיכולים לחזות מאפיינים שהם מאפיינים ממוצעים. כמו האנלוגי של, חצי מהמספרים פחות ממספר גדול יהיו אי-זוגיים. זה משהו שבמקרה של ראשוניים היא שאלה מאוד רצינית ומעניינת. איזה שבר של מספרים פחות ממספר גדול הם ראשוניים? וכפי שאתה אומר, אתה יכול ליצור מודל סטטיסטי שמקבל את זה נכון. ואז מה, אותו מודל יכול לשמש כדי לחזות כמה ראשוני תאומים יהיו פחות ממספר גדול? האם אותו דגם עושה עבודה טובה במקרה כזה?
עץ (19:41): אז במקרה של ראשוניים, אם היינו בונים מודל - אתה יודע, ויש מודל שמתמטיקאים משתמשים בו דגם ה-Cramér של הפריימס - אם היינו בונים מודל להטלת מטבעות של ראשוניים שבו אנו מדמיינים מישהו הולך לאורך קו המספרים, ולכל מספר, אתה יודע, מטיל מטבע, נניח, כדי להחליט אם המספר הזה הוא ראשוני או לא ראשוני, היינו לשלב את כל מה שאנחנו יודעים על ראשוניים במודל הזה. אז קודם כל, אנחנו יודעים שמספרים גדולים נוטים פחות להיות ראשוניים מאשר מספרים קטנים יותר. אז המטבעות האלה יצטרכו להיות משוקללים. והיינו - נצטרך לנסות להכניס בדיוק את השקלולים שאנו מצפים להם. ואנחנו יודעים דברים כמו, אתה לא יכול להיות שני ראשוניים אחד ליד השני, כי אחד מהם צריך להיות אי זוגי ואחד מהם צריך להיות זוגי. אז הכנסנו את זה למודל. ואז יש עוד דברים שאנחנו יודעים על ראשוניים.
(20:37) אז המודל הוא משהו שמתחיל עם המודל הזה של הטלת מטבעות, אבל אז הוא משתנה על ידי כל הכללים האחרים האלה, וכל שאר הדברים שאנחנו יודעים על ראשוניים. וברגע שאתה מכניס את כל הדברים שאנו כן יודעים למודל, אתה שואל את היפוך המטבעות הזה, אתה יודע, דגם, ובכן, האם אתה רואה, לעתים קרובות אינסופית, מטבעות עולים רק 2 זה מזה? והדוגמנית אומרת לך, אה, כן, אנחנו רואים את זה. למעשה, אנחנו רואים את זה בקצב המסוים הזה שאנחנו יכולים לתת לך נוסחה עבורו. ואז, אם אתה משרטט את מספר הראשוניים התאומים האמיתיים, במספרים בפועל, שבהם אין מטבעות מתהפכים, כנגד מה שהמודל חוזה, אתה רואה שהמודל נותן לך חיזוי מדויק מאוד למספר הזוגות של ראשוני התאומים תמצא תוך כדי. אז אתה חושב, אתה יודע, אולי הדגם הזה יודע על מה הוא מדבר.
סטרוגאץ (21:31): זה נהדר. אני מתכוון, זה די חשוב, מה שהגענו לשם, זה - עדיין לא השתמשת במילה מחשבים. אבל אני מניח שאתה לא עושה את זה ביד. האנשים שמפרסמים תאומים ראשוניים, אני לא יודע, על מה אנחנו מדברים? טריליון טריליון טריליון? כלומר, אלו מספרים גדולים שאנחנו מדברים עליהם, לא?
עץ (21:49): ובכן, עבור רישום ראשוני התאומים, כלומר - ייעשה על ידי מחשב, בהחלט. אבל בשביל לבנות את המודל הזה ולהמציא את הנוסחה שהמודל נותן. אתה יודע, זה נעשה בעבודת יד, בעצם, על ידי מתמטיקאים שחושבים על המודל ומבינים איתו.
סטרוגאץ (22:07): זה כל כך מגניב. אז זה המקום שבו המודל מראה את הדברים שלו, שהמודל יכול למעשה לחזות מה המחשב רואה. וזה לא דורש מחשב כדי לבצע את התחזית הזו. זה יכול להיעשות ביד, על ידי אנשים, ולמעשה יכול להוביל להוכחות. אלא שמדובר בהוכחות למאפיינים של הדגם, עדיין לא בהכרח הוכחות לדבר שאתה מעוניין בו.
עץ (22:28): נכון. ובשלב מסוים, המחשב נעצר. אתה יודע, יש רק כל כך הרבה כוח מחשוב. אבל הנוסחה הזו שתקבל, שהמודל ייתן לך, שאתה יכול להוכיח שהיא נכונה, שוב, לגבי מצב הטלת המטבעות המודל הזה, הנוסחה הזו תמשיך. אתה יכול להכניס מספרים גדולים יותר ויותר לתוך הנוסחה הזו, הרבה יותר ממה שהמחשב שלך יוכל לחשב אי פעם אי פעם.
סטרוגאץ (22:53): אז סיפרת לנו קצת על איך אקראיות יכולה לעזור לתת מודלים של תופעות מעניינות בתורת המספרים, ואני בטוח שזה נכון גם בחלקים אחרים של מתמטיקה. האם יש מקרים שבהם אתה יכול להשתמש באקראיות כדי לספק הוכחות ממשיות, לא רק מודלים?
עץ (23:10): בהחלט. ענף נוסף במתמטיקה נקרא תורת ההסתברות. ובתורת ההסתברות, הם מוכיחים משפטים על מערכות אקראיות וכיצד הן מתנהגות. ואולי תחשוב שאם תתחיל עם משהו אקראי, ותעשה איתו משהו, תמיד יהיה לך משהו אקראי. אבל אחד הדברים היפים להפליא שמוצאים בתורת ההסתברות הוא שלפעמים אפשר להוציא משהו דטרמיניסטי ממשהו אקראי.
סטרוגאץ (23:45): ובכן, איך זה עובד? כמו מה?
עץ (23:48): כן. אז ראית את עקומת הפעמון, או את ההתפלגות הנורמלית, היו קוראים לזה מתמטיקאים. זה מופיע בכל מקום בטבע. כאילו זה נראה אם אתה מסתכל על לחץ הדם של אנשים, או משקל הלידה של התינוק, או משהו. ואתם עשויים לחשוב, הו, עקומת הפעמון הזו, שזהו, זו עובדה של הטבע. אבל למעשה, ישנו משפט, שנקרא משפט הגבול המרכזי בתורת ההסתברות, שאומר לך שבעצם, שעקומת הפעמון הזו היא במובן מסוים, לא עובדת טבע, אלא עובדה של מתמטיקה. משפט הגבול המרכזי אומר לך שאם אתה משלב חבורה שלמה של אפקטים אקראיים קטנים באופן עצמאי, הפלט של זה תמיד יתאים להתפלגות מסוימת. הצורה הזו, עקומת הפעמון הזו. מתמטיקה, ותורת ההסתברות, יכולות להוכיח שאם יש לך - אם תשלב הרבה דברים אקראיים קטנים ועצמאיים, התוצאה של כל השילוב הזה תיתן לך התפלגות שנראית כמו עקומת הפעמון הזו. וכך - גם אם אינך יודע מה היו הכניסות. וזה משפט ממש חזק וכלי חזק מאוד במתמטיקה.
סטרוגאץ (25:05): כן, זה בהחלט כן. ואהבתי את ההדגשה שלך שאת לא צריכה לדעת מה קורה עם ההשפעות הקטנות. זה, איכשהו, שנשטף החוצה. אין צורך במידע הזה. עקומת הפעמון ניתנת לחיזוי, גם אם אינך יודע מה אופי ההשפעות הקטנות. כל עוד יש הרבה מהם והם קטנים. והם לא משפיעים אחד על השני, נכון, הם עצמאיים, במובן מסוים.
עץ (25:27): כן, בהחלט. אז זה רעיון, אתה יודע, לפעמים זה נקרא אוניברסאליות בתורת ההסתברות, שיש סוגים מסוימים של מכונות שאם אתה מכניס הרבה תשומות אקראיות, אתה יכול לחזות את הפלט. כמו, למשל, שהיית מקבל את עקומת הפעמון הזו, או את ההתפלגות הנורמלית הזו, גם אם אתה לא יודע מה אתה מכניס למכונה. וזה חזק להפליא כשיש דברים שאנחנו לא מבינים היטב, כי...
סטרוגאץ (25:56): אבל אז, אתה אומר לי - הו, אני מצטער לחתוך אותך - אבל אתה אומר לי שזה קורה גם בתורת המספרים עכשיו? שאיכשהו אנחנו מקבלים את הרעיון של אוניברסליות להופיע בתורת המספרים? או שאני חולם?
עץ (26:09): ובכן, במידה מסוימת, הייתי אומר שזה חלום שלי שמתחיל. אתה יודע, אנחנו פשוט, אנחנו עושים את הצעדים הראשונים כדי לראות את זה מתממש. אז זה לא רק החלום שלך, זה גם החלום שלי. חלק מהעבודה שאני עושה היום וששותפי המשתפים שלי ואני עובדים עליה היא מנסים להפוך חלום כזה למציאות, כך שחלק מהשאלות התמוהות האלה לגבי מספרים שאנחנו לא יודעים את התשובה עליהן, אולי נוכל להבין שיש דפוסים שיוצאים החוצה, כמו עקומת פעמון, כמו התפלגות נורמלית, שאנחנו יכולים להוכיח שיצאו מהמכונה גם אם אנחנו לא יודעים באילו תעלומות הוכנסו.
סטרוגאץ (26:55): ובכן, זה חזון מאוד מעורר השראה ומרגש, למעשה, ואני מקווה שהכל יתגשם. תודה רבה על שדיברת איתנו היום, מלאני.
עץ (27:03): תודה. זה היה מאוד כיף.
כָּרוֹז (27:06): אם תרצה השמחה של למה, לבדוק את פודקאסט המדע של מגזין Quanta, בהנחייתי, סוזן ואלוט, אחת מהמפיקות של התוכנית הזו. כמו כן, ספר לחברים שלך על הפודקאסט הזה, ותן לנו לייק או עקוב אחר המקום שבו אתה מאזין. זה עוזר לאנשים למצוא השמחה של למה פודקאסט.
סטרוגאץ (27: 26): השמחה של למה הוא פודקאסט מ מגזין Quanta, פרסום עצמאי מבחינה עריכה הנתמך על ידי קרן סימונס. להחלטות המימון של קרן סימונס אין השפעה על בחירת הנושאים, האורחים או החלטות עריכה אחרות בפודקאסט זה או ב- מגזין Quanta. השמחה של למה מופק על ידי סוזן ואלוט ופולי סטרייקר. העורכים שלנו הם ג'ון רני ותומס לין, עם תמיכה של מאט קרלסרום, אנני מלצ'ור ולילה סלומן. מוזיקת הנושא שלנו הולחנה על ידי ריצ'י ג'ונסון. הלוגו שלנו הוא של ג'קי קינג, ויצירות האמנות לפרקים הן של מייקל דרייבר וסמואל ולסקו. אני המארח שלך, סטיב סטרוגאץ. אם יש לך שאלות או הערות עבורנו, אנא שלח לנו דוא"ל לכתובת quanta@simonsfoundation.org. תודה על הקשבה.
