אייזק ניוטון לא היה ידוע בנדיבות הרוח שלו, והזלזול שלו ביריביו היה אגדי. אבל במכתב אחד למתחרה שלו גוטפריד לייבניץ, הידוע כיום בשם Epistola Posterior, ניוטון יוצא כנוסטלגי וכמעט ידידותי. בו הוא מספר סיפור מימי תלמידו, כשרק התחיל ללמוד מתמטיקה. הוא מספר כיצד גילה תגלית גדולה המשווה אזורים מתחת לעיקולים לסכומים אינסופיים על ידי תהליך של ניחוש ובדיקה. הנימוק שלו במכתב כל כך מקסים ונגיש, זה מזכיר לי את משחקי ניחוש הדפוסים שילדים קטנים אוהבים לשחק.
הכל התחיל כשניוטון הצעיר קרא את ג'ון וואליס Arithmetica Infinitorum, יצירה מכוננת של מתמטיקה מהמאה ה-17. וואליס כלל שיטה חדשנית ואינדוקטיבית לקביעת ערכו של pi, וניוטון רצה להמציא משהו דומה. הוא התחיל עם הבעיה של מציאת השטח של "קטע מעגלי" ברוחב מתכוונן $latex x$. זהו האזור שמתחת למעגל היחידה, המוגדר על ידי $latex y=sqrt{1-x^2}$, שנמצא מעל החלק של הציר האופקי מ-0 עד $latex x$. כאן $latex x$ יכול להיות כל מספר מ-0 עד 1, ו-1 הוא רדיוס המעגל. השטח של מעגל יחידה הוא pi, כפי שניוטון ידע היטב, אז מתי $latex x=1$, השטח מתחת לעקומה הוא רבע ממעגל היחידה, $latexfrac{π}{4}$. אבל לערכים אחרים של $latex x$, שום דבר לא היה ידוע.
אם ניוטון היה יכול למצוא דרך לקבוע את השטח מתחת לעקומה עבור כל ערך אפשרי של $latex x$, זה עשוי לתת לו אמצעי חסר תקדים לקירוב פאי. זו הייתה במקור התוכנית הגדולה שלו. אבל בדרך הוא מצא משהו אפילו טוב יותר: שיטה להחלפת עקומות מסובכות בסכומים אינסופיים של אבני בניין פשוטות יותר העשויות מחזקות של $latex x$.
הצעד הראשון של ניוטון היה הגיון באנלוגיה. במקום לכוון ישירות לאזור הקטע המעגלי, הוא חקר את השטחים של קטעים אנלוגיים התחום על ידי העקומות הבאות:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
ניוטון ידע שקל לחשב את השטחים מתחת לעקומות ברשימה עם חזקות של מספר שלם (כמו $latex frac{0}{2}=0$ ו-$latex frac{2}{2} = 1$, כי הם מפשטים באופן אלגברי. לדוגמה,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
באופן דומה,
אבל אין פישוט כזה זמין עבור משוואת המעגל - $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— או העקומות האחרות עם חצי החזקות. אז איש לא ידע למצוא את השטח מתחת לאף אחד מהם.
למרבה המזל, השטחים מתחת לעיקולים עם כוחות של מספר שלם היו פשוטים. קח את העקומה $latex y_4=1-2x^2+x^4$. כלל ידוע בזמנו עבור פונקציות כאלה אפשר לניוטון (ולכל אחד אחר) למצוא את השטח במהירות: עבור כל חזקת מספר שלם $latex nge 0$, השטח מתחת לעקומה $latex y=x^n$ מעל המרווח מ $latex 0$ ל $latex x$ ניתן על ידי $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (וואליס ניחש את הכלל הזה בשיטה האינדוקטיבית שלו, ופייר דה פרמה הוכיח זאת באופן סופי.) חמוש עם הכלל הזה, ניוטון ידע שהשטח מתחת לעקומה $latex y_4$ הוא $latex x-frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
אותו כלל איפשר לו למצוא את השטח מתחת לעקומות האחרות עם חזקות של מספר שלם ברשימה למעלה. בוא נכתוב $latex A_n$ עבור השטח שמתחת לעקומה $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, כאשר $latex n= 0, 1, 2, …$ . יישום הכלל מניב תשואות
$latex A_0=x$
$latex A_1 = hspace{.295em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspace{.295em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspace{.295em}? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
וכן הלאה. הרעיון הערמומי של ניוטון היה להשלים את החסר, בתקווה לנחש את $latexA_1$ (הסדרה לאזור הלא ידוע של הקטע המעגלי) על סמך מה שהוא יכול לראות בסדרה האחרת. דבר אחד היה ברור מיד: כל $latexA_n$ התחיל פשוט ב-$latex x$ . זה הציע לתקן את הנוסחאות כך:
$latex A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
לאחר מכן, כדי להחליף את המקבץ הבא של סימני שאלה, ניוטון הסתכל על המונחים $latex x^3$. עם רישיון קטן, אנו יכולים לראות שאפילו ל-$latexA_0$ היה אחד מהמונחים המעוקבים האלה, מכיוון שאנו יכולים לשכתב אותו כ-$latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. כפי שניוטון הסביר ללייבניץ, הוא הבחין "שהמונחים השניים $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ וכו', היו בהתקדמות אריתמטית" (הוא התכוון ל-0, 1, 2, 3 במונה). בחשד שהתקדמות אריתמטית זו עשויה להתרחב גם אל הפערים, ניחש ניוטון שכל רצף המונים, ידועים ולא ידועים, צריך להיות מספרים מופרדים על ידי $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ "ומכאן ששני המונחים הראשונים של הסדרה" הוא התעניין בהם - $latex A_1$ הלא ידוע עדיין , $latex A_3$ ו-$latex A_5$ - "צריך להיות $latex x- frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$ וכו'."
לפיכך, בשלב זה הדפוסים הציעו לניוטון ש$latex A_1$ יתחיל כמו
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
זו הייתה התחלה טובה, אבל הוא היה צריך יותר. כשחיפש תבניות אחרות, ניוטון שם לב שהמכנים במשוואות תמיד מכילים מספרים אי-זוגיים בסדר הולך וגדל. לדוגמה, הסתכל על $latex A_6$, שיש לו 1, 3, 5 ו-7 במכנים שלו. אותו דפוס עבד עבור $latex A_4$ ו-$latex A_2$. פשוט מספיק. הדפוס הזה כנראה נמשך בכל המכנים של כל המשוואות.
מה שנותר היה למצוא דפוס במונה. ניוטון בחן שוב את $latex A_2$, $latex A_4$ ו-$latex A_6$ והבחין במשהו. ב-$latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ הוא ראה 1 מכפיל את $latex x$ ועוד 1 במונח $latexfrac {1}{3}x^3$ (הוא התעלם שלו סימן שלילי לעת עתה). ב-$latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$, הוא ראה מונים של 1, 2, 1. וב-$latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , הוא ראה את המונים 1, 3, 3, 1. המספרים האלה צריכים להיות מוכרים לכל אחד מי אי פעם למד את המשולש של פסקל, סידור משולש של מספרים, שבאופן הפשוט ביותר, נוצר על ידי חיבור המספרים שמעליו, החל מ-1 בראש.
במקום להפעיל את פסקל, ניוטון התייחס למספרים הללו כ"עצמות המספר 11". למשל, 112 = 121, שהיא השורה השנייה במשולש, ו-113 = 1331, שהוא השלישי. כיום מספרים אלו נקראים גם מקדמים בינומיים. הם מתעוררים כאשר אתה מרחיב את החזקות של בינומי כמו ($latex a +b$), כמו ב-$latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. עם הדפוס הזה ביד, לניוטון הייתה כעת דרך קלה לכתוב את $latex A_2, A_4, A_6$ וכל השאר עם המספרים הזוגיים A.
בשלב הבא, כדי להחדיר את התוצאות שלו לחצאי עוצמה ולחתימות אי-זוגיות (ולבסוף להגיע לסדרה שהוא רצה, $latex A_1$), ניוטון היה צריך להרחיב את המשולש של פסקל למשטר חדש ופנטסטי: באמצע הדרך בין השורות. כדי לבצע את האקסטרפולציה, הוא הסיק נוסחה כללית עבור המקדמים הבינומיים בכל שורה נתונה של המשולש של פסקל - שורה $latex m$ - ואז חיבר בחוצפה $latex m= frac{1}{2}$. ולמרבה הפלא, זה עבד. זה נתן לו את המונים בסדרה שהוא חיפש עבור מעגל יחידה, $latexA_1$.
הנה, במילותיו של ניוטון עצמו, הסיכום שלו ללייבניץ של הדפוסים שבהם הבחין באופן אינדוקטיבי עד לשלב זה בטיעון:
התחלתי לשקף שהמכנים 1, 3, 5, 7 וכו' נמצאים בהתקדמות אריתמטית, כך שהמקדמים המספריים של המונים בלבד עדיין היו צריכים בדיקה. אבל באזורים שניתנו לסירוגין, אלו היו דמויות החזקות של המספר 11... כלומר, הראשון '1'; ואז '1, 1'; שלישית, '1, 2, 1'; רביעית '1, 3, 3, 1'; חמישית '1, 4, 6, 4, 1' וכו', וכך התחלתי לברר כיצד ניתן לגזור את הנתונים הנותרים בסדרה משתי הדמויות הראשונות הנתונות, ומצאתי שכאשר שמים $latex m$ עבור השני איור, השאר יופק על ידי הכפלה מתמשכת של המונחים של סדרה זו,
$latex frac{m-0}{1} פעמים frac{m-1}{2} פעמים frac {m-2}{3} פעמים frac{m-3}{4} פעמים frac {m-4}{5 }$ וכו'.
… בהתאם לכך, יישמתי את הכלל הזה להכנסת סדרות בין סדרות, ומכיוון שלמעגל, האיבר השני היה $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, שמתי $latex m=frac{1}{2}$, והתנאים שנוצרו היו
$latex frac {1}{2} פעמים frac{frac{1}{2}-1}{2}$ או $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} פעמים frac{frac{1}{2}-2}{3}$ או $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} פעמים frac{frac{1}{2}-3}{4}$ או $latex – frac {5}{128}$,כך עד אינסוף. מאיפה הבנתי שהשטח של הקטע העגול שרציתי הוא
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
לבסוף, על ידי חיבור $latex x=1$, ניוטון יכול לקבל סכום אינסופי עבור $latexfrac{π}{4}$. זה היה ממצא חשוב, אבל מסתבר שיש דרכים טובות יותר להעריך את פאי באמצעות סכום אינסופי, כפי שניוטון עצמו גילה במהרה לאחר הגיחה הראשונית הזו לסכומים אינסופיים מסוג זה, הנקראים כיום סדרות חזקות. בסופו של דבר הוא חישב את 15 הספרות הראשונות של פאי.
אם נחזור לבעיית המקטע המעגלי, ניוטון הבין שמשוואת המעגל עצמו (לא רק השטח שמתחתיו) יכולה להיות מיוצגת גם על ידי סדרת חזקה. כל מה שהוא היה צריך לעשות זה להשמיט את המכנים ולהפחית את החזקות של $latex x$ ב-1 בסדרת החזקות המוצגת למעלה. כך הובילו אותו לנחש זאת
כדי לבדוק אם התוצאה הזו הגיונית, ניוטון הכפיל אותה בעצמה: "זה הפך ל-$latex 1-x^2$, שאר המונחים נעלמו בעקבות המשך הסדרה עד האינסוף."
אם נסוג מעט מהפרטים, אנו רואים כאן מספר שיעורים על פתרון בעיות. אם בעיה קשה מדי, שנה אותה. אם זה נראה ספציפי מדי, הכללי את זה. ניוטון עשה את שניהם והשיג תוצאות חשובות וחזקות יותר ממה שהוא חיפש במקור.
ניוטון לא התקבע בעקשנות על רבע מעגל. הוא הסתכל על צורה הרבה יותר כללית, כל קטע עגול ברוחב $latex x$. במקום להיצמד ל-$latex x=1$, הוא אפשר ל-$latex x$ לפעול בחופשיות מ-0 ל-1. זה חשף את האופי הבינומי של המקדמים בסדרה שלו - ההופעה הבלתי צפויה של המספרים במשולש של פסקל והכללות שלהם - אשר תן לניוטון לראות דפוסים שוואליס ואחרים החמיצו. ראיית הדפוסים הללו נתנה אז לניוטון את התובנות הדרושות לו כדי לפתח את התיאוריה של סדרות כוח בצורה הרבה יותר רחבה ובכלל.
בעבודתו המאוחרת, סדרת הכוח של ניוטון נתנה לו אולר שוויצרי לחשבון. בעזרתם הוא יכול היה לעשות אינטגרלים, למצוא שורשים של משוואות אלגבריות ולחשב את ערכי הסינוסים, הקוסינוסים והלוגריתמים. כפי שהוא ניסח זאת, "בעזרתם, הניתוח מגיע, אני יכול כמעט לומר, לכל הבעיות."
מוסר השכל: לשנות בעיה זה לא רמאות. זה יצירתי. ואולי זה המפתח למשהו גדול יותר.
