במאה השלישית לפני הספירה, ארכימדס הנשקף חידה על רעיית בקר שרק אדם חכם באמת יכול לפתור, לטענתו. הבעיה שלו מסתכמת בסופו של דבר במשוואה שכוללת את ההבדל בין שני איברים בריבוע, שניתן לכתוב כ x2 - dy2 = 1. הנה, d הוא מספר שלם - מספר ספירה חיובי או שלילי - וארכימדס חיפש פתרונות שבהם שניהם x ו y הם גם מספרים שלמים.
מחלקה זו של משוואות, הנקראת משוואות פל, ריתקה את המתמטיקאים במשך אלפי השנים מאז.
כמה מאות שנים לאחר ארכימדס, המתמטיקאי ההודי ברהמגופטה, ומאוחר יותר המתמטיקאי בהסקרה השני, סיפקו אלגוריתמים למציאת פתרונות שלמים למשוואות אלו. באמצע המאה ה-1600, המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה (שלא היה מודע לעבודה זו) גילה מחדש שבמקרים מסוימים, אפילו כאשר d הוקצה ערך קטן יחסית, פתרונות המספרים השלמים הקטן ביותר האפשרי עבור x ו y יכול להיות מסיבי. כשהוא שלח סדרה של בעיות אתגר למתמטיקאים יריבים, הם כללו את המשוואה x2 - 61y2 = 1, שלפתרונות הקטנים ביותר שלו יש תשע או 10 ספרות. (באשר לארכימדס, החידה שלו בעצם ביקשה פתרונות שלמים למשוואה x2 - 4,729,494y2 = 1. "כדי להדפיס את הפתרון הקטן ביותר, זה לוקח 50 עמודים," אמר פיטר קוימנס, מתמטיקאי באוניברסיטת מישיגן. "במובן מסוים, זה טרול ענק מאת ארכימדס.")
אבל הפתרונות למשוואות פל יכולים לעשות הרבה יותר. לדוגמה, נניח שאתה רוצה להעריך את $latex sqrt{2}$, מספר אי-רציונלי, כיחס של מספרים שלמים. מסתבר שפתרון משוואת פל x2 - 2y2 = 1 יכול לעזור לך לעשות זאת: ניתן להעריך היטב את $latex sqrt{2}$ (או, באופן כללי יותר, $latex sqrt{d}$) על ידי שכתוב הפתרון כשבריר מהטופס x/y.
אולי אפילו יותר מסקרן, הפתרונות האלה גם אומרים לך משהו על מערכות מספרים מסוימות, שמתמטיקאים מכנים צלצולים. במערכת מספרים כזו, מתמטיקאים עשויים להצמיד את $latex sqrt{2}$ למספרים השלמים. לטבעות יש תכונות מסוימות, ומתמטיקאים רוצים להבין את התכונות הללו. משוואת פל, מסתבר, יכולה לעזור להם לעשות זאת.
וכך, "הרבה מתמטיקאים מפורסמים מאוד - כמעט כל מתמטיקאי בתקופה מסוימת - למדו למעשה את המשוואה הזו בגלל כמה שהיא פשוטה", אמרו מארק שוסטרמן, מתמטיקאי באוניברסיטת הרווארד. מתמטיקאים אלה כללו את פרמה, אוילר, לגרנז' ודיריכלה. (ג'ון פל, לא כל כך; המשוואה נקראה בטעות על שמו.)
עכשיו קוימנס ו קרלו פגאנו, מתמטיקאי באוניברסיטת קונקורדיה במונטריאול, יש הוכחה השערה בת עשרות שנים קשורה למשוואת Pell, כזו שמכמתת באיזו תדירות יש לצורה מסוימת של המשוואה פתרונות שלמים. לשם כך, הם ייבאו רעיונות מתחום אחר - תורת הקבוצות - ובמקביל קיבלו הבנה טובה יותר של מושא מחקר מרכזי אך מסתורי בתחום זה. "הם השתמשו באמת ברעיונות עמוקים ויפים", אמר אנדרו גרנוויל, מתמטיקאי באוניברסיטת מונטריאול. "הם ממש הצליחו".
חשבון שבור
בתחילת שנות האלפיים, פיטר סטיבנהאגן, מתמטיקאי באוניברסיטת ליידן בהולנד, קיבל השראה מכמה מהקשרים שראה בין משוואות פל לתורת הקבוצות כדי להעלות השערה לגבי התדירות שבה יש למשוואות הללו פתרונות שלמים. אבל "לא ציפיתי שזה יוכח בקרוב", אמר - או אפילו בחייו. הטכניקות הזמינות לא נראו חזקות מספיק כדי לתקוף את הבעיה.
ההשערה שלו תלויה בתכונה מסוימת של טבעות. בטבעת המספרים שבה, למשל, נוספה $latex sqrt{-5}$ למספרים השלמים (מתמטיקאים עובדים לעתים קרובות עם מספרים "דמיונים" כמו $latex sqrt{-5}$), ישנן שתי דרכים ברורות לפצל מספר לגורמים הראשוניים שלו. המספר 6, למשל, יכול להיכתב לא רק כ-2 × 3, אלא גם בתור (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$). כתוצאה מכך, בטבעת זו, פירוק ראשוני ייחודי - עיקרון מרכזי של חשבון, כזה שלמעשה מובן מאליו במספרים השלמים הרגילים - מתקלקל. המידה שבה זה מתרחש מקודד באובייקט המשויך לאותה טבעת, הנקרא קבוצת מחלקה.
אחת הדרכים שבהן מתמטיקאים מנסים להשיג תובנות מעמיקות יותר לגבי מערכת המספרים שבה הם מעוניינים - נניח, $latex sqrt{2}$ צמודים למספרים השלמים - היא לחשב וללמוד את קבוצת הכיתה שלה. עם זאת, זה כמעט קשה להגדיר כללים כלליים לאופן שבו קבוצות כיתות מתנהגות בכל מערכות המספרים השונות הללו.
בשנות ה-1980, המתמטיקאים אנרי כהן ו הנדריק לנסטרה הציגו קבוצה רחבה של השערות לגבי איך הכללים האלה צריכים להיראות. "היוריסטיקות כהן-לנסטרה" הללו יכולות לספר לך הרבה על קבוצות כיתות, אשר בתורן אמורות לחשוף תכונות של מערכות המספרים הבסיסיות שלהן.
הייתה רק בעיה אחת. למרות שהרבה חישובים תומכים בהיוריסטיקה של כהן-לנסטרה, הם עדיין השערות, לא הוכחות. "בכל הנוגע למשפטים, עד לאחרונה לא ידענו כמעט כלום", אמר אלכס ברטל, מתמטיקאי באוניברסיטת גלזגו.
באופן מסקרן, ההתנהגות האופיינית של קבוצת כיתה קשורה באופן בל יינתק עם ההתנהגות של משוואות פל. הבנת בעיה אחת עוזרת להבין את האחרת - עד כדי כך שההשערה של סטיבנהאגן "היתה גם בעיית מבחן לכל התקדמות שהושגה בהיוריסטיקה של כהן-לנסטרה", אמר פגאנו.
העבודה החדשה כוללת את משוואת פל השלילית, שם x2 - dy2 מוגדר ל-1 במקום 1. בניגוד למשוואת Pell המקורית, שתמיד יש לה מספר אינסופי של פתרונות שלמים עבור כל d, לא כל הערכים של d במשוואת Pell השלילית תניב משוואה שניתן לפתור. לקחת x2 - 3y2 = −1: לא משנה כמה רחוק לאורך קו המספרים תסתכל, לעולם לא תמצא פתרון, למרות זאת x2 - 3y2 ל-1 יש אינסוף פתרונות.
למעשה, יש הרבה ערכים של d עבורם לא ניתן לפתור את משוואת ה-Pell השלילית: בהתבסס על כללים ידועים לגבי האופן שבו מספרים מסוימים קשורים זה לזה, d לא יכול להיות כפולה של 3, 7, 11, 15 וכן הלאה.
אבל גם כשאתה נמנע מהערכים האלה של d ושקול רק את משוואות הפל השליליות הנותרות, עדיין לא תמיד ניתן למצוא פתרונות. באותה קבוצה קטנה יותר של ערכים אפשריים של d, איזה פרופורציה באמת עובדת?
בשנת 1993, הציע סטיבנהגן נוסחה שנתנה תשובה מדויקת לשאלה זו. מהערכים עבור d שעשויים לעבוד (כלומר, ערכים שאינם כפולות של 3, 7 וכו'), הוא חזה שכ-58% יובילו למשוואות Pell שליליות עם פתרונות שלמים.
הניחוש של סטיבנהאגן הונע במיוחד מהקשר בין משוואת פל השלילית והיוריסטיקה של כהן-לנסטרה על קבוצות מעמדות - קשר שקוימנס ופאגנו ניצלו כאשר, 30 שנה מאוחר יותר, הוכיחו לו סוף סוף שהוא צודק.
תותח טוב יותר
בשנת 2010, קוימנס ופאגנו עדיין היו סטודנטים לתואר ראשון - עדיין לא הכירו את ההשערה של סטיבנהאגן - כשיצא מאמר שעשה חלק מההתקדמות הראשונה בבעיה מזה שנים.
בעבודה ההיא, שהיתה פורסם ב תולדות המתמטיקה, המתמטיקאים אטיין פוברי ו יורגן קלונרס הראה כי שיעור הערכים של d זה יעבוד עבור משוואת Pell השלילית נפלה בטווח מסוים. כדי לעשות זאת, הם קיבלו שליטה על ההתנהגות של כמה מרכיבים בקבוצות הכיתה הרלוונטיות. אבל הם יצטרכו הבנה של הרבה יותר אלמנטים כדי להתבסס על ההערכה הרבה יותר מדויקת של Stevenhagen של 58%. לרוע המזל, האלמנטים הללו נותרו בלתי ניתנים לבירור: עדיין היה צורך בשיטות חדשות כדי להבין את המבנה שלהם. התקדמות נוספת נראתה בלתי אפשרית.
ואז, ב-2017, כשקוימנס ופאגנו למדו יחד בבית ספר לתארים מתקדמים באוניברסיטת ליידן, הופיע נייר ששינה הכל. "כשראיתי את זה, זיהיתי מיד שזו תוצאה מאוד מאוד מרשימה", אמר קוימנס. "זה היה כאילו, בסדר, עכשיו יש לי תותח שאני יכול לירות על הבעיה הזו ולקוות שאוכל להתקדם". (באותה תקופה, סטיבנסנה ולנסטרה היו גם פרופסורים בליידן, מה שעזר לעורר את העניין של קוימנס ופאגנו בבעיה).
המאמר נכתב על ידי סטודנט לתואר שני בהרווארד, אלכסנדר סמית ' (שעכשיו הוא עמית קליי בסטנפורד). קוימנס ופאגנו לא היו לבד בשבחו את העבודה כפריצת דרך. "הרעיונות היו מדהימים", אמר גרנוויל. "מַהְפֵּכָנִי."
סמית' ניסה להבין תכונות של פתרונות למשוואות הנקראות עקומות אליפטיות. תוך כדי כך, הוא חיבר חלק מסוים מהיוריסטיקה של כהן-לנסטרה. לא רק שזה היה הצעד העיקרי הראשון בחיזוק ההשערות הרחבות יותר כעובדה מתמטית, אלא שהוא כלל בדיוק את החלק של קבוצת הכיתה שקוימאנס ופאגנו היו צריכים להבין בעבודתם על ההשערה של סטיבנהגן. (יצירה זו כללה את האלמנטים שפוברי וקלונרס למדו בתוצאה החלקית שלהם, אך היא גם חרגה הרבה מעבר להם.)
עם זאת, קוימנס ופאגנו לא יכלו פשוט להשתמש בשיטות של סמית' מיד. (אם זה היה אפשרי, סמית' עצמו כנראה היה עושה זאת.) ההוכחה של סמית' הייתה לגבי קבוצות כיתה המשויכות לטבעות המספרים הנכונות (אלה שבהן $latex sqrt{d}$ מצמודים למספרים השלמים) - אבל הוא שקל את כל ערכים שלמים של d. קוימנס ופאגנו, לעומת זאת, חשבו רק על תת-קבוצה זעירה של הערכים הללו של d. כתוצאה מכך, הם היו צריכים להעריך את ההתנהגות הממוצעת בקרב חלק קטן בהרבה מקבוצות הכיתה.
קבוצות הכיתה הללו היוו למעשה 0% מקבוצות הכיתה של סמית' - כלומר סמית יכול לזרוק אותן כשהוא כותב את ההוכחה שלו. הם לא תרמו להתנהגות הממוצעת שהוא למד בכלל.
וכאשר קוימנס ופאגנו ניסו ליישם את הטכניקות שלו רק בקבוצות הכיתה שאכפת להם מהן, השיטות התקלקלו מיד. הזוג יצטרכו לבצע שינויים משמעותיים כדי לגרום להם לעבוד. יתרה מכך, הם לא אפיינו רק קבוצת כיתה אחת, אלא את הפער שעלול להתקיים בין שתי קבוצות מעמדות שונות (כך יהיה חלק עיקרי מההוכחה שלהם להשערה של Stevenhagen) - מה שידרוש גם כמה כלים שונים.
אז קוימנס ופאגנו החלו לסרוק ביתר זהירות את העיתון של סמית' בתקווה לאתר בדיוק היכן הדברים התחילו לרדת מהפסים. זו הייתה עבודה קשה וקפדנית, לא רק בגלל שהחומר היה כל כך מסובך, אלא בגלל שסמית' עדיין חידד את ההדפסה המוקדמת שלו באותו זמן, עשה תיקונים והבהרות נחוצים. (הוא פרסם את גרסה חדשה של העיתון שלו באינטרנט בחודש שעבר.)
במשך שנה שלמה, קוימנס ופאגנו למדו יחד את ההוכחה, שורה אחר שורה. הם נפגשו כל יום, דנו בסעיף נתון במהלך ארוחת הצהריים לפני שהם בילו כמה שעות ליד הלוח, ועזרו זה לזה לעבוד על הרעיונות הרלוונטיים. אם אחד מהם התקדם בכוחות עצמו, הוא שלח הודעה לשני כדי לעדכן אותו. שוסטרמן זוכרת שלפעמים ראה אותם עובדים הרבה אל תוך הלילה. למרות (או אולי בגלל) האתגרים שזה כרוך, "זה היה מאוד כיף לעשות ביחד", אמר קוימנס.
בסופו של דבר הם זיהו היכן הם יצטרכו לנסות גישה חדשה. בהתחלה, הם הצליחו לבצע רק שיפורים צנועים. ביחד עם המתמטיקאים סטפני צ'אן ו ג'ורג'ו מילוביץ', הם הבינו כיצד להתמודד עם כמה אלמנטים נוספים בקבוצת הכיתה, מה שאפשר להם להגיע לגבולות טובים יותר ממה שהיו ל-Fouvry ו-Klüners. אבל חלקים משמעותיים מהמבנה של קבוצת הכיתה עדיין חמקו מהם.
בעיה מרכזית אחת שהם היו צריכים להתמודד - משהו שעבורו השיטה של סמית כבר לא עבדה בהקשר החדש הזה - הייתה להבטיח שהם באמת מנתחים התנהגות "ממוצעת" עבור קבוצות כיתתיות כערכים של d נהיה גדול יותר ויותר. כדי לבסס את מידת האקראיות הראויה, קוימנס ופאגנו הוכיחו מערכת מסובכת של כללים, הנקראים חוקי הדדיות. בסופו של דבר, זה איפשר להם להשיג את השליטה הדרושה להם על ההבדל בין שתי קבוצות הכיתה.
התקדמות זו, יחד עם אחרים, אפשרה להם סוף סוף להשלים את ההוכחה להשערה של סטיבנהאגן מוקדם יותר השנה. "זה מדהים שהם הצליחו לפתור את זה לגמרי," אמר צ'אן. "בעבר, היו לנו את כל הבעיות האלה."
מה שהם עשו "הפתיע אותי", אמר סמית'. "קוימנס ופאגנו שמרו על השפה הישנה שלי ופשוט השתמשו בה כדי לדחוף עוד ועוד לכיוון שאני בקושי מבין יותר."
הכלי החד ביותר
מאז שהציג אותו לפני חמש שנים, ההוכחה של סמית' לחלק אחד מהיוריסטיקה של כהן-לנסטרה נתפסה כדרך לפתוח דלתות לשורה של בעיות אחרות, כולל שאלות על עקומות אליפטיות ומבנים אחרים בעלי עניין. (במאמר שלהם, קוימנס ופאגנו מפרטים כתריסר השערות שהם מקווים להשתמש בשיטות שלהם. לרבים אין שום קשר למשוואת פל השלילית או אפילו לקבוצות כיתה).
"להרבה אובייקטים יש מבנים שאינם דומים לקבוצות אלגבריות מסוג זה," אמר גרנוויל. אבל רבים מאותם מחסומים שאיתם נאלצו קוימנס ופאגנו להתמודד נוכחים גם בהקשרים אחרים אלה. העבודה החדשה על משוואת פל השלילית סייעה לפרק את המחסומים הללו. "אלכסנדר סמית' אמר לנו איך לבנות את המסורים והפטישים האלה, אבל עכשיו אנחנו צריכים לעשות אותם חדים ככל האפשר וקשים ככל האפשר ומתאימים ככל האפשר למצבים שונים", אמר ברטל. "אחד הדברים שהעיתון הזה עושה הוא ללכת הרבה בכיוון הזה."
כל העבודה הזו, בינתיים, חידדה את הבנתם של המתמטיקאים לגבי פן אחד בלבד של קבוצות כיתות. שאר ההשערות של כהן-לנסטרה נותרו מחוץ להישג יד, לפחות כרגע. אבל המאמר של Koymans ו-Pagano "הוא אינדיקציה לכך שהטכניקות שיש לנו לתקוף בעיות בכהן-לנסטרה סוג של גדלות", אמר סמית'.
לנסטרה עצמו היה אופטימי באופן דומה. זה "מרהיב לחלוטין", כתב באימייל. "זה באמת פותח פרק חדש בענף של תורת המספרים שהוא ישן בדיוק כמו תורת המספרים עצמה."
