מתמטיקאים מטילים קוביות ומשיגים רוק-נייר-מספריים

בעוד ביל גייטס מספר את הסיפור, וורן באפט אתגר אותו פעם למשחק קוביות. כל אחד יבחר באחת מארבע הקוביות השייכות לבאפט, ואז הם היו מגלגלים, כשהמספר הגבוה יותר מנצח. אלה לא היו קוביות סטנדרטיות - היה להן מבחר שונה של מספרים מהרגילים 1 עד 6. באפט הציע לתת לגייטס לבחור ראשון, כדי שיוכל לבחור את הקוביה החזקה ביותר. אבל אחרי שגייטס בחן את הקוביות, הוא החזיר הצעה נגדית: באפט צריך לבחור ראשון.

גייטס זיהה שהקוביות של באפט מציגות תכונה מוזרה: אף אחד מהם לא היה החזק ביותר. אם גייטס היה בוחר ראשון, אז באיזו קובייה שהוא בחר, באפט היה מצליח למצוא קובייה אחרת שיכולה לנצח אותה (כלומר אחת עם יותר מ-50% סיכוי לזכות).

ארבע הקוביות של באפט (תקראו להן A, B, C ו D) יצרו דפוס המזכיר סלע-נייר-מספריים, שבו A פעימות B, B פעימות C, C פעימות D ו D פעימות A. מתמטיקאים אומרים שקבוצת קוביות כזו היא "בלתי-טרנסטיבית".

"זה בכלל לא אינטואיטיבי ש[קוביות בלתי-טרנזיטיביות] צריכות להתקיים בכלל", אמר בריאן קונרי, מנהל המכון האמריקאי למתמטיקה (AIM) בסן חוזה, שכתב מאמר רב השפעה בנושא ב-2013.

מתמטיקאים הגיעו עם דוגמאות ראשונות של קוביות בלתי-טרנזיטיביות לפני יותר מ-50 שנה, ובסופו של דבר הוכיח שכאשר אתה מחשיב קוביות עם יותר ויותר צלעות, אפשר ליצור מחזורים בלתי טרנזיטיביים בכל אורך. מה שמתמטיקאים לא ידעו עד לאחרונה הוא עד כמה נפוצות קוביות בלתי-טרנזיטיביות. האם אתה צריך להמציא דוגמאות כאלה בזהירות, או שאתה יכול לבחור קוביות באקראי ולהצליח למצוא קבוצה בלתי-טרנסטיבית?

מסתכל על שלוש קוביות, אם אתה יודע את זה A פעימות B ו B פעימות C, זה נראה כמו הוכחה לכך A הוא החזק ביותר; מצבים שבהם C פעימות A צריך להיות נדיר. ואכן, אם מותר למספרים על הקוביות להסתכם לסכומים שונים, אז מתמטיקאים מאמינים שהאינטואיציה הזו נכונה.

אבל א נייר שפורסם באינטרנט סוף השנה שעברה מראה שבסביבה טבעית אחרת, האינטואיציה הזו נכשלת בצורה מרהיבה. נניח שאתה דורש שהקוביות שלך ישתמשו רק במספרים המופיעים על קובייה רגילה ויש להם אותו סך כמו קובייה רגילה. ואז, העיתון הראה, אם A פעימות B ו B פעימות C, A ו C בעלי סיכויים שווים בעצם לנצח אחד מול השני.

"בידיעה ש A פעימות B ו B פעימות C פשוט לא נותן לך מידע לגבי האם A פעימות C," אמר טימותי גוורס מאוניברסיטת קיימברידג', זוכה מדליסט פילדס ואחד התורמים לתוצאה החדשה, שהוכחה באמצעות שיתוף פעולה מקוון פתוח המכונה פרויקט Polymath.

בינתיים, עוד אחד נייר האחרון מנתח קבוצות של ארבע קוביות או יותר. ניתן לטעון שהממצא הזה הוא אפילו יותר פרדוקסלי: אם, למשל, אתה בוחר ארבע קוביות באקראי ותגלה ש A פעימות B, B פעימות C ו C פעימות D, אז זה מעט יותר סביר עבור D להביס A מאשר ההפך.

לא חזק ולא חלש

הפריחה האחרונה בתוצאות החלה לפני כעשור, לאחר שקונרי השתתף במפגש של מורים למתמטיקה עם מפגש שכיסה קוביות בלתי-טרנסטיביות. "לא היה לי מושג שדברים כאלה יכולים להתקיים", אמר. "די הוקסמתי מהם."

הוא החליט (לימים הצטרף אליו עמיתו קנט מוריסון ב-AIM) כדי לחקור את הנושא עם שלושה תלמידי תיכון שהוא הדריך - ג'יימס גאברד, קייטי גרנט ואנדרו ליו. באיזו תדירות, תהתה הקבוצה, האם קוביות שנבחרו באקראי יהוו מחזור בלתי-טרנזיטיבי?

קבוצות לא-טרנזיטיביות של קוביות נחשבות נדירות אם מספרי הפנים של הקוביות מסתכמים לסכומים שונים, מכיוון שהקוביות עם הסכום הגבוה ביותר צפויות לנצח את האחרות. אז הצוות החליט להתמקד בקוביות בעלות שתי תכונות: ראשית, הקוביות משתמשות באותם המספרים כמו בקובייה רגילה - 1 עד n, במקרה של an nלמות צדדיות. ושנית, מספרי הפנים מסתכמים לאותו סך כמו בקובייה רגילה. אבל בניגוד לקוביות סטנדרטיות, כל קובייה עשויה לחזור על חלק מהמספרים ולהשאיר אחרים בחוץ.

במקרה של קוביות שש צדדיות, יש רק 32 קוביות שונות בעלות שתי התכונות הללו. אז בעזרת מחשב, הצוות יכול לזהות את כל השלשות שבהן A פעימות B ו B פעימות C. החוקרים גילו, לתדהמתם, זאת A פעימות C ב-1,756 שלשות ו C פעימות A ב-1,731 שלשות - מספרים כמעט זהים. בהתבסס על חישוב זה וסימולציות של קוביות עם יותר משש צלעות, הקבוצה שיערה שכאשר מספר הצדדים בקובייה מתקרב לאינסוף, ההסתברות לכך A פעימות C מתקרב ל-50%.

ההשערה, עם השילוב של נגישות וניואנסים, תפסה את קונרי כחומר טוב לפרויקט Polymath, שבו מתמטיקאים רבים מתכנסים באינטרנט כדי לחלוק רעיונות. באמצע 2017, הוא הציע את הרעיון ל-Gowers, המהווה את גישת הפולימאת. "מאוד אהבתי את השאלה, בגלל ערכה ההפתעה", אמר גוורס. הוא כתב א בלוג על ההשערה שמשכה שלל תגובות, ובמהלך שישה פוסטים נוספים הצליחו המגיבים להוכיח זאת.

בעיתון שלהם, פורסם באינטרנט בסוף נובמבר 2022, חלק מרכזי בהוכחה כרוך בהראות שלרוב, אין זה הגיוני לדבר על האם קוביה בודדת היא חזקה או חלשה. הקוביות של באפט, שאף אחת מהן אינה החזקה ביותר מהחבילה, אינן חריגות כל כך: אם תבחר קובייה באקראי, הראה פרויקט Polymath, סביר להניח שהוא ינצח כמחצית מהקוביות האחרות ותפסיד לחצי השני. "כמעט כל קובייה היא די ממוצעת", אמר גוורס.

הפרויקט חרג מהמודל המקורי של צוות AIM מבחינה אחת: כדי לפשט כמה דברים טכניים, הפרויקט הכריז שסדר המספרים על הקוביה חשוב - כך, למשל, 122556 ו-152562 ייחשבו לשתי קוביות שונות. אבל התוצאה של Polymath, בשילוב עם הראיות הניסיוניות של צוות AIM, יוצרת הנחה חזקה שההשערה נכונה גם במודל המקורי, אמר גוורס.

"הייתי מאוד שמח שהם הגיעו עם ההוכחה הזו", אמר קונרי.

כשזה הגיע לאוספות של ארבע קוביות או יותר, צוות AIM חזה התנהגות דומה לזו של שלוש קוביות: לדוגמה, אם A פעימות B, B פעימות C ו C פעימות D אז צריכה להיות הסתברות של 50-50 בערך D פעימות A, מתקרב בדיוק ל-50-50 כשמספר הצלעות בקובייה מתקרב לאינסוף.

כדי לבדוק את ההשערה, החוקרים דימו טורנירים ראש בראש עבור קבוצות של ארבע קוביות עם 50, 100, 150 ו-200 צלעות. ההדמיות לא צייתו לתחזיות שלהן בדיוק כמו במקרה של שלוש קוביות, אבל עדיין היו קרובות מספיק כדי לחזק את אמונתן בהשערה. אבל למרות שהחוקרים לא הבינו זאת, הפערים הקטנים הללו נשאו מסר אחר: עבור קבוצות של ארבע קוביות או יותר, ההשערה שלהם שקרית.

"באמת רצינו שההשערה תהיה נכונה, כי זה יהיה מגניב", אמר קונרי.

במקרה של ארבע קוביות, אליזבטה קורנצ'יה של המכון הפדרלי השוויצרי לטכנולוגיה לוזאן ו יאן האזלה של המכון האפריקאי למדעי מתמטיקה בקיגאלי, רואנדה, הראה ב מאמר פורסם באינטרנט בסוף 2020 כי אם A פעימות B, B פעימות C ו C פעימות D, לאחר מכן D יש סיכוי קצת יותר מ-50% לנצח A - כנראה איפשהו בסביבות 52%, אמר Hązła. (כמו בנייר Polymath, קורנצ'יה והוזלה השתמשו במודל מעט שונה מאשר במאמר AIM.)

הממצא של קורנצ'יה והזלה עולה מהעובדה שלמרות שככלל, קובייה בודדת לא תהיה חזקה ולא חלשה, לזוג קוביות לפעמים יש אזורי חוזק משותפים. אם תבחרו שתי קוביות באקראי, הראו קורנצ'יה והוזלה, יש סבירות הגונה שהקוביות יהיו בקורלציה: הן נוטות להכות או להפסיד לאותן קוביות. "אם אבקש ממך ליצור שתי קוביות שקרובות זו לזו, יתברר שזה אפשרי", אמר חזלה. הכיסים הקטנים האלה של דחיפות מתאם מרחיקים את תוצאות הטורניר מהסימטריה ברגע שיש לפחות ארבע קוביות בתמונה.

העיתונים האחרונים אינם סוף הסיפור. המאמר של קורנצ'יה והזלה רק מתחיל לחשוף בדיוק כיצד מתאמים בין קוביות מפרים את הסימטריה של טורנירים. בינתיים, עם זאת, אנחנו יודעים עכשיו שיש הרבה קבוצות של קוביות בלתי-טרנזיטיביות בחוץ - אולי אפילו אחת שהיא עדינה מספיק כדי להערים על ביל גייטס לבחור ראשון.