כשזה מגיע להבנת הצורה של צבירי בועות, מתמטיקאים תפסו את האינטואיציות הפיזיות שלנו במשך אלפי שנים. נראה שצבירי בועות סבון בטבע נצמדים מיד למצב האנרגיה הנמוך ביותר, זה שממזער את שטח הפנים הכולל של הקירות שלהם (כולל הקירות בין הבועות). אבל לבדוק אם בועות סבון ממלאות את המשימה הזו כמו שצריך - או סתם לחזות איך צריכים להיראות אשכולות בועות גדולים - היא אחת הבעיות הקשות ביותר בגיאומטריה. לקח למתמטיקאים עד סוף המאה ה-19 להוכיח שהכדור הוא הבועה היחידה הטובה ביותר, למרות שהמתמטיקאי היווני זנודורוס טען זאת יותר מ-2,000 שנה קודם לכן.
בעיית הבועות היא פשוטה מספיק כדי לציין: אתה מתחיל עם רשימה של מספרים עבור הנפחים, ולאחר מכן שואל כיצד להקיף בנפרד את נפחי האוויר הללו באמצעות שטח הפנים הקטן ביותר. אבל כדי לפתור בעיה זו, מתמטיקאים חייבים לשקול מגוון רחב של צורות אפשריות שונות עבור קירות הבועה. ואם המשימה היא לכלול, נניח, חמישה כרכים, אין לנו אפילו את הלוקסוס להגביל את תשומת הלב שלנו לאשכולות של חמש בועות - אולי הדרך הטובה ביותר למזער את שטח הפנים כרוכה בפיצול אחד הנפחים על פני בועות מרובות.
אפילו בהגדרה הפשוטה יותר של המישור הדו-ממדי (שם אתה מנסה להקיף אוסף של אזורים תוך מזעור ההיקף), אף אחד לא יודע מהי הדרך הטובה ביותר להקיף, נניח, תשעה או 10 אזורים. ככל שמספר הבועות גדל, "מהר, אתה אפילו לא יכול לקבל שום השערה סבירה," אמר עמנואל מילמן של הטכניון בחיפה, ישראל.
אבל לפני יותר מרבע מאה, ג'ון סאליבן, כעת מהאוניברסיטה הטכנית של ברלין, הבין שבמקרים מסוימים, יש א השערה מנחה שיהיה. בעיות בועות הגיוניות בכל מימד, וסאליבן גילה שכל עוד מספר הכרכים שאתה מנסה להקיף הוא לכל היותר אחד גדול מהממד, יש דרך מסוימת לתחום את הכרכים, כלומר, במובן מסוים, יפה יותר מכל אחר - מעין צל של מקבץ בועות סימטרי מושלם על כדור. צביר הצללים הזה, הוא שיער, צריך להיות זה שממזער את שטח הפנים.
במהלך העשור שלאחר מכן, מתמטיקאים כתבו סדרה של מאמרים פורצי דרך המוכיחים את השערתו של סאליבן כאשר אתה מנסה לצרף שני כרכים בלבד. כאן, הפתרון הוא הבועה הכפולה המוכרת שאולי פוצצתם בפארק ביום שמש, עשויה משני חלקים כדוריים עם דופן שטוחה או כדורית ביניהם (תלוי אם לשתי הבועות יש נפח זהה או שונה).
אבל מוכיח את השערתו של סאליבן במשך שלושה כרכים, המתמטיקאי פרנק מורגן של קולג' וויליאמס ספקולציה בשנת 2007, "יכול בהחלט לקחת עוד מאה שנים".
כעת, נחסכה מהמתמטיקאים ההמתנה הארוכה הזו - וקיבלו הרבה יותר מסתם פתרון לבעיית הבועה המשולשת. ב מאמר פורסם באינטרנט במאי, מילמן ו ג'ו נאמן, מאוניברסיטת טקסס, אוסטין, הוכיחו את ההשערה של סאליבן לגבי בועות משולשות בממדים שלוש ומעלה ובועות ארבע בממדים ארבע ומעלה, עם מאמר המשך על חמישיות בועות בממדים חמש ומעלה.
וכאשר מדובר בשש בועות או יותר, מילמן ונאמן הראו שהאשכול הטוב ביותר חייב להיות בעל הרבה מתכונות המפתח של המועמד של סאליבן, מה שעלול להתחיל מתמטיקאים בדרך להוכחת ההשערה גם למקרים אלה. "ההתרשמות שלי היא שהם תפסו את המבנה המהותי מאחורי השערת סאליבן", אמר פרנצ'סקו מגי מאוניברסיטת טקסס, אוסטין.
המשפט המרכזי של מילמן ונאמן הוא "מונומנטלי", כתב מורגן באימייל. "זה הישג מבריק עם הרבה רעיונות חדשים."
בועות צל
החוויות שלנו עם בועות סבון אמיתיות מציעות אינטואיציות מפתות לגבי איך צריכים להיראות אשכולות בועות אופטימליים, לפחות כשמדובר באשכולות קטנים. נראה שלבועות המשולשות או המרובע שאנו מפריחים דרך שרביטים סבוניים יש דפנות כדוריות (ולפעמים שטוחות) ונוטות ליצור גושים הדוקים ולא, למשל, שרשרת ארוכה של בועות.
אבל זה לא כל כך קל להוכיח שאלו באמת התכונות של צבירי בועות אופטימליים. לדוגמה, מתמטיקאים לא יודעים אם הקירות בצביר בועות ממזער הם תמיד כדוריים או שטוחים - הם יודעים רק שלקירות יש "עקמומיות ממוצעת קבועה", מה שאומר שהעקמומיות הממוצעת נשארת זהה מנקודה אחת לאחרת. לכדורים ולמשטחים שטוחים יש תכונה זו, אך כך גם משטחים רבים אחרים, כגון גלילים וצורות גליות הנקראות אונדלואידים. משטחים עם עקמומיות קבועה הם "גן חיות שלם", אמר מילמן.
אבל בשנות ה-1990, זיהה סאליבן שכאשר מספר הכרכים שאתה רוצה לצרף הוא לכל היותר אחד גדול מהממד, יש אשכול מועמד שנראה שהוא מעלה על השאר - אשכול אחד (ורק אחד) שיש לו את התכונות שאנו נוטים להן. לראות במקבצים קטנים של בועות סבון אמיתיות.
כדי לקבל תחושה כיצד מועמד כזה בנוי, הבה נשתמש בגישה של סאליבן כדי ליצור מקבץ של שלוש בועות במישור השטוח (כך שה"בועות" שלנו יהיו אזורים במישור ולא עצמים תלת מימדיים). נתחיל בבחירת ארבע נקודות על כדור שכולן נמצאות באותו מרחק אחת מהשנייה. כעת דמיינו שכל אחת מארבע הנקודות הללו היא מרכזה של בועה זעירה, שחיה רק על פני הכדור (כך שכל בועה היא דיסקית קטנה). נפחו את ארבע הבועות על הכדור עד שהן מתחילות להיתקל זו בזו, ולאחר מכן המשיכו לנפח עד שהן ממלאות ביחד את כל פני השטח. בסופו של דבר אנו מקבלים מקבץ סימטרי של ארבע בועות שגורם לכדור להיראות כמו טטרהדרון נפוח.
לאחר מכן, אנו מניחים את הכדור הזה על גבי מישור שטוח אינסופי, כאילו הכדור הוא כדור המונח על רצפה אינסופית. תאר לעצמך שהכדור שקוף ויש פנס בקוטב הצפוני. הקירות של ארבע הבועות יקרינו צללים על הרצפה ויצרו שם קירות של מקבץ בועות. מתוך ארבע הבועות על הכדור, שלוש יזרקו מטה לבועות צל על הרצפה; הבועה הרביעית (זו המכילה את הקוטב הצפוני) תזדקף למרחב האינסופי של הרצפה מחוץ למקבץ של שלוש בועות צל.
מקבץ שלוש הבועות המסוים שאנו מקבלים תלוי באופן שבו מיקמנו את הכדור כאשר הנחנו אותו על הרצפה. אם נסובב את הכדור כך שנקודה אחרת תעבור אל הפנס בקוטב הצפוני, בדרך כלל נקבל צל שונה, ולשלוש הבועות על הרצפה יהיו אזורים שונים. למתמטיקאים יש הוכיח שלכל שלושה מספרים שתבחר עבור האזורים, יש בעצם דרך אחת למקם את הכדור כך שלשלושת בועות הצל יהיו בדיוק אותם אזורים.
אנו חופשיים לבצע את התהליך הזה בכל מימד (אם כי קשה יותר לדמיין צללים בממדים גבוהים יותר). אבל יש גבול לכמה בועות יכולות להיות לנו באשכול הצללים שלנו. בדוגמה למעלה, לא יכולנו ליצור מקבץ של ארבע בועות במטוס. זה היה מצריך להתחיל מחמש נקודות על הכדור שכולן נמצאות באותו מרחק אחת מהשנייה - אבל זה בלתי אפשרי למקם כל כך הרבה נקודות במרחק שווה על כדור (אם כי אתה יכול לעשות את זה עם כדורים בעלי ממדים גבוהים יותר). הפרוצדורה של סאליבן פועלת רק ליצירת אשכולות של עד שלוש בועות במרחב הדו-ממדי, ארבע בועות במרחב התלת-מימדי, חמש בועות במרחב הדו-ממדי וכן הלאה. מחוץ לטווחי הפרמטרים האלה, אשכולות בועות בסגנון סאליבן פשוט לא קיימים.
אבל בתוך הפרמטרים האלה, הנוהל של סאליבן נותן לנו צבירי בועות בהגדרות הרבה מעבר למה שהאינטואיציה הפיזית שלנו יכולה להבין. "אי אפשר לדמיין מהי בועה בת 15 ב[מרחב 23 מימדי]", אמרה מגי. "איך אתה בכלל חולם לתאר חפץ כזה?"
עם זאת, מועמדי הבועות של סאליבן יורשים מאבותיהם הכדוריים אוסף ייחודי של תכונות המזכירות את הבועות שאנו רואים בטבע. הקירות שלהם כולם כדוריים או שטוחים, ובכל מקום ששלושה קירות נפגשים, הם יוצרים זוויות של 120 מעלות, כמו בצורת Y סימטרית. כל אחד מהכרכים שאתה מנסה להקיף נמצא באזור יחיד, במקום להיות מפוצל על פני מספר אזורים. וכל בועה נוגעת בכל אחת מהשנייה (ובחוץ), ויוצרת מקבץ הדוק. מתמטיקאים הראו שהבועות של סאליבן הן הצבירים היחידים שמספקים את כל התכונות הללו.
כאשר סאליבן שיער שאלו צריכים להיות האשכולות שממזערים את שטח הפנים, הוא בעצם אמר, "בוא נניח יופי," אמרה מגי.
אבל לחוקרי בועות יש סיבה טובה להיזהר מהנחה שרק בגלל שהפתרון המוצע יפה, הוא נכון. "ישנן בעיות מאוד מפורסמות... שבהן היית מצפה לסימטריה עבור המזעורים, וסימטריה נכשלת באופן מרהיב", אמרה מגי.
לדוגמה, יש את הבעיה הקשורה בקשר הדוק של מילוי חלל אינסופי בבועות בנפח שווה באופן שממזער את שטח הפנים. בשנת 1887, המתמטיקאי והפיזיקאי הבריטי לורד קלווין הציע שהפתרון עשוי להיות מבנה אלגנטי דמוי חלת דבש. במשך יותר ממאה שנה, מתמטיקאים רבים האמינו שזו התשובה הסבירה - עד 1993, כאשר זוג פיזיקאים זיהה טוב יותר, אם כי פחות סימטרי, אפשרות. "המתמטיקה מלאה... בדוגמאות שבהן קורה דבר מוזר כזה", אמרה מגי.
אמנות אפלה
כשסאליבן הכריז על השערתו ב-1995, החלק הכפול של הבועות שלו כבר ריחף מזה מאה שנה. מתמטיקאים פתרו את ה בעיית בועות דו מימדיות שנתיים קודם לכן, ובעשור שלאחר מכן, הם פתרו את זה מרחב תלת מימדי ואז פנימה גבוה יותר ממדים. אבל כשזה הגיע למקרה הבא של השערתו של סאליבן - בועות משולשות - הם יכלו להוכיח את ההשערה רק במישור הדו מימדי, שבו הממשקים בין הבועות פשוטים במיוחד.
ואז בשנת 2018, מילמן ונאמן הוכיחו גרסה מקבילה להשערתו של סאליבן בסביבה הידועה בשם בעיית הבועה הגאוסיאנית. בהגדרה זו, אתה יכול לחשוב על כל נקודה בחלל כבעלת ערך כספי: המוצא הוא המקום היקר ביותר, וככל שאתה מתרחק מהמקור, הקרקע נעשית זולה יותר, ויוצרת עקומת פעמון. המטרה היא ליצור מתחמים עם מחירים שנבחרו מראש (במקום נפחים שנבחרו מראש), באופן שימזער את העלות של גבולות המתחמים (במקום שטח הפנים של הגבולות). לבעיית בועות גאוס זו יש יישומים במדעי המחשב לתוכניות עיגול ושאלות של רגישות לרעש.
מילמן ונאמן הגישו את שלהם הוכחה אל ה תולדות המתמטיקה, ללא ספק כתב העת היוקרתי ביותר של המתמטיקה (שם הוא התקבל מאוחר יותר). אבל לזוג לא הייתה כוונה לקרוא לזה יום. השיטות שלהם נראו מבטיחות גם לבעיית הבועה הקלאסית.
הם זרקו רעיונות הלוך ושוב במשך כמה שנים. "היה לנו מסמך של 200 עמודים של הערות", אמר מילמן. בהתחלה, זה הרגיש כאילו הם מתקדמים. "אבל אז מהר זה הפך ל'ניסינו את הכיוון הזה - לא. ניסינו את הכיוון [זה] - לא.'" כדי לגדר את ההימורים שלהם, שני המתמטיקאים המשיכו גם בפרויקטים אחרים.
ואז בסתיו שעבר, מילמן הגיע לשנת שבתון והחליט לבקר את נאמן כדי שהזוג יוכל לעשות דחיפה מרוכזת על בעיית הבועות. "במהלך השבתון זה זמן טוב לנסות סוגי דברים בעלי סיכון גבוה ורווח גבוה", אמר מילמן.
בחודשים הראשונים הם לא הגיעו לשום מקום. לבסוף, הם החליטו לתת לעצמם משימה קצת יותר קלה מההשערה המלאה של סאליבן. אם אתה נותן לבועות שלך מימד נוסף של חדר נשימה, אתה מקבל בונוס: לצביר הבועות הטוב ביותר יהיה סימטריה של מראה על פני מישור מרכזי.
ההשערה של סאליבן היא על בועות משולשות בממדים שניים ומעלה, בועות ארבע בממדים שלוש ומעלה, וכן הלאה. כדי לקבל את סימטריית הבונוס, מילמן ונאמן הגבילו את תשומת לבם לבועות משולשות בממדים שלוש ומעלה, בועות ארבע בממדים ארבע ומעלה, וכן הלאה. "באמת רק כאשר ויתרנו על השגת אותו עבור כל מגוון הפרמטרים, באמת התקדמנו", אמר נאמן.
כשסימטרית מראה זו עומדת לרשותם, מילמן ונאמן העלו טיעון הפרעה הכולל ניפוח קל של חצי צביר הבועות שנמצא מעל המראה וניפוח החצי שנמצא מתחתיו. הפרעה זו לא תשנה את נפח הבועות, אבל היא עלולה לשנות את שטח הפנים שלהן. מילמן ונאמן הראו שאם לצביר הבועות האופטימלי יש קירות שאינם כדוריים או שטוחים, תהיה דרך לבחור את ההפרעה הזו כך שתקטין את שטח הפנים של האשכול - סתירה, שכן לצביר האופטימלי יש כבר את השטח המינימלי ביותר. אזור אפשרי.
השימוש בהפרעות כדי לחקור בועות הוא רחוק מלהיות רעיון חדש, אבל להבין אילו הפרעות יזהו את התכונות החשובות של צביר בועות היא "מעט אומנות אפלה", אמר נאמן.
במבט לאחור, "ברגע שאתה רואה את [ההפרעות של מילמן ונאמן], הם נראים די טבעיים", אמר ג'ואל הס מאוניברסיטת קליפורניה, דייויס.
אבל לזהות את ההפרעות כטבעיות היא הרבה יותר קלה מאשר להמציא אותן מלכתחילה, אמרה מגי. "זה בהחלט לא משהו שאתה יכול להגיד, 'בסופו של דבר אנשים היו מוצאים את זה'", אמר. "זה ממש גאוני ברמה מאוד יוצאת דופן."
מילמן ונאמן הצליחו להשתמש בהפרעות שלהם כדי להראות שצביר הבועות האופטימלי חייב לספק את כל תכונות הליבה של הצבירים של סאליבן, אולי מלבד אחת: הקביעה שכל בועה חייבת לגעת בכל שנייה. הדרישה האחרונה אילצה את מילמן ונאמן להתמודד עם כל הדרכים שבהן בועות עשויות להתחבר לאשכול. כשמדובר רק בשלוש או ארבע בועות, אין כל כך הרבה אפשרויות לשקול. אבל ככל שאתה מגדיל את מספר הבועות, מספר דפוסי הקישוריות האפשריים השונים גדל, אפילו מהר יותר מאשר באופן אקספוננציאלי.
מילמן ונאמן קיוו בתחילה למצוא עיקרון כולל שיכסה את כל המקרים הללו. אבל אחרי שבילו כמה חודשים "לשבור לנו את הראש", אמר מילמן, הם החליטו להסתפק לעת עתה בגישה אד-הוקית יותר שאפשרה להם להתמודד עם בועות משולשות ומרובעות. הם גם הכריזו על הוכחה שלא פורסמה לכך שהבועה החמישית של סאליבן היא אופטימלית, אם כי עדיין לא קבעו שזהו האשכול האופטימלי היחיד.
עבודתם של מילמן ונאמן היא "גישה חדשה לגמרי ולא הרחבה של שיטות קודמות", כתב מורגן בדוא"ל. סביר להניח, ניבאה מגי, שניתן לדחוף את הגישה הזו עוד יותר - אולי לצבירים של יותר מחמש בועות, או למקרים של השערה של סאליבן שאין להם את סימטריית המראה.
אף אחד לא מצפה שהתקדמות נוספת תגיע בקלות; אבל זה מעולם לא הרתיע את מילמן ונאמן. "מהניסיון שלי," אמר מילמן, "כל הדברים העיקריים שהתמזל מזלי להיות מסוגל לעשות דרשו פשוט לא לוותר".
