ההתנהגות המדהימה של רצפים רקורסיביים | מגזין קוונטה

במתמטיקה, כללים פשוטים יכולים לפתוח יקומים של מורכבות ויופי. קחו את רצף פיבונאצ'י המפורסם, המוגדר כך: הוא מתחיל ב-1 וב-1, וכל מספר עוקב הוא הסכום של השניים הקודמים. המספרים הראשונים הם:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

פשוט, כן, אבל המתכון הצנוע הזה מוליד דפוס בעל משמעות מרחיקת לכת, כזה שנראה כאילו הוא שזורה לתוך המרקם של עולם הטבע. זה נראה במערבולות של קונכיות נאוטילוס, בעצמות באצבעותינו ובסידור העלים על ענפי עצים. הטווח המתמטי שלו משתרע בין היתר לגיאומטריה, אלגברה והסתברות. שמונה מאות שנים מאז שהרצף הוצג למערב - מתמטיקאים הודים חקרו אותו הרבה לפני פיבונאצ'י - המספרים ממשיכים למשוך את התעניינותם של החוקרים, עדות לכמה עומק מתמטי יכול לעמוד בבסיס אפילו רצף המספרים היסודי ביותר.

ברצף פיבונאצ'י, כל מונח מתבסס על אלו שבאו לפניו. רצפים רקורסיביים כאלה יכולים להפגין מגוון רחב של התנהגויות, חלקן מנוגדות להפליא. קח, למשל, משפחה מוזרה של רצפים שתוארה לראשונה בשנות השמונים על ידי המתמטיקאי האמריקאי מייקל סומוס.

כמו רצף פיבונאצ'י, רצף של סומוס מתחיל בסדרה של אחדים. א סומוס-k רצף מתחיל ב k שלהם. כל מונח חדש של סומוס-k רצף מוגדר על ידי זיווג של איברים קודמים, הכפלה של כל זוג יחד, חיבור הזוגות ולאחר מכן חלוקה במונח k עמדות אחורה ברצף.

הרצפים לא מאוד מעניינים אם k שווה ל-1, 2 או 3 - הם רק סדרה של חוזרים. אלא בשביל k = 4, 5, 6 או 7 לרצפים יש תכונה מוזרה. למרות שיש הרבה חלוקה מעורבת, שברים לא מופיעים.

"בדרך כלל אין לנו סוג כזה של תופעה", אמר סומוס. "זוהי חזרה פשוטה להטעיה, בדומה לפיבונאצ'י. אבל יש הרבה מאחורי הפשטות הזו".

מתמטיקאים אחרים ממשיכים לחשוף קשרים מדהימים בין רצפי סומוס לבין תחומים שלכאורה לא קשורים במתמטיקה. מאמר אחד שפורסם ביולי משתמש בהם לבנות פתרונות למערכת של משוואות דיפרנציאליות המשמשות למודל של כל דבר, החל מאינטראקציות של טורף וטרף ועד גלים הנעים בפלזמות בעלות אנרגיה גבוהה. הם משמשים גם לחקר המבנה של עצמים מתמטיים הנקראים אלגברות אשכול ומחוברים ל עקומות אליפטיות - שהיו המפתח לפיצוח המשפט האחרון של פרמה.

ג'ניס מאלוף, סטודנט לתואר שני באוניברסיטת אילינוי, פרסם את ההוכחה הראשונה לכך שרצפי סומוס-4 וסומוס-5 הם אינטגרליים (כלומר כל המונחים שלהם הם מספרים שלמים) ב-1992. הוכחות אחרות של אותה תוצאה של מתמטיקאים שונים הופיעו בערך באותו זמן, יחד עם הוכחות לכך שרצפי סומוס-6 וסומוס-7 הם אינטגרליים.

התכונה המוזרה הזו של רצפי סומוס הדהימה את המתמטיקאים. "רצפי סומוס סיקרנו אותי ברגע שלמדתי עליהם", אמר ג'יימס פרופ, פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת מסצ'וסטס, לואל. "העובדה ש-Somos-4 עד Somos-7 תמיד נותנים מספרים שלמים, לא משנה כמה רחוק אתה יוצא, נראתה כמו נס כאשר הסתכלת על דברים מנקודת מבט נאיבית. אז נדרשה פרספקטיבה אחרת".

פרופ מצא פרספקטיבה רעננה בתחילת שנות ה-2000, כאשר הוא ועמיתיו גילו שהמספרים ברצף סומוס-4 למעשה סופרים משהו. המונחים ברצף תואמים למבנים שנמצאים בגרפים מסוימים. עבור גרפים מסוימים, אפשר לקשר בין קודקודים (נקודות) לקצוות (קווים) כך שכל קודקוד מחובר בדיוק לקודקוד אחד אחר - אין קודקודים לא מזווגים, ואין קודקוד המחובר ליותר מקצה אחד. המונחים ברצף Somos-4 סופרים את מספר ההתאמות המושלמות השונות עבור רצף מסוים של גרפים.

התגלית לא רק הציעה פרספקטיבה חדשה על רצפי סומוס, אלא גם הציגה דרכים חדשות לחשוב ולנתח טרנספורמציות גרפים. פרופ ותלמידיו חגגו בכך שהתוצאה הועלתה על א חולצת טי.

"בעיני חלק גדול מהפיתוי של מתמטיקה הוא כשאתה מגיע לאותו יעד בדרכים שונות וזה נראה כאילו משהו מופלא או עמוק קורה", אמר פרופ. "הדבר המגניב ברצפים האלה הוא שישנן נקודות מבט שונות שמסבירות מדוע אתה מקבל מספרים שלמים. יש שם עומקים נסתרים".

הסיפור משתנה עבור רצפי סומוס בעלי מספר גבוה יותר. 18 האיברים הראשונים של סומוס-8 הם מספרים שלמים, אבל האיבר ה-19 הוא שבר. כל רצף של סומוס לאחר מכן מכיל גם ערכי שברים.

סוג אחר של רצף, שפותח על ידי המתמטיקאי הגרמני פריץ גובל בשנות ה-1970, הוא קונטרה מעניינת לרצפי סומוס. ה nהאיבר של רצף Göbel מוגדר כסכום הריבועים של כל האיברים הקודמים, בתוספת 1, חלקי n. כמו רצפי סומוס, רצף גובל כרוך בחלוקה, ולכן אנו עשויים לצפות שמונחים לא יישארו מספרים שלמים. אבל לזמן מה - ככל שהרצף גדל עצום - נראה שהם כן.

האיבר העשירי ברצף גובל הוא בערך 10 מיליון, ה-1.5 11 - בערך מיליארד. המונח ה-267 גדול מכדי לחשב - יש לו כ-43 מיליארד ספרות. אבל בשנת 178, המתמטיקאי ההולנדי הנדריק לנסטרה הראה שבניגוד ל-42 האיברים הראשונים, האיבר ה-43 הזה אינו מספר שלם.

ניתן להכליל רצפים של גובל על ידי החלפת הריבועים בסכום בקוביות, חזקות רביעיות או אפילו מעריכים גבוהים יותר. (על פי מוסכמה זו, הרצף המקורי שלו נקרא רצף 2-Göbel.) רצפים אלו מציגים גם מגמה מפתיעה של התחלה עם קטע ממושך של מונחים שלמים. בשנת 1988, הנרי איבסטדט הראה ש-89 האיברים הראשונים של רצף 3-Göbel (המשתמש בקוביות במקום בריבועים) הם מספרים שלמים, אבל ה-90 לא. מחקר שלאחר מכן על רצפים אחרים של Göbel מצא מתיחות ארוכות עוד יותר. רצף 31-Göbel, למשל, מתחיל עם 1,077 מונחים שלמים.

ביולי, המתמטיקאים של אוניברסיטת קיושו רינוסוקה מאצוהירה, טושיקי מטסוסאקה וקוקי צוצ'ידה שיתף עיתון מראה את זה עבור א k-רצף גובל, לא משנה הבחירה של k, 19 האיברים הראשונים של הרצף הם תמיד מספרים שלמים. הם קיבלו השראה לבחון את השאלה ממנגה יפנית בשם Seisū-tan, שמתורגם ל"סיפור המספרים השלמים". א מסגרת בחוברת הקומיקס ביקש מהקוראים להבין את הערך המינימלי האפשרי של N_k, הנקודה בה א k-רצף גובל מפסיק לייצר מונחים שלמים. שלושת המתמטיקאים יצאו לענות על השאלה. "ההתמדה הבלתי צפויה של מספרים שלמים למשך כל כך ממושך סותרת את האינטואיציה שלנו", אמר מטסוסאקה. "כאשר תופעות מתרחשות בניגוד לאינטואיציה, אני מאמין שתמיד קיים יופי".

הם מצאו דפוס של התנהגות חוזרת כמו k עולה. על ידי התמקדות במספר סופי של מקרים חוזרים, הם הפכו את החישוב לאפשרי, והם הצליחו להשלים את ההוכחה.

מבט מקרוב על הרצף N_k מגלה הפתעה נוספת: N_k הוא prime הרבה יותר ממה שהיית מצפה לו היה אקראי בלבד. "עם ה k-רצף גובל, זה לא רק מדהים שהם מספרים שלמים", אמר ריצ'רד גרין, מתמטיקאי באוניברסיטת קולורדו. "מה שמדהים הוא שהמספרים הראשוניים מופיעים לעתים קרובות כל כך. זה גורם לזה להיראות כאילו משהו עמוק יותר עלול לקרות."

למרות שהעיתון החדש מציג הוכחה לכך N_k הוא תמיד לפחות 19, לא ידוע אם הוא תמיד סופי, או אם קיים א k עבורם הרצף מכיל מספרים שלמים ללא הגבלה. "N_k מתנהג בצורה מסתורית. ... יש רצון בסיסי להבין את הדפוס הבסיסי שלו, "אמר מטסוסאקה. "זה אולי דומה לשמחה שחשתי כילד כשפתרתי חידות שנתנו מורים. אפילו עכשיו, התחושות האלה מאותו זמן נשארות בתוכי".

Quanta עורכת סדרה של סקרים כדי לשרת טוב יותר את הקהל שלנו. קח את שלנו סקר קוראי מתמטיקה ותוכלו לזכות בחינם Quanta סחורה.