מבוא
בשנת 2012, המתמטיקאי שינצ'י מוצ'יזוקי טען שהוא פתר את ה א ב ג השערה, שאלה פתוחה מרכזית בתורת המספרים על הקשר בין חיבור לכפל. הייתה רק בעיה אחת: ההוכחה שלו, שאורכה יותר מ-500 עמודים, הייתה בלתי חדירה לחלוטין. הוא הסתמך על נהימה של הגדרות חדשות, סימון ותיאוריות שכמעט כל המתמטיקאים לא מצאו להן הגיון. שנים מאוחר יותר, כששני מתמטיקאים תרגמו חלקים גדולים מההוכחה למונחים מוכרים יותר, הם הצביעו על מה שאחד כינה "פער רציני, בלתי ניתן לתיקון" בהיגיון שלו - רק למוצ'יזוקי לדחות את הטיעון שלהם על בסיס שהם פשוט לא הצליחו להבין את עבודתו.
התקרית מעלה שאלה מהותית: מהי הוכחה מתמטית? אנו נוטים לחשוב על זה כעל גילוי של אמת נצחית כלשהי, אבל אולי זה מובן טוב יותר כמבנה חברתי.
אנדרו גרנוויל, מתמטיקאי מאוניברסיטת מונטריאול, חושב על זה הרבה לאחרונה. לאחר שפנה אלי פילוסוף בנוגע לחלק מהכתיבה שלו, "התחלתי לחשוב איך אנחנו מגיעים לאמיתות שלנו", אמר. "וברגע שאתה מתחיל לדחוף בדלת הזו, אתה מגלה שזה נושא עצום."
גרנוויל נהנה מאריתמטיקה מגיל צעיר, אבל הוא מעולם לא שקל קריירה בחקר מתמטיקה כי הוא לא ידע שדבר כזה קיים. "אבי עזב את בית הספר בגיל 14, אמי בגיל 15 או 16", אמר. "הם נולדו במה שהיה אז אזור מעמד הפועלים בלונדון, והאוניברסיטה הייתה ממש מעבר למה שהם ראו כאפשרי. אז לא היה לנו שמץ של מושג".
לאחר שסיים את לימודיו באוניברסיטת קיימברידג', שם למד מתמטיקה, החל להסתגל ניירות רייצ'ל, רומן מאת מרטין אמיס, לתסריט. בזמן שעבד וחיפש מימון לפרויקט, הוא רצה להימנע מעבודה בשולחן העבודה - הוא עבד בחברת ביטוח במהלך שנת הפער בין התיכון למכללה ולא רצה לחזור אליו - "אז הלכתי לתיכון", אמר. הסרט מעולם לא יצא לפועל (הרומן הופק מאוחר יותר באופן עצמאי לסרט), אבל גרנוויל קיבל תואר שני במתמטיקה ולאחר מכן עבר לקנדה כדי להשלים את הדוקטורט שלו. הוא מעולם לא הביט לאחור.
מבוא
"זו הייתה הרפתקה, באמת", אמר. "לא ממש ציפיתי להרבה. לא ממש ידעתי איזה Ph.D. היה."
בעשורים שחלפו מאז, הוא חיבר יותר מ-175 מאמרים, בעיקר בתורת המספרים. הוא גם הפך ידוע ככותב על מתמטיקה עבור קהל פופולרי: בשנת 2019, הוא היה שותף לכתיבת ספר רומן גרפי על מספרים ראשוניים ומושגים קשורים עם אחותו הגדולה, ג'ניפר, תסריטאית. בחודש שעבר, אחד המסמכים שלו על "איך אנחנו מגיעים לאמיתות שלנו" היה לאור בדברי הימים למתמטיקה ופילוסופיה. ויחד עם מתמטיקאים אחרים, מדעני מחשב ופילוסופים, הוא מתכנן לפרסם אוסף מאמרים בשנה הבאה עלון של האגודה האמריקאית למתמטיקה על האופן שבו מכונות עשויות לשנות את המתמטיקה.
Quanta דיבר עם גרנוויל על טבעה של הוכחה מתמטית - מאיך שהוכחות פועלות בפועל ועד לתפיסות שגויות פופולריות לגביהן, ועד איך כתיבת הוכחות עשויה להתפתח בעידן הבינה המלאכותית. הראיון עבר עריכה ותמצית לצורך הבהירות.
לאחרונה פרסמת מאמר על מהות ההוכחה המתמטית. למה החלטת שחשוב לכתוב על זה?
הדרך שבה מתמטיקאים מתנהלים במחקר לא מתוארת היטב במדיה הפופולרית. אנשים נוטים לראות במתמטיקה את החיפוש הטהור הזה, שבו אנחנו פשוט מגיעים לאמיתות גדולות על ידי מחשבה טהורה בלבד. אבל מתמטיקה עוסקת בניחושים - לרוב ניחושים שגויים. זה תהליך ניסיוני. אנחנו לומדים בשלבים.
לדוגמה, כאשר השערת רימן הופיעה לראשונה במאמר ב-1859, זה היה כמו קסם: הנה ההשערה המדהימה הזו, משום מקום. במשך 70 שנה, אנשים דיברו על מה שהוגה דעות גדול יכול לעשות על ידי מחשבה טהורה בלבד. אז מצא המתמטיקאי קרל סיגל את הערות השריטה של רימן בארכיון גטינגן. רימן עשה למעשה דפים של חישובים של אפסים של פונקציית הזטה של רימן. המילים המפורסמות של סיגל היו, "עד כדי מחשבה טהורה בלבד".
אז יש את המתח הזה בדרך שבה אנשים כותבים על מתמטיקה - כמה פילוסופים והיסטוריונים בפרט. נראה שהם חושבים שאנחנו איזה יצור קסום טהור, איזה חד קרן של המדע. אבל אנחנו לא, בדרך כלל. רק לעתים רחוקות זו מחשבה טהורה בלבד.
מבוא
איך היית מאפיין את מה שמתמטיקאים עושים?
תרבות המתמטיקה היא כולה הוכחה. אנחנו יושבים וחושבים, ו-95% ממה שאנחנו עושים זה הוכחה. הרבה מההבנה שאנו מקבלים היא מההתמודדות עם הוכחות ומפרשות הבעיות שעולות כאשר אנו נאבקים בהן.
לעתים קרובות אנו חושבים על הוכחה כעל טיעון מתמטי. באמצעות סדרה של צעדים לוגיים, הוא מדגים שמשפט נתון הוא נכון. אבל אתה כותב שאסור לטעות בזה כאמת טהורה ואובייקטיבית. למה אתה מתכוון?
הנקודה העיקרית של הוכחה היא לשכנע את הקורא באמיתותה של קביעה. זה אומר שאימות הוא המפתח. מערכת האימות הטובה ביותר שיש לנו במתמטיקה היא שהרבה אנשים מסתכלים על הוכחה מנקודות מבט שונות, והיא מתאימה היטב להקשר שהם מכירים ומאמינים. במובן מסוים, אנחנו לא אומרים שאנחנו יודעים שזה נכון. אנחנו אומרים שאנחנו מקווים שזה נכון, כי הרבה אנשים ניסו את זה מנקודות מבט שונות. הוכחות מקובלות על פי סטנדרטים קהילתיים אלה.
ואז יש את הרעיון הזה של אובייקטיביות - של להיות בטוח שמה שנטען הוא נכון, להרגיש שיש לך אמת אולטימטיבית. אבל איך אנחנו יכולים לדעת שאנחנו אובייקטיביים? קשה להוציא את עצמך מההקשר שבו הצהרת - לקבל פרספקטיבה מחוץ לפרדיגמה שהוקמה על ידי החברה. זה נכון לגבי רעיונות מדעיים בדיוק כמו לגבי כל דבר אחר.
אפשר גם לשאול מה מעניין או חשוב מבחינה אובייקטיבית במתמטיקה. אבל זה גם סובייקטיבי בעליל. מדוע אנו מחשיבים את שייקספיר כסופר טוב? שייקספיר לא היה פופולרי בתקופתו כמו היום. ברור שיש מוסכמות חברתיות סביב מה שמעניין, מה חשוב. וזה תלוי בפרדיגמה הנוכחית.
מבוא
במתמטיקה, איך זה נראה?
אחת הדוגמאות המפורסמות ביותר לשינוי בפרדיגמה היא החשבון. כאשר הומצא החשבון, זה כלל חלוקה של משהו שהולך לאפס במשהו אחר שהולך לאפס - מה שמוביל לאפס חלקי אפס, שאין לו שום משמעות. בתחילה, ניוטון ולייבניץ המציאו עצמים הנקראים אינפיניטסימלים. זה גרם למשוואות שלהם לעבוד, אבל לפי הסטנדרטים של היום זה לא היה הגיוני או קפדני.
כעת יש לנו את הניסוח אפסילון-דלתא, שהוצג בסוף המאה ה-19. הניסוח המודרני הזה הוא כל כך מדהים, ברור שטוב להגדיר את המושגים האלה, שכשאתה מסתכל על הניסוחים הישנים, אתה חושב, מה הם חשבו? אבל בזמנו, זה נחשב הדרך היחידה שאתה יכול לעשות את זה. כדי להיות הוגנים כלפי לייבניץ וניוטון, הם כנראה היו אוהבים את הדרך המודרנית. הם לא חשבו לעשות את זה, בגלל הפרדיגמות של תקופתם. אז פשוט לקח הרבה זמן להגיע לשם.
הבעיה היא שאנחנו לא יודעים מתי אנחנו מתנהגים ככה. אנחנו לכודים בחברה בה אנו נמצאים. אין לנו פרספקטיבה מבחוץ לומר אילו הנחות אנו מניחים. אחת הסכנות במתמטיקה היא שאתה יכול להעלות על הדעת משהו כלא חשוב מכיוון שהוא לא מתבטא או נדון בקלות בשפה שבה בחרת להשתמש. זה לא אומר שאתה צודק.
אני מאוד אוהב את הציטוט הזה של דקארט, שבו הוא אומר בעצם: "אני חושב שאני יודע כל מה שצריך לדעת על משולש, אבל מי יגיד שאני יודע? כלומר, מישהו בעתיד עשוי להמציא פרספקטיבה שונה בתכלית, שיוביל לדרך הרבה יותר טובה לחשוב על משולש". ואני חושב שהוא צודק. אתה רואה את זה במתמטיקה.
כפי שכתבת במאמר שלך, אתה יכול לחשוב על הוכחה כעל קומפקט חברתי - מעין הסכם הדדי בין המחבר לקהילה המתמטית שלהם. ראינו דוגמה קיצונית לכך שזה לא עובד, עם ההוכחה הנטענת של Mochizuki לכך א ב ג לְשַׁעֵר.
זה קיצוני, כי מוצ'יזוקי לא רצה לשחק את המשחק בצורה שבה הוא משוחק. הוא עשה את הבחירה הזו כדי להיות מעורפל. כשאנשים עושים פריצות דרך גדולות, עם רעיונות חדשים וקשים באמת, אני מרגיש שחובה עליהם לנסות ולכלול אנשים אחרים על ידי הסבר הרעיונות שלהם בצורה נגישה ככל האפשר. והוא היה יותר כמו, ובכן, אם אתה לא רוצה לקרוא את זה כמו שכתבתי את זה, זו לא הבעיה שלי. יש לו את הזכות לשחק את המשחק שהוא רוצה לשחק. אבל זה לא קשור לקהילה. זה לא קשור לדרכים שבהן אנו מתקדמים.
מבוא
אם קיימות הוכחות בהקשר חברתי, איך הן השתנו עם הזמן?
הכל מתחיל באריסטו. הוא אמר שצריכה להיות איזושהי מערכת דדוקטיבית - שאתה יכול להוכיח דברים חדשים רק על ידי ביסוסם על דברים שאתה כבר יודע ובטוח בהם, חזרה ל"הצהרות פרימיטיביות" או אקסיומות מסוימות.
אז השאלה היא: מה הם אותם דברים בסיסיים שאתה יודע שהם נכונים? במשך זמן רב מאוד, אנשים פשוט אמרו, ובכן, קו הוא קו, עיגול הוא עיגול; יש כמה דברים שהם פשוטים ומובנים מאליהם, ואלו צריכות להיות ההנחות שמהן אנחנו מתחילים.
הפרספקטיבה הזו נמשכה לנצח. זה עדיין קיים היום במידה רבה. אבל למערכת האקסיומטית האוקלידית שהתפתחה - "קו הוא קו" - היו בעיות שלה. היו הפרדוקסים האלה שגילה ברטרנד ראסל בהתבסס על הרעיון של קבוצה. יתרה מכך, אפשר לשחק משחקי מילים עם השפה המתמטית, וליצור הצהרות בעייתיות כמו "המשפט הזה הוא שקר" (אם זה נכון, אז זה לא נכון; אם זה לא נכון, אז זה נכון) שהצביעו על בעיות במערכת האקסיומטית.
אז ראסל ואלפרד ווייטהד ניסו ליצור מערכת חדשה של עשיית מתמטיקה שתוכל למנוע את כל הבעיות הללו. אבל זה היה מסובך בצורה מגוחכת, וקשה היה להאמין שאלו היו הפרימיטיבים הנכונים להתחיל מהם. לאף אחד לא היה נוח עם זה. משהו כמו להוכיח 2 + 2 = 4 לקח כמות עצומה של מקום מנקודת ההתחלה. מה הטעם במערכת כזו?
ואז הגיע דיוויד הילברט והיה לו רעיון מדהים: שאולי אנחנו בכלל לא צריכים לספר לאף אחד מה הדבר הנכון להתחיל איתו. במקום זאת, כל דבר שעובד - נקודת התחלה פשוטה, קוהרנטית ועקבית - שווה לחקור. אתה לא יכול להסיק מהאקסיומות שלך שני דברים הסותרים זה את זה, ואתה אמור להיות מסוגל לתאר את רוב המתמטיקה במונחים של האקסיומות שנבחרו. אבל אתה לא צריך לומר אפריורי מה הם.
נראה שגם זה מתאים לדיון הקודם שלנו על אמת אובייקטיבית במתמטיקה. אז בתחילת המאה ה-20, מתמטיקאים הבינו שיכולות להיות ריבוי של מערכות אקסיומטית - שאין להתייחס לסט נתון של אקסיומות כאל אמת אוניברסלית או מובנת מאליה?
ימין. ואני צריך לומר, הילברט לא התחיל לעשות את זה מסיבות מופשטות. הוא התעניין מאוד במושגים שונים של גיאומטריה: גיאומטריה לא אוקלידית. זה היה מאוד שנוי במחלוקת. אנשים בזמנו היו כאילו, אם אתה נותן לי את ההגדרה הזו של קו שמסתובב בפינות של קופסה, למה לעזאזל אני צריך להקשיב לך? והילברט אמר שאם הוא יכול לעשות את זה קוהרנטי ועקבי, כדאי להקשיב, כי ייתכן שזו עוד גיאומטריה שאנחנו צריכים להבין. והשינוי הזה בנקודת המבט - שאתה יכול לאפשר כל מערכת אקסיומטית - לא חל רק על גיאומטריה; זה חל על כל המתמטיקה.
אבל כמובן, חלק מהדברים מועילים יותר מאחרים. אז רובנו עובדים עם אותן 10 אקסיומות, מערכת שנקראת ZFC.
מה שמוביל לשאלה מה ניתן ומה לא ניתן להסיק ממנו. ישנן אמירות, כמו השערת הרצף, שלא ניתן להוכיח באמצעות ZFC. חייבת להיות אקסיומה 11. ואתה יכול לפתור את זה בכל מקרה, כי אתה יכול לבחור את המערכת האקסיומטית שלך. זה די מגניב. אנחנו ממשיכים עם סוג זה של ריבוי. לא ברור מה נכון, מה לא בסדר. לדברי קורט גדל, אנחנו עדיין צריכים לעשות בחירות על סמך טעם, ובתקווה שיהיה לנו טעם טוב. אנחנו צריכים לעשות דברים הגיוניים. ואנחנו כן.
אם כבר מדברים על גדל, גם כאן הוא משחק תפקיד די גדול.
כדי לדון במתמטיקה, אתה צריך שפה ומערכת כללים שיש לפעול לפיה בשפה זו. בשנות ה-1930, גדל הוכיח שלא משנה איך אתה בוחר את השפה שלך, תמיד יש אמירות בשפה הזו שהן נכונות אבל לא ניתן להוכיח אותן מהאקסיומות ההתחלתיות שלך. זה בעצם יותר מסובך מזה, אבל בכל זאת, יש לך את הדילמה הפילוסופית הזאת מיד: מהי אמירה אמיתית אם אתה לא יכול להצדיק אותה? זה מטורף.
אז יש בלגן גדול. אנחנו מוגבלים במה שאנחנו יכולים לעשות.
מתמטיקאים מקצועיים מתעלמים מכך במידה רבה. אנחנו מתמקדים במה שאפשר לעשות. כפי שפיטר סרנק אוהב לומר, "אנחנו אנשים עובדים." אנחנו ממשיכים ומנסים להוכיח מה שאנחנו יכולים.
מבוא
עכשיו, עם השימוש לא רק במחשבים אלא אפילו בבינה מלאכותית, איך הרעיון של הוכחה משתנה?
עברנו למקום אחר, שבו מחשבים יכולים לעשות כמה דברים פראיים. עכשיו אנשים אומרים, הו, יש לנו את המחשב הזה, הוא יכול לעשות דברים שאנשים לא יכולים. אבל האם זה יכול? האם זה באמת יכול לעשות דברים שאנשים לא יכולים? עוד בשנות ה-1950, אלן טיורינג אמר שמחשב נועד לעשות מה שבני אדם יכולים לעשות, רק מהר יותר. לא השתנה הרבה.
במשך עשרות שנים, מתמטיקאים משתמשים במחשבים - כדי לבצע חישובים שיכולים לסייע בהבנתם, למשל. מה שבינה מלאכותית יכולה לעשות זה חדש הוא לאמת את מה שאנו מאמינים שהוא נכון. כמה התפתחויות נהדרות קרו עם אימות הוכחה. כמו [עוזר ההוכחה] Lean, שאפשרה למתמטיקאים לאמת הוכחות רבות, ובמקביל גם עוזרת לכותבים להבין טוב יותר את עבודתם שלהם, מכיוון שהם צריכים לפרק חלק מהרעיונות שלהם לצעדים פשוטים יותר כדי להזין את Lean לצורך אימות.
אבל האם זה חסין תקלות? האם הוכחה היא הוכחה רק כי Lean מסכים שהיא אחת? במובנים מסוימים, זה טוב כמו האנשים שממירים את ההוכחה לתשומות עבור Lean. זה נשמע מאוד כמו איך אנחנו עושים מתמטיקה מסורתית. אז אני לא אומר שאני מאמין שמשהו כמו Lean יעשה הרבה שגיאות. אני פשוט לא בטוח שזה יותר בטוח מרוב הדברים שנעשו על ידי בני אדם.
אני חושש שיש לי הרבה ספקנות לגבי תפקידם של מחשבים. הם יכולים להיות כלי בעל ערך רב להסדרת הדברים - במיוחד לאימות מתמטיקה שנשענת במידה רבה על הגדרות חדשות שלא קל לנתח אותן ממבט ראשון. אין ויכוח שזה מועיל לקבל נקודות מבט חדשות, כלים חדשים וטכנולוגיה חדשה בנשקייה שלנו. אבל מה שאני נרתע ממנו הוא הרעיון שעכשיו יהיו לנו מכונות לוגיות מושלמות שייצרו משפטים נכונים.
אתה צריך להכיר בכך שאנחנו לא יכולים להיות בטוחים שהדברים נכונים עם מחשבים. העתיד שלנו צריך להסתמך על תחושת הקהילה שעליה הסתמכנו לאורך ההיסטוריה של המדע: שאנחנו מקפיצים דברים אחד מהשני. שנדבר עם אנשים שמסתכלים על אותו דבר מנקודת מבט אחרת לגמרי. וכולי.
עם זאת, לאן אתה רואה את זה ילך בעתיד, ככל שהטכנולוגיות הללו משתכללות?
אולי זה יכול לעזור ביצירת הוכחה. אולי בעוד חמש שנים, אני אגיד למודל AI כמו ChatGPT, "אני די בטוח שראיתי את זה איפשהו. האם תבדוק את זה?" וזה יחזור עם אמירה דומה שהיא נכונה.
ואז ברגע שזה נהיה מאוד מאוד טוב בזה, אולי אתה יכול ללכת צעד אחד קדימה ולהגיד, "אני לא יודע איך לעשות את זה, אבל האם יש מישהו שעשה משהו כזה?" אולי בסופו של דבר מודל בינה מלאכותית יוכל למצוא דרכים מיומנות לחפש בספרות כדי להביא כלים לשימוש במקומות אחרים - באופן שמתמטיקאי עלול לא לצפות מראש.
עם זאת, אני לא מבין איך ChatGPT יכול ללכת מעבר לרמה מסוימת כדי לעשות הוכחות בצורה שעולה עלינו. ChatGPT ותוכניות למידת מכונה אחרות לא חושבות. הם משתמשים באסוציאציות מילים המבוססות על דוגמאות רבות. אז נראה שלא סביר שהם יתעלו על נתוני האימונים שלהם. אבל אם זה היה קורה, מה יעשו מתמטיקאים? כל כך הרבה ממה שאנחנו עושים הוא הוכחה. אם תיקח מאיתנו הוכחות, אני לא בטוח למי נהיה.
בלי קשר, כשאנחנו חושבים לאן אנחנו הולכים לקחת סיוע במחשב, אנחנו צריכים לקחת בחשבון את כל הלקחים שלמדנו מהמאמץ האנושי: החשיבות של שימוש בשפות שונות, עבודה משותפת, נשיאת נקודות מבט שונות. יש חוסן, בריאות, באופן שבו קהילות שונות מתחברות כדי לעבוד ולהבין הוכחה. אם יהיה לנו סיוע ממוחשב במתמטיקה, אנחנו צריכים להעשיר אותו באותו אופן.
- הפצת תוכן ויחסי ציבור מופעל על ידי SEO. קבל הגברה היום.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. העצים את עצמך. גישה כאן.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. הידע מוגבר. גישה כאן.
- PlatoESG. רכב / רכבים חשמליים, פחמן, קלינטק, אנרגיה, סביבה, שמש, ניהול פסולת. גישה כאן.
- PlatoHealth. מודיעין ביוטכנולוגיה וניסויים קליניים. גישה כאן.
- ChartPrime. הרם את משחק המסחר שלך עם ChartPrime. גישה כאן.
- BlockOffsets. מודרניזציה של בעלות על קיזוז סביבתי. גישה כאן.
- מקור: https://www.quantamagazine.org/why-mathematical-proof-is-a-social-compact-20230831/
- :יש ל
- :הוא
- :לֹא
- :איפה
- ][עמ'
- $ למעלה
- 10
- 14
- 15%
- 16
- 2012
- 2019
- 500
- 70
- 95%
- a
- יכול
- אודות
- תקציר
- מקובל
- נגיש
- פי
- חֶשְׁבּוֹן
- הודה
- למעשה
- תוספת
- הַרפַּתקָה
- חושש
- לאחר
- גיל
- הסכם
- AI
- אלן
- אלן טיורינג
- תעשיות
- להתיר
- מותר
- לבד
- לאורך
- כְּבָר
- גם
- תמיד
- מדהים
- אמזון בעברית
- אֲמֶרִיקָאִי
- כמות
- an
- לנתח
- ו
- אחר
- כל
- כל אחד
- דבר
- נראה
- יישומית
- החל
- ארכיון
- ARE
- AREA
- טענה
- סביב
- מאמרים
- מלאכותי
- בינה מלאכותית
- AS
- לעזור
- סיוע
- עוזר
- עמותות
- הנחות
- At
- קהל מאזינים
- מחבר
- מחבר
- מחברים
- לְהִמָנַע
- רָחוֹק
- בחזרה
- מבוסס
- בסיסי
- בסיס
- BE
- דוב
- כי
- להיות
- היה
- להיות
- תאמינו
- ברטרנד
- הטוב ביותר
- מוטב
- בֵּין
- מעבר
- גָדוֹל
- נולד
- לקפוץ
- אריזה מקורית
- לשבור
- פריצות דרך
- להביא
- אבל
- by
- חישובים
- נקרא
- קיימברידג'
- הגיע
- CAN
- קנדה
- לא יכול
- קריירה
- , קרל
- נושאת
- מאה
- מסוים
- שינוי
- השתנה
- משתנה
- לאפיין
- ChatGPT
- לבדוק
- בחירה
- בחירות
- בחרו
- נבחר
- מעגל
- נתבע
- בהירות
- ברור
- בבירור
- קוהרנטי
- אוסף
- מִכלָלָה
- איך
- נוח
- הקהילות
- קהילה
- קומפקטי
- חברה
- להשלים
- לחלוטין
- מסובך
- המחשב
- מחשבים
- מושג
- מושגים
- השערה
- לשקול
- נחשב
- עִקבִי
- לבנות
- הקשר
- להמשיך
- Continuum
- שנוי במחלוקת
- להמיר
- קריר
- פינות
- לתקן
- יכול
- קורס
- משוגע
- לִיצוֹר
- יוצרים
- יצור
- תַרְבּוּת
- נוֹכְחִי
- סכנות
- נתונים
- דוד
- דיון
- עשרות שנים
- להחליט
- הגדרה
- הגדרות
- תואר
- מדגים
- תלוי
- לתאר
- מעוצב
- שולחן כתיבה
- מפותח
- התפתחויות
- DID
- אחר
- קשה
- גילה
- לדון
- נָדוֹן
- דיון
- מחולק
- do
- עושה
- לא
- עושה
- עשה
- לא
- דֶלֶת
- מטה
- בְּמַהֲלָך
- כל אחד
- מוקדם יותר
- מוקדם
- כדור הארץ
- בקלות
- קל
- או
- אחר
- במקום אחר
- סוף
- מאמץ
- להעשיר
- משוואות
- תקופה
- שגיאות
- למעשה
- אֲפִילוּ
- בסופו של דבר
- הכל
- להתפתח
- דוגמה
- דוגמאות
- להתקיים
- מצפה
- ניסיוני
- המסביר
- היכרות
- ביטא
- קיצוני
- נכשל
- הוגן
- שקר
- מוכר
- מפורסם
- מהר יותר
- להרגיש
- מעטים
- סרט צילום
- ראשון
- מתאים
- חמש
- להתמקד
- לעקוב
- בעד
- לַחֲזוֹת
- לנצח
- מצא
- החל מ-
- פונקציה
- יסודי
- מימון
- נוסף
- עתיד
- לְהַשִׂיג
- מִשְׂחָק
- משחקים
- פער
- בדרך כלל
- לקבל
- מקבל
- לתת
- נתן
- Go
- Goes
- הולך
- טוב
- גדול
- קרקע
- מדריך
- היה
- לקרות
- קרה
- קשה
- יש
- he
- בְּרִיאוּת
- בִּכְבֵדוּת
- לעזור
- מועיל
- עזרה
- כאן
- גָבוֹהַ
- שֶׁלוֹ
- היסטוריה
- לקוות
- אני מקווה
- איך
- איך
- HTTPS
- בן אנוש
- בני אדם
- i
- חולה
- רעיון
- רעיונות
- if
- מיד
- חשיבות
- חשוב
- בלתי אפשרי
- in
- תקרית
- לכלול
- מוּטָל
- באופן עצמאי
- הצביע
- בהתחלה
- תשומות
- למשל
- במקום
- ביטוח
- מוֹדִיעִין
- מעוניין
- מעניין
- ראיון אישי
- אל תוך
- הציג
- בדוי
- מעורב
- בעיות
- IT
- שֶׁלָה
- ג'ניפר
- עבודה
- רק
- רק אחד
- מפתח
- לדעת
- ידוע
- קורט
- שפה
- שפות
- גָדוֹל
- במידה רבה
- אחרון
- מאוחר יותר
- מוביל
- מוביל
- לִלמוֹד
- למד
- למידה
- עזבו
- שיעורים
- רמה
- כמו
- אוהב
- מוגבל
- קו
- ספרות
- הגיון
- הגיוני
- לונדון
- ארוך
- הרבה זמן
- נראה
- נראה כמו
- נראה
- מגרש
- אהבתי
- מכונה
- למידת מכונה
- מכונה
- עשוי
- מגזין
- קסם
- ראשי
- גדול
- לעשות
- עשייה
- רב
- סנונית
- מאסטר
- מתמטיקה
- מתימטי
- מתימטיקה
- דבר
- מאי..
- אולי
- me
- אומר
- משמעות
- אומר
- מדיה
- יכול
- תפיסות מוטעות
- מודל
- מודרני
- חוֹדֶשׁ
- יותר
- יתר על כן
- רוב
- בעיקר
- אמא
- נִרגָשׁ
- סרט
- הרבה
- צריך
- הדדי
- my
- טבע
- כמעט
- צורך
- צרכי
- לעולם לא
- חדש
- ניוטון
- הבא
- לא
- הערות
- שום דבר
- רעיון
- רומן
- עַכשָׁיו
- מספר
- מספרים
- מטרה
- באופן אובייקטיבי
- אובייקטים
- ברור
- of
- כבוי
- לעתים קרובות
- oh
- זקן
- on
- פעם
- ONE
- רק
- לפתוח
- or
- אחר
- אחרים
- שלנו
- הַחוּצָה
- בחוץ
- מתעלה
- יותר
- שֶׁלוֹ
- דפים
- מאמר
- ניירות
- פרדיגמה
- מסוים
- במיוחד
- חלקים
- אֲנָשִׁים
- אוּלַי
- פרספקטיבה
- נקודות מבט
- פיטר
- פילוסופיה
- PHP
- מקום
- תכנון
- אפלטון
- מודיעין אפלטון
- אפלטון נתונים
- לְשַׂחֵק
- שיחק
- משחק
- נקודה
- פופולרי
- אפשרי
- תרגול
- יפה
- ראשוני
- כנראה
- בעיה
- בעיות
- תהליך
- לייצר
- תוכניות
- התקדמות
- פּרוֹיֶקט
- הוכחה
- הוכחות
- להוכיח
- הוכיח
- לפרסם
- לאור
- דוחף
- גם
- קוונטמגזין
- לחקור
- שאלה
- לצטט
- באופן קיצוני
- מעלה
- לעתים רחוקות
- חומר עיוני
- קורא
- מימוש
- בֶּאֱמֶת
- סיבות
- לאחרונה
- קָשׁוּר
- קשר
- לסמוך
- מחקר
- לַחֲזוֹר
- תקין
- קַפְּדָנִי
- איתנות
- תפקיד
- כללי
- אמר
- אותו
- ראה
- לומר
- אמר
- אומר
- בית ספר
- מדע
- מדעי
- מדענים
- לגרד
- חיפוש
- לבטח
- לִרְאוֹת
- מחפשים
- נראה
- נראה
- לראות
- נבחר
- תחושה
- סדרה
- סט
- צריך
- ביישן
- מראה
- דומה
- פָּשׁוּט
- פשוט יותר
- בפשטות
- since
- אחות
- לשבת
- ספקנות
- מיומן
- So
- חֶברָתִי
- חֶברָה
- כמה
- משהו
- אי שם
- מתוחכם
- מֶרחָב
- שלבים
- תקנים
- התחלה
- החל
- החל
- התחלות
- הצהרה
- הצהרות
- שלב
- צעדים
- עוד
- מַאֲבָק
- נאבק
- מְחוֹשָׁב
- נושא
- כזה
- בטוח
- מערכת
- מערכות
- לקחת
- משימות
- נטילת
- לדבר
- מפתחות
- טכנולוגיות
- טכנולוגיה
- מונחים
- מֵאֲשֶׁר
- זֶה
- השמיים
- העתיד
- שֶׁלָהֶם
- אותם
- אז
- התאוריה
- שם.
- אלה
- הֵם
- דבר
- דברים
- לחשוב
- הוגה
- חושב
- זֶה
- אלה
- אם כי?
- מחשבה
- דרך
- בכל
- זמן
- ל
- היום
- של היום
- יַחַד
- גַם
- לקח
- כלי
- כלים
- לקראת
- מסורתי
- הדרכה
- ניסיתי
- נָכוֹן
- אמת
- לנסות
- טיורינג
- תור
- שתיים
- בדרך כלל
- האולטימטיבי
- להבין
- הבנה
- הבין
- חדקרן
- אוניברסלי
- אוניברסיטה
- אוניברסיטת קמברידג
- לא סביר
- us
- להשתמש
- מְשׁוּמָשׁ
- באמצעות
- בעל ערך
- Vast
- אימות
- לאמת
- אימות
- מאוד
- רוצה
- רציתי
- רוצה
- היה
- דֶרֶך..
- דרכים
- we
- webp
- טוֹב
- הלכתי
- היו
- מה
- מה
- מתי
- אשר
- בזמן
- מי
- למה
- בר
- יצטרך
- עם
- Word
- מילים
- תיק עבודות
- עבד
- עובד
- עובד
- ראוי
- היה
- לכתוב
- סופר
- כתיבה
- טעות
- כתב
- שנה
- שנים
- אתה
- עצמך
- זפירנט
- אפס
- זיטה