針の上にある推測の塔 | クアンタマガジン

数学では、単純な問題が見た目と異なることがよくあります。 この夏の初め、 クアンタ そのような問題の XNUMX つについて報告されました: 無限に細い針をあらゆる方向に回転させながら掃き出すことができる最小の面積はどれくらいですか? ダイヤルのように中心を中心に回転させると、円が得られます。 しかし、もっと賢く回転させれば、任意の小さなスペースをカバーすることができます。 針を XNUMX 回の連続動作で動かす必要がなく、代わりに針をあらゆる方向に置くだけの場合は、領域をまったくカバーしない針の配置を構築できます。

数学者はこれらの配置をカケヤ集合と呼びます。 彼らは、そのようなセットが面積 (針を XNUMX 次元以上に配置する場合は体積) の点で小さくなる可能性があることを知っていますが、そのサイズがハウスドルフと呼ばれる測定基準で測定される場合、セットは常に大きくなければならないと信じています。寸法。

数学者たちは、掛谷予想として知られるこの命題をまだ証明していません。 しかし、表向きは針に関する単純な質問ですが、「これらの Kakeya セットの幾何学形状は、偏微分方程式、調和解析、その他の分野における豊富な疑問の裏付けとなっています」と同氏は述べています。 ジョナサン・ヒックマン エディンバラ大学の博士。

掛谷予想は、調和解析における XNUMX つの中心的な問題の階層の基礎にあります。調和解析は、規則的に振動する正弦波のような周期関数の合計として関数をどのように表現できるかを研究する数学の分野です。

その階層の次のステップは「制限」予想です。 それが本当であれば、掛谷予想も当てはまります。 (これは、掛谷予想が偽であることが判明した場合、制限予想が真であるはずがないことも意味します。) 制限予想は、いわゆるボホナー・リース予想によって暗示されます。 そして最上部には局所平滑化予想があります。

最初の XNUMX つの予想は、フーリエ変換の動作を扱います。フーリエ変換は、事実上、ほぼすべての関数を正弦波の合計として表現する方法を計算するための調和解析の手法です。 これは、物理学者やエンジニアが利用できる最も強力な数学ツールの XNUMX つです。 フーリエ変換は、微分方程式を解き、ハイゼンベルグの不確定性原理などの量子力学的アイデアを表現し、信号を分析および処理する際に基本的な役割を果たし、現代の携帯電話のようなものを可能にしました。

階層内の各ステートメントはその下のステートメントを暗示しているため、Kakeya 予想が偽であれば、他の予想はいずれも真ではありません。 塔全体が崩れ落ちます。 「多くの推測を打ち破る、スーパーモンスターの反例を作り出すことができます」とヒックマン氏は言う。

一方で、掛谷予想が真実であると証明しても、自動的に他の予想が真実であることを意味するわけではありませんが、数学者に今後の進め方について重要な洞察を与えることになるでしょう。

そのため、「私が知っている高調波解析コミュニティのほぼ半数が、この問題と関連する問題に取り組んでいるか、ある時点で取り組んでいることがある」と述べました。 郭暁明 ウィスコンシン大学マディソン校の博士号を取得。

さらに最近では、驚いたことに、数学者たちは、これらの問題に取り組むために開発した手法が、一見無関係な数論の分野で重要な結果を証明するためにも使用できることを発見しました。 「これは人々が考えていたよりもはるかに一般的な現象です」と郭氏は言う。

レイヤーケーキ

物語はフーリエ変換から始まります。 「[関数を] 小さな部分に分解し、それらの相互作用を分析し、それらを再び加算したいと考えます」と彼は言いました。 王夢夢 ペンシルベニア大学の博士。 XNUMX 次元関数 (紙の上にプロットできる曲線) の場合、一部の関数のみを使用してフーリエ変換を逆変換する必要がある場合でも、数学者はその方法をよく理解しています。

しかし、XNUMX 次元以上の場合は、事態が複雑になる可能性があります。

1971年には、 チャーリー・フェファーマンプリンストン大学の数学者は、カケヤ集合を使用して、フーリエ変換を逆にすると、多次元で奇妙で驚くべき結果が得られることを実証する方法を発見しました。

数学者は、ボホナー・リース予想の形で修正を発見しました。この予想は、基本的に、フェファーマンの例のように破綻せずに元の関数を回復するためのより洗練された方法があると述べています。 しかし、その修正は掛谷予想の真実性にかかっていた。

それが本当なら、「周波数を切り詰めても小さな誤差が生じるだけだろう」と彼は言う。 ベッツィー・ストーバル ウィスコンシン大学マディソン校の博士号を取得。 「つまり、小さなエラーが爆発しないということです。」

こうして階層構造が始まりました。 その後、数学者たちは別の重要な関連性を発見しました。それが真実であれば、ボホナー・リース予想は制限予想と呼ばれるステートメントも暗示していることになります。 この推測は、フーリエ変換の制限されたバージョン (注目する値を特定の表面上に存在する値のみに「制限」する) で開始した場合でも、元の関数に関する重要な情報が得られる可能性があることを示しています。 そして、制限予想が真実であれば、掛谷予想も真実であることが判明しました。 (これにより、タワー内でカケヤとボホナー・リースの間の制限予想が設定されました。)

局所平滑化予想と呼ばれるこの階層の最大の問題は、フーリエ変換を直接扱うのではなく、波の挙動を記述する方程式の解のサイズに制限を設けるものです。

これは、Kakeya セットの線の幾何学という観点から考えることもできます。 波動方程式の一般的な解を、さまざまな方向に移動し、時間の経過とともにさまざまな方法で相互作用する多数の部分に分割できます。 これらの各ピースは、数学的には掛屋セットの針に似ています。 Kakeya 予想は、そのような構成があまりにも多くの重複を含むことはできないと主張します。 この物理的なコンテキストでは、重複は、ソリューションにおける不規則で予期しない動作の持続に対応します。 たとえば、音波はさまざまな時間にさまざまな領域で増幅する可能性があります。

局所平滑化予想では、そのような不規則性は平均化されるはずだと述べています。 「それは金融市場の平均をとるようなものです」と彼は言いました。 チプリアン・デメテル インディアナ大学ブルーミントン校の博士号を取得。 「あちこちで暴落が起きる可能性はあるが、お金を投資して40年後に引退すれば、良い投資が得られる可能性は十分にある。」

しかし、階層内のすべての推測と同様に、それはカケヤ予想の真実性に依存します。 「その考え方は、Kakeya セットの多くの交差を除外すれば、ソリューションの一部が共謀して何らかの爆発を引き起こす状況を除外できることを意味します」とストーヴァル氏は語った。

この予想は、数ある予想の中で最も難しいものです。カケヤ問題、制限問題、ボホナー・リーズ問題の XNUMX 次元の場合は数十年前に解決されましたが、XNUMX 次元の局所平滑化予想は数年前に証明されたばかりです。 (高次元では、これらすべての問題は未解決のままです。)

しかし、局所平滑化予想の証明の進歩は遅いにもかかわらず、その取り組みは他の場所で大きな進歩をもたらしました。 1999 年、数学者のトーマス ウルフは、この予想に取り組もうとしているときに、デカップリングとして知られる手法を導入しました。 それ以来、このテクニックは独自の存在となり、調波解析だけでなく、数論、幾何学、その他の分野でも大きな進歩を遂げるために使用されてきました。 「デカップリングの結果を使用すると、非常に有名で重要な問題で世界記録を達成できるようになりました」と彼は言いました。 クリストファー・ソッゲ ジョンズ・ホプキンス大学の教授であり、1990 年代に局所平滑化予想を初めて定式化しました。 たとえば、デカップリングは、整数が二乗和、立方体和、またはその他のべき乗として何通り表現できるかを数えるために使用されてきました。

デメテルが言ったように、このような結果が可能になるのは、「数字を波として見ることができる」からです。 これらすべての問題がカケヤ製針セットに関係しているということは「興味深い」と彼は付け加えた。 「線分を使って定式化できるものの中に、これほど多くの美しさ、難しさ、重要性が隠されているとは思いません。」