概要
アルゴリズムは至る所に普及しました。 彼らは私たちの通勤を最適化し、支払いを処理し、インターネット トラフィックの流れを調整します。 正確な数学用語で表現できるすべての問題には、少なくとも原理的にはそれを解決できるアルゴリズムがあるようです。
しかし、そうではありません。一見単純に見える問題の中には、アルゴリズム的に解決できないものもあります。 先駆的なコンピューター科学者アラン・チューリング 証明 このような「計算不可能な」問題の存在は、ほぼ XNUMX 世紀前に彼が定式化した同じ論文の中で述べられています。 計算の数学モデル それが現代のコンピューターサイエンスを立ち上げました。
チューリングは、直観に反する戦略を使用して、この画期的な結果を証明しました。彼は、それを解決しようとするすべての試みを単に拒否する問題を定義しました。
「何をしているのかと尋ねると、『いいえ、違うことをするつもりです』と答えます」と彼は言った。 ラーフル・イランゴ, マサチューセッツ工科大学で理論コンピューターサイエンスを研究している大学院生。
チューリングの戦略は、優れた歴史を持つ対角化と呼ばれる数学的手法に基づいていました。 ここでは、彼の証明の背後にあるロジックを簡略化して説明します。
ひも理論
対角化は、それぞれ 0 または 1 のビット列を含む日常的な問題を解決するための賢いトリックから生まれました。そのような文字列のリストがすべて同じ長さであるとすると、リストにない新しい文字列を生成できますか?リスト?
最も簡単な戦略は、考えられる文字列を順番に検討することです。 それぞれ 00000 ビット長の 00001 つの文字列があるとします。 まず、リストをスキャンして XNUMX を探します。見つからない場合は、停止しても構いません。 そうである場合は、XNUMX に進み、プロセスを繰り返します。 これは非常に簡単ですが、長い文字列の長いリストの場合は遅くなります。
対角化は、欠落している文字列を少しずつ構築する代替アプローチです。 リストの最初の文字列の最初のビットから始めて、それを反転します。これが新しい文字列の最初のビットになります。 次に、XNUMX 番目の文字列の XNUMX 番目のビットを反転し、それを新しい文字列の XNUMX 番目のビットとして使用し、リストの最後に到達するまで繰り返します。 ビットを反転することで、新しい文字列が元のリストのすべての文字列と少なくとも XNUMX か所異なることが保証されます。 (また、文字列のリストを通る対角線を形成するため、このテクニックに名前が付けられています。)
対角化では、リスト上の各文字列から XNUMX ビットを調べるだけで済むため、多くの場合、他の方法よりもはるかに高速です。 しかし、その真の力は、無限をいかにうまく扱うかにあります。
「文字列を無限にできるようになりました。 リストは無限になる可能性がありますが、それでも機能します」と述べました。 ライアン·ウィリアムズ、MITの理論コンピューター科学者。
この力を最初に利用したのは、集合論という数学的サブフィールドの創始者であるゲオルク カントールでした。 1873 年、カントールは対角化を使用して、いくつかの無限が 他よりも大きい。 XNUMX 年後、チューリングはカントールの対角化バージョンを計算理論に適応させ、それに明確な逆張りの風味を与えました。
リミットゲーム
チューリングは、どのアルゴリズムも解決できない数学的問題、つまり、入力と出力が明確に定義されているが、入力から出力に到達する確実な手順がない問題の存在を証明したいと考えました。 彼は、入力が 0 と 1 の任意の文字列で、出力が 0 または 1 になる決定問題にのみ焦点を当てることで、この漠然としたタスクを管理しやすくしました。
数値が素数 (1 とそれ自身でのみ割り切れる) かどうかを判断することは、決定問題の一例です。数値を表す入力文字列が与えられた場合、その数値が素数であれば正しい出力は 1、素数でない場合は 0 になります。 別の例は、コンピューター プログラムの構文エラー (文法上の間違いに相当) をチェックすることです。 そこでは、入力文字列はさまざまなプログラムのコードを表します。すべてのプログラムは、コンピューター上でこのように保存および実行されるため、この方法で表すことができます。そして、目標は、コードに構文エラーが含まれている場合は 1 を出力し、構文エラーが含まれていない場合は 0 を出力することです。 t.
アルゴリズムは、考えられるすべての入力に対して正しい出力を生成する場合にのみ問題を解決します。アルゴリズムが一度でも失敗した場合、その問題に対する汎用アルゴリズムではありません。 通常は、まず解決したい問題を指定してから、それを解決するアルゴリズムを見つけようとします。 チューリングは、解決不可能な問題を求めて、この論理をひっくり返しました。彼は、考えられるすべてのアルゴリズムの無限のリストを想像し、対角化を使用して、リスト上のすべてのアルゴリズムを阻止する頑固な問題を構築しました。
20 の質問からなる八百長のゲームを想像してみてください。このゲームでは、回答者は特定の目的を念頭に置いて開始するのではなく、各質問にノーと言う言い訳を考え出します。 ゲームの終わりまでに、彼らはオブジェクトがそのオブジェクトに欠けている性質によって完全に定義されることを説明しました。
チューリングの対角化証明は、このゲームのバージョンで、考えられるアルゴリズムの無限のリストを調べて、「このアルゴリズムは計算不可能であることを証明したい問題を解決できますか?」と繰り返し尋ねます。
「それは一種の『無限の質問』です」とウィリアムズ氏は言う。
ゲームに勝つために、チューリングは、すべてのアルゴリズムに対して答えがノーとなる問題を作成する必要がありました。 これは、最初のアルゴリズムが間違った答えを出力する特定の入力、XNUMX 番目のアルゴリズムを失敗させる別の入力などを特定することを意味します。 彼は、クルト・ゲーデルが最近使用したものと同様のトリックを使用して、これらの特別な入力を見つけました。 証拠 「この命題は証明できない」といった自己言及的な主張は、数学の基礎に問題を引き起こすという。
重要な洞察は、すべてのアルゴリズム (またはプログラム) は 0 と 1 の文字列として表現できるということでした。 これは、エラーチェック プログラムの例のように、アルゴリズムが別のアルゴリズムのコードを入力として受け取ることができることを意味します。 原則として、アルゴリズムは独自のコードを入力として受け取ることもできます。
この洞察があれば、チューリングの証明にあるような計算不可能な問題を定義できます。「アルゴリズムのコードを表す入力文字列が与えられると、そのアルゴリズム自体のコードが入力であるときにそのアルゴリズムが 1 を出力する場合は 0 を出力し、そうでない場合は 0 を出力します。」 それ以外の場合は XNUMX を出力します。」 この問題を解決しようとするすべてのアルゴリズムは、少なくとも XNUMX つの入力、つまり、独自のコードに対応する入力に対して間違った出力を生成します。 つまり、このひねくれた問題はいかなるアルゴリズムでも解決できないということです。
否定でできないこと
コンピューター科学者はまだ対角化を完了していませんでした。 1965 年、ジュリス・ハートマニスとリチャード・スターンズはチューリングの議論を次のように改変しました。 証拠 すべての計算可能な問題が同じように作成されるわけではなく、本質的に難しい問題もあるということです。 その結果は、計算問題の難しさを研究する計算複雑性理論の分野を立ち上げました。
しかし、複雑性理論はチューリングの逆の方法の限界も明らかにしました。 1975年、セオドア・ベイカー、ジョン・ギル、ロバート・ソロベイ 証明 複雑性理論における多くの未解決の問題は、対角化だけでは決して解決できないということです。 これらの中で最も重要なのは、有名な P 対 NP 問題です。この問題では、簡単にチェックできる解決策を持つすべての問題は、適切な独創的なアルゴリズムを使用すれば簡単に解決できるかどうかが問われます。
対角化の盲点は、対角化を非常に強力にする高度な抽象化の直接的な結果です。 チューリングの証明には、実際に発生する可能性のある計算不可能な問題は含まれていませんでした。代わりに、そのような問題をその場ででっち上げました。 他の対角化証明も同様に現実世界からかけ離れているため、現実世界の詳細が重要な問題を解決できません。
「彼らは離れた場所で計算を処理します」とウィリアムズ氏は言う。 「ウイルスを扱っていて、グローブ ボックスからウイルスにアクセスしている人を想像します。」
対角化の失敗は、P 対 NP の問題を解決するには、 長い旅。 しかし、その制限にもかかわらず、対角化は依然として複雑さ理論家の武器の重要なツールの 2011 つです。 XNUMX 年、ウィリアムズはこれを他の多数のテクニックと併用して、 証拠 特定の制限された計算モデルでは、非常に難しい問題を解決できないということです。この結果は、25 年間研究者が知ることができませんでした。 P 対 NP の解決には程遠いですが、それでも大きな進歩を示しました。
何かが不可能であることを証明したい場合は、ノーと言うだけの力を過小評価しないでください。
- SEO を活用したコンテンツと PR 配信。 今日増幅されます。
- PlatoData.Network 垂直生成 Ai。 自分自身に力を与えましょう。 こちらからアクセスしてください。
- プラトアイストリーム。 Web3 インテリジェンス。 知識増幅。 こちらからアクセスしてください。
- プラトンESG。 自動車/EV、 カーボン、 クリーンテック、 エネルギー、 環境、 太陽、 廃棄物管理。 こちらからアクセスしてください。
- プラトンヘルス。 バイオテクノロジーと臨床試験のインテリジェンス。 こちらからアクセスしてください。
- チャートプライム。 ChartPrime でトレーディング ゲームをレベルアップしましょう。 こちらからアクセスしてください。
- ブロックオフセット。 環境オフセット所有権の近代化。 こちらからアクセスしてください。
- 情報源: https://www.quantamagazine.org/alan-turing-and-the-power-of-negative-thinking-20230905/
- :持っている
- :は
- :not
- :どこ
- ][p
- $UP
- 1
- 20
- 2011
- 25
- a
- 抽象化
- 前
- アラン
- アラン·チューリング
- アルゴリズム
- アルゴリズム的に
- アルゴリズム
- すべて
- 一人で
- また
- 間で
- an
- および
- 別の
- 回答
- どれか
- アプローチ
- です
- 引数
- 発生します
- アーセナル
- AS
- 頼む
- At
- ベイカー
- ベース
- BE
- になる
- 背後に
- ビット
- ボックス
- 構築します
- 焙煎が極度に未発達や過発達のコーヒーにて、クロロゲン酸の味わいへの影響は強くなり、金属を思わせる味わいと乾いたマウスフィールを感じさせます。
- by
- 呼ばれます
- ケンブリッジ
- 缶
- 場合
- 世紀
- 一定
- 点検
- チーフ
- コード
- 複雑さ
- 計算
- コンピュータ
- コンピュータサイエンス
- コンピューター
- 検討
- 構築する
- 含まれています
- 逆に
- 調整する
- 正しい
- 対応する
- クラフト
- 作成した
- 取引
- 数十年
- 決定
- 定義します
- 定義済みの
- 記載された
- にもかかわらず
- 細部
- 異なります
- 難しさ
- 直接
- 距離
- 優れました
- do
- そうではありません
- すること
- ドント
- 各
- 早い
- 簡単に
- 簡単に
- どちら
- end
- 十分な
- 確保
- 完全に
- 等しい
- 平等に
- 同等の
- エラー
- エラー
- さらに
- あらゆる
- 調べる
- 例
- 排他的に
- 実行された
- 存在
- 並外れて
- フェイル
- 失敗
- 不良解析
- 有名な
- 遠く
- ファークライ
- 速いです
- フィールド
- もう完成させ、ワークスペースに掲示しましたか?
- 名
- 五
- フリップ
- フロー
- 焦点
- フォーム
- 発見
- 財団
- AIとMoku
- から
- ゲーム
- 一般的用途
- 生成する
- 取得する
- 受け
- 与えられた
- 与え
- 目標
- 行く
- 卒業生
- 画期的な
- ガイ
- 持っていました
- ハンドル
- ハード
- もっと強く
- ハーネス
- 持ってる
- he
- ハイ
- 彼の
- history
- 認定条件
- HTTPS
- i
- 識別
- IEEE
- if
- 絵
- 想像
- in
- 表示
- 無限
- 無限大
- 入力
- 洞察力
- を取得する必要がある者
- 機関
- インターネット
- 本質的に
- 巻き込む
- IT
- ITS
- 自体
- John Redfern
- ただ
- キー
- クルト
- 後で
- 打ち上げ
- 最低
- レベル
- ある
- ような
- 制限
- 制限
- 制限
- LINE
- リスト
- リスト
- ロジック
- 長い
- 製
- マガジン
- 主要な
- 作る
- 扱いやすいです
- 多くの
- マサチューセッツ州
- マサチューセッツ工科大学
- 数学的
- 数学
- 問題
- 手段
- 意味した
- 方法
- メソッド
- かもしれない
- マインド
- 行方不明
- ミス
- マサチューセッツ工科大学(MIT)
- モダン
- 他には?
- 最も
- ずっと
- 名
- すなわち
- ほぼ
- 必要とされる
- ニーズ
- 負
- 決して
- 新作
- いいえ
- 今
- 数
- オブジェクト
- of
- 頻繁に
- on
- かつて
- ONE
- の
- 開いた
- 最適化
- or
- オリジナル
- その他
- その他
- さもないと
- 私たちの
- 出力
- 自分の
- 紙素材
- 特定の
- 支払い
- 人
- 先駆者
- 場所
- プラトン
- プラトンデータインテリジェンス
- プラトデータ
- 演劇
- 可能
- 電力
- 強力な
- 練習
- 正確な
- 素数
- 原則
- 問題
- 問題
- 手続き
- プロセス
- 作り出す
- 生産する
- 演奏曲目
- プログラム
- 進捗
- 証明
- 証拠
- 受験する
- 証明
- 資質
- クアンタマガジン
- 質問
- 質問
- むしろ
- リアル
- 現実の世界
- 最近
- 残っている
- 繰り返す
- 繰り返し
- 表す
- で表さ
- 表します
- 研究者
- 解決
- 解決中
- 制限されました
- 結果
- 明らかに
- リチャード
- 装備
- 右
- ROBERT
- ラン
- 前記
- 同じ
- 言う
- 格言
- スキャニング
- 科学
- 科学者
- 科学者たち
- を検索
- 二番
- 一見
- と思われる
- セッションに
- シャム
- 同様の
- 同様に
- 簡単な拡張で
- 簡略化されました
- 単に
- から
- SIX
- 遅く
- So
- ソリューション
- 解決する
- 解決する
- 解決
- 一部
- 何か
- 特別
- 斑
- start
- 起動
- ステートメント
- 茎
- まだ
- Force Stop
- 保存され
- 簡単な
- 戦略
- 文字列
- 学生
- 研究
- 勉強
- そのような
- 構文
- 取る
- 仕事
- テクニック
- テクノロジー
- 条件
- より
- それ
- それら
- その後
- 理論的な
- 理論
- そこ。
- ボーマン
- 彼ら
- 考え
- この
- それらの
- 介して
- 阻止する
- 〜へ
- 一緒に
- 豊富なツール群
- トラフィック
- トラブル
- true
- 試します
- チューリング
- 順番
- オン
- 遍在する
- まで
- つかいます
- 中古
- バージョン
- 対
- ウイルス
- 欲しいです
- wanted
- ました
- 仕方..
- we
- webp
- WELL
- 明確な
- この試験は
- いつ
- かどうか
- which
- 誰
- 意志
- ウィリアムズ
- win
- 作品
- 世界
- でしょう
- 間違った
- 年
- まだ
- You
- あなたの
- ゼファーネット