古い推測が崩れ、球体がさらに複雑になる | クアンタマガジン

XNUMX月初旬、数学者たちがロンドンのヒースロー空港に着陸すると話題が広がった。 彼らの目的地はオックスフォード大学でした。 会議 の65歳の誕生日を記念して マイケル・ホプキンスハーバード大学の数学者であり、多くの参加者の指導者としての役割を果たしてきました。

ホプキンスは 1980 年代後半に、次の XNUMX つの推測に関する研究で名を馳せました。 ダグ・ラベネル ロチェスター大学の博士らは XNUMX 年前に策定していました。 彼らは、異なって見えるかもしれない XNUMX つの形状または空間が実際には同じであるかどうかを判断する技術に関係していました。 ホプキンスと彼の共同研究者は、望遠鏡予想と呼ばれる、思わせぶりだが謎めいた名前を持つ問題の XNUMX つを除いて、ラベネルの予想をすべて証明しました。

その時点で、ホプキンスはラベネルの予想に関する研究を休止した。 その後何十年もの間、望遠鏡の予想を解決することはほぼ不可能であるように思われました。

「そのような定理には触れられません」とホプキンス氏は言う。

しかし、数学者たちがロンドンに到着すると、それがマサチューセッツ工科大学とつながりのあるXNUMX人の数学者グループによって行われたという噂が流れ、そのうちのXNUMX人は大学院でホプキンスからアドバイスを受けていた。 XNUMX人の中で最年少の大学院生は、 イシャン・レヴィはカンファレンスXNUMX日目の火曜日に講演する予定で、その証拠が発表されるのではないかと思われた。

「このようなことが起こるという噂は聞いていましたが、何が起こるのか正確には分かりませんでした」と彼は語った。 ヴェスナ・ストヤノスカ、カンファレンスに出席したイリノイ大学アーバナ・シャンペーン校の数学者。

噂が真実であることがすぐに明らかになった。 火曜日から始まり、次の XNUMX 日間にわたって、レヴィとその共著者たちは — ロバート・バークランド, ジェレミー・ハーン および トマー・シュランク — 約 200 人の数学者の群衆に、望遠鏡の予想が誤りであり、ラベネルの最初の予想の中で唯一真実ではないことをどのように証明したかを説明しました。

望遠鏡予想の反証は広範囲に影響を及ぼしますが、最も単純で奥深いものの 100 つは次のとおりです。これは、非常に高い次元 (XNUMX 次元の球体を考えてください) では、さまざまな形の宇宙は、宇宙よりもはるかに複雑であることを意味します。数学者たちは予想した。

地図のマッピング

形状または位相空間を分類するために、数学者は重要な違いとそうでない違いを区別します。 ホモトピー理論は、それらの区別を行うための視点です。 これは、ボールと卵を基本的に同じ位相空間であるとみなします。これは、どちらかを裂くことなく、一方を曲げたり伸ばしたりしてもう一方に入れることができるからです。 同様に、ホモトピー理論では、ボールをインナーチューブに変形させるにはボールに穴を開けなければならないため、ボールとインナーチューブは根本的に異なるものとみなします。

ホモトピーは、位相空間を分類し、可能なあらゆる種類の形状のチャートを作成するのに役立ちます。 これは、数学者が関心を寄せているもう XNUMX つのこと、つまり空間間のマッピングを理解するためにも重要です。 XNUMX つの位相空間がある場合、それらのプロパティを調べる XNUMX つの方法は、一方の点をもう一方の点に変換またはマッピングする関数を探すことです。空間 A 上の点を入力し、空間 B 上の点を出力として取得します。 A のすべての点に対してこれを行います。

これらのマップがどのように機能するのか、また、マップが関係する空間の特性を明らかにする理由を理解するには、まず円から始めます。 次に、それをボールの表面である XNUMX 次元の球体にマッピングします。 これを行う方法は無限にあります。 たとえば、球を地球の表面として想像すると、任意の緯度の線上に円を置くことができます。 ホモトピー理論の観点から見ると、それらはすべて北極または南極の点まで縮小できるため、それらはすべて等価、またはホモトピーです。

次に、円を内側のチューブ (XNUMX 穴のトーラス) の XNUMX 次元表面にマッピングします。 繰り返しますが、これを行う方法は無限にあり、そのほとんどはホモトピーです。 しかし、それらすべてではありません。 トーラスの周りに円を水平または垂直に配置することはできますが、どちらももう一方にスムーズに変形することはできません。 これらは、円をトーラスにマッピングする (多くの) 方法のうちの XNUMX つですが、円を球にマッピングする方法は XNUMX つだけあり、これは XNUMX つの空間の根本的な違いを反映しています。トーラスには穴が XNUMX つありますが、球には穴がありません。

円から XNUMX 次元の球体またはトーラスにマッピングする方法を数えることは簡単です。 イメージしやすい、見慣れた空間です。 しかし、高次元空間が関係する場合、マップをカウントすることははるかに困難になります。

寸法の違い

XNUMX つの球の寸法が同じ場合、それらの間には常に無限に多くのマップが存在します。 また、マッピング元の空間がマッピング先の空間よりも低次元である場合 (XNUMX 次元の球体にマッピングされた XNUMX 次元の円の例のように)、マップは常に XNUMX つだけです。

その理由もあって、マップのカウントは、XNUMX 次元の球体を XNUMX 次元の球体にマッピングするときのように、マッピング元の空間がマッピング先の空間よりも高次元である場合に最も興味深いものになります。 このような場合、マップの数は常に有限です。

「一般に、球体間のマップは、ソースの次元が大きいほど興味深いものになる傾向があります」とハーン氏は言います。

さらに、マップの数は次元数の差にのみ依存します (次元が差に比べて十分に大きくなると)。 つまり、73 次元の球体から 53 次元の球体へのマップの数は、225 次元の球体から 205 次元の球体へのマップの数と同じです。どちらの場合も、次元の差は次のとおりです。 20.

数学者は、次元が異なる空間間の写像の数を知りたいと考えています。 彼らは、100 までの次元のほぼすべての違いについてマップの数を計算することに成功しました。違いが 24 の場合、球間には 20 のマップがあり、3,144,960 の場合は 23 のマップがあります。

しかし、100 を超える差についてマップの数を計算すると、最新のコンピューティング能力が消耗します。 そして同時に、数学者はさらに推定するのに十分なマップの数のパターンを検出していません。 彼らの目標は、次元の違いに対するマップの数を指定する表を埋めることですが、その目標は非常に遠いように感じられます。

76歳のラベネル氏は、「これは、孫たちが生きているうちに完全な解決が得られると私が期待している問題ではない」と語った。

望遠鏡予想は、次元の差が増加するにつれてマップの数がどのように増加するかを予測します。 事実上、その数はゆっくりと増加すると予測されます。 それが本当であれば、その表に記入する問題はもう少し簡単になったでしょう。

疑いから不信へ

望遠鏡予想は、ありそうもない方法でその名前が付けられました。

それは、非常に高次元では、低次元で形成された幾何学的直観がしばしば崩壊し、球間のマップを数えることが困難であるという事実から始まりました。 しかし、ラベネル氏は推測を立てる際に、その必要はないことを理解しました。 球体間のマップをカウントする代わりに、球体と望遠鏡と呼ばれるオブジェクト間のマップの代理カウントを簡単に行うことができます。

望遠鏡には、高次元の閉じた曲線の一連のコピーが含まれており、それぞれが以前の曲線の縮小バージョンです。 一連の曲線は、実際の折りたたみ式望遠鏡の連結管に似ています。 「この望遠鏡を説明すると奇妙に聞こえますが、実際には球体そのものよりも扱いやすい物体です」とラベネル氏は言う。

しかし、それでもなお、球体はさまざまな方法で望遠鏡上にマッピングされる可能性があり、課題はそれらのマップがいつ本当に区別できるかを知ることです。

XNUMX つの空間がホモトピックであるかどうかを判断するには、不変式として知られる数学的テストが必要です。これは、空間の特性に基づく計算です。 計算の結果、空間ごとに異なる値が得られた場合、ホモトピーの観点から、それらは一意であることがわかります。

不変条件には多くの種類があり、他の不変条件では認識できない違いを認識できるものもあります。 望遠鏡予想は、モラバと呼ばれる不変量を予測します。 E- 理論 (およびその対称性) は、ホモトピーまでの球と望遠鏡の間のすべての地図を完全に区別できます。つまり、Morava の場合 E-理論によれば、地図は別個である、別個である、そしてそれが同じであると言えば、それらは同じである。

しかし、1989 年までに、ラベネルはそれが真実であると疑い始めました。 彼の懐疑は、彼が行った計算が推測と一致していないようであったことから生じました。 しかし、その疑念が本格的な不信感に成文化されたのは、同年XNUMX月、彼がバークレー滞在中にベイエリアを大地震が襲った時だった。

「私は地震からXNUMX、XNUMX日以内にこの結論に達したので、それが真実ではないと思わせるような何かが起こったと思いたいです」とラベネル氏は語った。

望遠鏡予想を反証するには、モラバのものを見ることができる、より強力な不変式を見つける必要があります。 E理論上は不可能です。 何十年もの間、そのような不変式は利用できないようであり、この推測は手の届かないところにありました。 しかし、近年の進歩によって状況は変わり、バークルンド、ハーン、レヴィ、シュランクはそれを利用しました。

爆発するエキゾチック

彼らの証明は代数と呼ばれる一連のツールに依存しています。 K- アレクサンダー・グロタンディークによって 1950 年代に確立され、過去 XNUMX 年間で急速に発展した理論。 これは、不変条件を大幅に強化する機能を備えた幾何学を含む数学全般に応用できます。

XNUMX 人の著者は代数的手法を使用しています K-ガジェットとしての理論：Moravaを入力します E-理論、そしてその出力は代数と呼ばれる新しい不変式です。 K-モラバの不動点理論 E-理論。 次に、彼らはこの新しい不変式を球体から望遠鏡までの地図に適用し、モラバが持っている地図を見ることができることを証明しました。 E理論上は不可能です。

そして、この新しい不変条件がさらにいくつかのマップを参照するだけではありません。 それはさらに多くのもの、さらには無限に見えます。 モラバと言っても過言ではないほどたくさんあります E-球体から望遠鏡までの地図を識別することに関しては、理論はほんの表面をなぞるだけでした。

球体から望遠鏡までのマップが無限に増えるということは、球体同士の間のマップも無限に増えることを意味します。 このようなマップの数は、次元の違いに対して有限ですが、新しい証明は、その数が急速かつ容赦なく増加することを示しています。

非常に多くの地図があるということは、非常に多くの球体が存在するという、不安定な幾何学的現実を示しています。

1956 年にジョン ミルナーは、いわゆる「エキゾチック」球体の最初の例を特定しました。 これらは、ホモトピーの観点からは実際の球に変形できるが、ある厳密な意味では球とは異なる空間である。 エキゾチックな球体は、第 16,256 次元、第 15 次元、または第 523,264 次元にはまったく存在せず、ミルナーが最初にそれらを発見した次元である第 19 次元以下では、誰もその例を発見していません。 しかし、次元が拡大するにつれて、エキゾチックな球体の数は爆発的に増加します。 次元 XNUMX には XNUMX 個、次元 XNUMX には XNUMX 個あります。

しかし、それらの数は膨大ですが、望遠鏡予想の反証は、さらに多くの数が存在することを意味します。 この反証は、ラベネルがこの予想を述べたときに予想されていたよりも多くの球体間にマップが存在することを意味し、より多くのマップを取得する唯一の方法は、より多くの種類の球体間をマッピングすることです。

数学と科学にはさまざまな種類の進歩があります。 ある種は混沌に秩序をもたらします。 しかし、別の考えは、真実ではなかった希望的な仮定を打ち消し、混乱を悪化させます。 望遠鏡予想の反証はこのようなものです。 それは幾何学の複雑さをさらに深め、誰もが球間の地図を完全に理解する前に、何世代もの孫が行き来する可能性を高めます。

「このテーマにおける大きな進歩はすべて、その答えが私たちが以前に考えていたよりもはるかに複雑であることを示しているようです」とラベネル氏は言う。