数字による色付けは、分数の算術パターンを明らかにします

彼が博士号を取得してから XNUMX 年。 マギル大学の数学で、マット・ボーエンは問題を抱えていました。 「私は資格試験を受けましたが、まったくひどい成績でした」と彼は言いました。 ボーエンは自分の点数が自分の数学的能力を反映していないことを確信しており、それを証明しようと決心しました。 昨年の秋、彼は顧問と一緒に、 マルシン・サボク, 大きな進歩を遂げた として知られる分野で ラムジー理論.

ほぼ XNUMX 世紀にわたり、ラムゼイ理論家は数学的構造が敵対的な状況で存続するという証拠を収集してきました。 それらは、整数や分数などの大きな数のセットを分解したり、ネットワーク上のポイント間の接続をスライスしたりする可能性があります。 次に、巧妙な方法で壊したりスライスしたりして構造の作成を避けようとしても、特定の構造が避けられないことを証明する方法を見つけます。

ラムゼー理論家が一連の数を分割することについて話すとき、彼らはしばしば色付けの言葉を使います。 赤、青、黄色など、いくつかの色を選択します。 コレクション内のすべての数値に色を割り当てます。 これを無作為または混沌とした方法で行ったとしても、限られた数の異なる色のみを使用する限り、その数が非常に多くても、特定のパターンが必然的に出現します. ラムゼイ理論家は、これらのパターンを見つけようとして、「単色」である構造化された数のセットを探します。つまり、それらの要素にはすべて同じ色が割り当てられています。

最初の着色結果は 19 世紀後半にさかのぼります。 1916 年までに、Issai Schur は、正の整数 (自然数とも呼ばれます) にどのように色を付けても、必ず一対の数が存在することを証明しました。 x および y そのような x, y、およびそれらの合計 x+y はすべて同じ色です。 20 世紀を通じて、数学者は塗り絵の問題に取り組み続けました。 1974年、 ニール・ハインドマン Schur の拡張結果 整数の無限サブセットを含めます。 シューアの定理と同様に、ハインドマンの定理は自然数がどのように着色されていても適用されます (クレヨンの数は有限です)。 ハインドマンのセットのこれらの整数はすべて同じ色であるだけでなく、それらのコレクションを合計すると、結果もその色になります. そのような集合は、偶数の和が常に偶数であるように、ハインドマンの集合のいずれかの数の和もその集合に含まれるという点で偶数に似ています。

「ハインドマンの定理は素晴らしい数学です」とサボックは言いました。 「それは私たちが映画を作ることができる物語です。」

しかし、ハインドマンはもっと可能性があると考えました。 彼は、メンバーの和だけでなく積も含む任意の大きな (しかし有限の) 単色集合を見つけることができると信じていました。 「私は何十年もの間、それが事実だと主張してきた」と彼は言い、「私がそれを証明できるとは主張していない」と付け加えた.

ハインドマンの予想

合計をあきらめて、積が同じ色であることのみを確認したい場合は、べき乗を使用して合計を積に変換することにより、ハインドマンの定理を適応させるのは簡単です (計算尺と同じように)。

ただし、合計と積を同時に処理するのは、はるかに困難です。 「このXNUMX人を会話させるのは非常に難しい」 ジョエル・モレイラ、ウォリック大学の数学者。 「足し算と掛け算がどのように関係しているかを理解することは、ある意味で、ほぼすべての数論の基礎です。」

ハインドマンが 1970 年代に最初に提案した単純なバージョンでさえ、困難であることが判明しました。 彼は、自然数の彩色には、{x, y, xy, x+y} — XNUMX つの数値 x および y、およびそれらの合計と積。 「人々は何十年もの間、この問題について何の進歩も遂げていませんでした」とボーエンは言いました。 「そして突然、2010年頃、人々はそれについてますます多くのことを証明し始めました。」

ボーエンは{x, y, xy, x+yカーネギーメロン大学の教授の 2016 人がクラスでこの問題について説明したとき、XNUMX 年に彼は大学の XNUMX 学期を迎えました。 ボーエンはそのシンプルさに感銘を受けました。 「私は数学があまり得意ではありませんが、これはある程度理解できます」と彼は言いました。

2017年、モレイラ 証明 それ 貴社 できる 常に 必要な XNUMX つの要素のうち XNUMX つを含む単色セットを見つけます。 x, xy, x + y. 一方、ボーエンは 2020 年生のときに、この質問をさりげなくいじくり回し始めました。 「私は実際に問題を解決できませんでした」と彼は言いました。 「しかし、私は半年ごとに戻ってきました。」 彼の博士号での彼の貧弱な成績の後。 XNUMX 年の資格試験で、彼は努力を倍増させました。 数日後、彼は{x, y, xy, x+y} 1970 色の場合の予想であり、XNUMX 年代に Ron Graham がコンピューターの助けを借りてすでに証明していた結果です。

その成功を受けて、ボーエンはサボクと協力して、結果を任意の数の色に拡張しました。 しかし、彼らはすぐに技術的な詳細に巻き込まれました。 「色の数が多いと、問題の複雑さが完全に制御不能になります」と Sabok 氏は言います。 18 か月間、彼らは脱出を試みましたが、ほとんど運がありませんでした。 「この XNUMX 年半の間に、約 XNUMX 万件の間違った証明がありました」と Sabok 氏は言います。

特に XNUMX つの困難が、XNUMX 人の数学者の進歩を妨げました。 無作為に XNUMX つの整数を選択すると、おそらく割り切れません。 除算は、最初の数値が XNUMX 番目の数値の倍数であるまれなケースでのみ機能します。 これは非常に制限的であることが判明しました。 その認識で、Bowen と Sabok は {x, y, xy, x+y代わりに、有理数の推測 (数学者が分数と呼ぶように) を使用します。 そこでは、数を思い切って割ることができます。

ボーエンとサボクの証明は、関連するすべての色が有理数全体に頻繁に現れるときに最もエレガントです。 色は、いくつかの異なる方法で「頻繁に」表示されます。 それらはそれぞれ、数直線の大きな部分をカバーしている可能性があります。 または、すべての色を確認せずに数直線に沿って移動することはできないことを意味する場合もあります。 ただし、通常、色はそのような規則に準拠していません。 そのような場合、色がより頻繁に現れる有理数内の小さな領域に焦点を当てることができます、とサボックは説明しました. 「ここで作業の大部分が行われました」と彼は言いました。

2022 年 XNUMX 月、Bowen と Sabok は、有理数を有限個の色で色付けすると、{x, y, xy, x+yその要素はすべて同じ色です。 「それは信じられないほど巧妙な証拠です」と彼は言いました。 イムレリーダー ケンブリッジ大学の。 「既知の結果を使用します。 しかし、それは非常に素晴らしく、非常に独創的で、非常に革新的な方法でそれらを組み合わせています。」

たくさんの疑問が残ります。 XNUMX 番目の番号を指定できますか z その後の合計と製品とともに、コレクションに追加されますか? Hindman の最も大胆な予測を満足させるには、XNUMX 番目、XNUMX 番目、そして最終的には任意に多くの新しい数を数列に追加する必要があります。 また、有理数から自然数に移行し、ボーエンとサボクの努力を妨げた除算の難問を回避する方法を見つける必要があります。

リーダーは、モレイラ、ボーエン、サボクのすべてが問題に取り組んでいるので、その証拠は遠くないかもしれないと信じています. 「彼らは物事を行うための新しい方法を見つけることに特に優れているようです」と彼は言いました。 「だから私は、彼らまたは彼らの同僚の何人かがそれを見つけるかもしれないと楽観的に思っています。」

サボクは彼の予測においてより慎重です。 しかし、彼は何も除外していません。 「数学の魅力の XNUMX つは、証明を得る前にすべてが可能になることです」と彼は言いました。