概要
何世紀にもわたって、数学者は流体の動きを理解し、モデル化しようとしてきました。 波紋が池の表面にどのように折り目を付けるかを表す方程式は、研究者が天気を予測したり、より優れた飛行機を設計したり、血液が循環系をどのように流れるかを特徴付けたりするのにも役立ちました. これらの方程式は、適切な数学言語で書かれていると、一見単純です。 しかし、それらのソリューションは非常に複雑であるため、それらに関する基本的な質問を理解することさえ非常に困難です。
おそらく、250 年以上前にレオンハルト オイラーによって定式化されたこれらの方程式の中で最も古く、最も顕著なものは、理想的な非圧縮性流体の流れを記述しています。これは、粘性または内部摩擦がなく、より小さな体積に強制できない流体です。 「ほぼすべての非線形流体方程式は、オイラー方程式から派生したものです。 タレク・エルギンディ、デューク大学の数学者。 「彼らは最初のものです、あなたは言うことができます。」
しかし、オイラー方程式が常に理想的な流体の流れの正確なモデルであるかどうかなど、オイラー方程式については不明な点が多く残されています。 流体力学の中心的な問題の XNUMX つは、方程式が失敗して無意味な値が出力され、流体の将来の状態を予測できなくなるかどうかを判断することです。
数学者は、方程式が崩れる初期条件が存在することを長い間疑っていました。 しかし、彼らはそれを証明できていません。
In プレプリント 先月オンラインに投稿された XNUMX 人の数学者が、オイラー方程式の特定のバージョンが実際に時々失敗することを示しました。 この証明は大きなブレークスルーを示しています — 方程式のより一般的なバージョンの問題を完全に解決するわけではありませんが、そのような解決策が最終的に手の届くところにあるという希望を提供します. 「驚くべき結果だ」と語った トリスタン・バックマスター、仕事に関与していないメリーランド大学の数学者。 「文献にはその種の結果はありません。」
キャッチはXNUMXつだけです。
177 ページの校正刷り — XNUMX 年にわたる研究プログラムの成果 — は、コンピューターを大いに活用しています。 これは間違いなく、他の数学者がそれを検証することを困難にします. （実際、彼らはまだそうしている途中ですが、多くの専門家は新しい研究が正しいことが判明すると信じています.このような重要な問題を今後解決する唯一の実行可能な方法は、コンピューターの助けを借りることです。
野獣の目撃
原則として、流体内の各粒子の位置と速度がわかっている場合、オイラー方程式は流体が常にどのように変化するかを予測できるはずです。 しかし、数学者は、それが実際に当てはまるかどうかを知りたがっています。 おそらく、状況によっては、方程式が期待どおりに進み、任意の時点での流体の状態の正確な値が生成されますが、それらの値の XNUMX つだけが突然無限大に急上昇します。 その時点で、オイラー方程式は「特異点」を引き起こすと言われています。さらに劇的には、「爆破」することもあります。
特異点に達すると、方程式は流体の流れを計算できなくなります。 しかし、「数年前の時点で、人々ができることは [爆破の証明] には非常に遠く及ばなかった」と述べた。 チャーリー・フェファーマン、プリンストン大学の数学者。
粘性を持つ流体をモデル化しようとすると、さらに複雑になります (ほとんどすべての実世界の流体がそうであるように)。 粘土数学研究所からの百万ドルのミレニアム賞は、粘性を説明するオイラー方程式の一般化であるナビエストークス方程式で同様の失敗が発生するかどうかを証明できる人を待っています。
2013年には、 トーマス・ホウ、カリフォルニア工科大学の数学者、および 郭羅現在香港のハンセン大学にいる は、オイラー方程式が特異点につながるシナリオを提案しました。 彼らは、上半分が時計回りに渦を巻き、下半分が反時計回りに渦を巻くシリンダー内の流体のコンピューターシミュレーションを開発しました。 彼らがシミュレーションを実行すると、より複雑な流れが上下に動き始めました。 その結果、反対方向の流れが合流する円柱の境界に沿って奇妙な動作が発生しました。 流体の渦度 (回転の尺度) が非常に急速に増大したため、爆発する準備ができているように見えました。
Hou と Luo の研究は示唆に富むものでしたが、真の証拠ではありませんでした。 これは、コンピューターが無限の値を計算することができないためです。 特異点に近づくことはできますが、実際にはそこに到達することはできません。つまり、解は非常に正確かもしれませんが、それでも近似値です。 数学的証明の裏付けがなければ、渦度の値は、シミュレーションのアーティファクトのために無限に増加しているように見えるだけかもしれません. ソリューションは、再び沈静化する前に、代わりに膨大な数に成長する可能性があります.
このような逆転は以前にも起こっていました。シミュレーションでは、方程式の値が急上昇したことが示されますが、より洗練された計算方法でそうでないことが示されるだけでした。 「これらの問題は非常にデリケートなため、以前のシミュレーションの残骸が道路に散らばっています」と Fefferman 氏は述べています。 実際、それが Hou がこの分野で彼の出発点となった方法です。彼の以前の結果のいくつかは、仮説的特異点の形成を反証しました。
それでも、彼とルオが解を発表したとき、ほとんどの数学者はそれが真の特異点である可能性が非常に高いと考えていました。 「それは非常に細心の注意を払い、非常に正確でした」と彼は言いました。 ウラジミール・スベラク、ミネソタ大学の数学者。 「彼らは、これが現実のシナリオであることを立証するために本当に多大な労力を費やしました。」 Elgindi、Sverak などによるその後の作業 その確信を強めただけ.
しかし、証拠はとらえどころのないものでした。 「あなたは獣を目撃しました」とフェファーマンは言った。 「それからあなたはそれを捕まえようとします。」 これは、Hou と Luo が注意深くシミュレートした近似解が、特定の数学的な意味で、方程式の正確な解に非常に非常に近いことを示すことを意味しました。
その最初の目撃からXNUMX年後の今、ホウと彼の元大学院生 ジャージェ・チェン ついにその近くの特異点の存在を証明することに成功しました。
自己相似の土地への移動
Hou は後に Chen も加わり、より詳細な分析を行ったところ、2013 年の近似解が特別な構造を持っているように見えるという事実を利用しました。 方程式が時間とともに進化するにつれて、解は自己相似パターンと呼ばれるものを示しました。後の形状は、特定の方法で再スケーリングされただけで、以前の形状によく似ていました。
その結果、数学者は特異点自体を調べようとする必要がなくなりました。 代わりに、以前の時点に焦点を当てることで、間接的に研究することができます。 ソリューションの自己相似構造に基づいて決定された適切なレートでソリューションのその部分を拡大することにより、特異点自体を含め、後で何が起こるかをモデル化できました。
2013 年の爆破シナリオに似たものを見つけるのに数年かかりました。 (今年の初めに、バックマスターを含む別の数学者チームが別の方法を使用して 同様の近似解を見つける. 彼らは現在、特異点形成の独立した証明を開発するためにそのソリューションを使用しています。)
Hou と Chen は、近似的な自己相似解が得られたので、正確な解が近くに存在することを示す必要がありました。 数学的には、これは近似自己相似解が安定であることを証明することと同じです — たとえそれをわずかに摂動させてから、それらの摂動値から始まる方程式を発展させたとしても、近似解。 「それはブラックホールのようなものです」とホウは言いました。 「近くのプロフィールから始めると、吸い込まれます。」
しかし、一般的な戦略を持つことは、解決への一歩に過ぎませんでした。 「うるさい詳細は重要です」とフェファーマンは言いました。 Hou と Chen はその後数年間、これらの詳細に取り組み、再びコンピューターに頼らなければならないことに気付きましたが、今回はまったく新しい方法でした。
ハイブリッドなアプローチ
彼らの最初の課題の XNUMX つは、証明しなければならない正確なステートメントを把握することでした。 彼らは、近似解に近い値のセットを取り、それを方程式に代入した場合、出力が遠く離れることはできないことを示したかった. しかし、入力が近似解に「近い」とはどういう意味でしょうか? 彼らはこれを数学的なステートメントで指定する必要がありましたが、このコンテキストで距離の概念を定義する方法はたくさんあります。 証明が機能するためには、正しいものを選択する必要がありました。
「さまざまな物理的効果を測定する必要があります」と彼は言いました。 ラファエル・デ・ラ・ラーベ、ジョージア工科大学の数学者。 「そのため、問題を深く理解して選択する必要があります。」
「近さ」を説明する正しい方法を見つけた後、Hou と Chen はその主張を証明しなければなりませんでした。これは、再スケーリングされた方程式と近似解の両方からの項を含む複雑な不等式に要約されました。 数学者は、これらすべての項の値が非常に小さい値になるようにバランスを取る必要がありました。XNUMX つの値が最終的に大きくなった場合、他の値は負になるか、または抑制されなければなりませんでした。
「少し大きすぎたり小さすぎたりすると、全体が壊れてしまう」 ハビエル・ゴメス・セラーノ、ブラウン大学の数学者。 「ですから、非常に慎重でデリケートな作業です。」
「本当に激しい戦いです」と Elgindi 氏は付け加えました。
これらすべての異なる条件で必要な厳密な境界を得るために、Hou と Chen は不平等を 18 つの主要な部分に分割しました。 フランスの数学者ガスパール・モンジュが、ナポレオン軍の要塞を建設するために土を運ぶ最適な方法を模索した XNUMX 世紀にさかのぼる技術を含む技術を使用して、最初の部分を手作業で処理することができました。 「このようなことは以前にも行われましたが、[Hou と Chen] がこれを使用したことは驚くべきことでした」と Fefferman 氏は述べています。
これで、不等式の XNUMX 番目の部分が残りました。 それに取り組むには、コンピューターの支援が必要です。 まず第一に、実行する必要のある計算が非常に多く、非常に高い精度が要求されるため、「鉛筆と紙で行う作業の量は驚異的でした」と de la Llave 氏は述べています。 さまざまな項のバランスをとるために、数学者は一連の最適化問題を実行する必要がありました。これらの問題は、コンピューターにとっては比較的簡単ですが、人間にとっては非常に時間がかかります。 一部の値は、近似解からの量にも依存していました。 これはコンピューターを使用して計算されたため、コンピューターを使用してこれらの追加の計算を実行する方が簡単でした。
「これらの見積もりの一部を手作業で行おうとすると、おそらくある時点で過大評価することになり、負けてしまうでしょう」と Gómez-Serrano 氏は述べています。 「数字は非常に小さくタイトです…そしてマージンは信じられないほど薄いです。」
しかし、コンピューターは無数の桁数を処理できないため、小さなエラーが発生することは避けられません。 Hou と Chen は、これらのエラーを注意深く追跡して、残りのバランス調整作業を妨げないようにする必要がありました。
最終的に、彼らはすべての項の境界を見つけることができ、証明を完了しました。方程式は実際に特異点を生成しました。
コンピュータによる証明
より複雑な方程式 (円筒境界が存在しないオイラー方程式やナビエストークス方程式) で特異点が発生する可能性があるかどうかは未解決のままです。 「しかし、（この作品は）少なくとも私に希望を与えてくれます」とホウは言いました。 「ミレニアム問題を最終的に完全に解決する道が見えます。」
一方、Buckmaster と Gómez-Serrano は、コンピューターを利用した独自の証明に取り組んでいます。この証明は、より一般的であり、Hou と Chen が解決した問題だけでなく、他の多くの問題にも取り組むことができると期待しています。
これらの取り組みは、重要な問題を解決するためにコンピューターを使用する流体力学の分野での成長傾向を示しています。
「数学のさまざまな分野で、それはますます頻繁に発生しています」と彼は言いました。 スーザン・フリードランダー、南カリフォルニア大学の数学者。
しかし、流体力学では、コンピューターを利用した証明はまだ比較的新しい手法です。 実際、特異点の形成に関する声明に関して言えば、Hou と Chen の証明はこの種のものとしては初めてのものです。これまでのコンピューターを利用した証明は、この分野のおもちゃの問題にしか取り組むことができませんでした。
そのような証拠は、「好みの問題」ほど物議を醸すものではありません。 ピーター・コンスタンティン プリンストン大学の。 数学者は一般に、証明が他の数学者に何らかの推論が正しいことを納得させなければならないことに同意します。 しかし、多くの人は、特定のステートメントが正しいことを単に検証するのではなく、なぜそのステートメントが正しいのかについての理解を深める必要があると主張しています。 「私たちは根本的に新しいことを学んでいるのか、それとも質問に対する答えを知っているだけなのか?」 エルギンディは言った。 「数学を芸術と見なすなら、これは審美的にあまり喜ばしいことではありません。」
「コンピューターが役に立ちます。 素晴らしいです。 それは私に洞察を与えます。 しかし、それは私に完全な理解を与えてくれません」とコンスタンティンは付け加えました。 「理解は私たちから生まれます。」
Elgindi 氏は、爆破の代替証明を完全に手作業で解決したいと考えています。 「私はこれが存在することに全体的に満足しています」と彼は Hou と Chen の仕事について語った。 「しかし、コンピューターにあまり依存しない方法でそれをやろうとする動機のほうが大きいと私は考えています。」
他の数学者は、コンピューターを、以前は扱いにくかった問題に取り組むことを可能にする重要な新しいツールと見なしています。 「今や、仕事は紙と鉛筆だけではありません」とチェンは言いました。 「より強力なものを使用するオプションがあります。」
彼や他の人々 (Elgindi を含む、証明を手で書くことを個人的に好むにもかかわらず) によると、流体力学の大きな問題 (つまり、ますます複雑になる方程式を含む問題) を解決する唯一の方法は、依存することである可能性が十分にあります。コンピューターの支援に重点を置いています。 「コンピューター支援の証明を多用せずにこれを行おうとすることは、XNUMX つまたは場合によっては XNUMX つの手を後ろ手に縛るように思えます」と Fefferman 氏は述べています。
それが事実であり、「選択の余地はありません」と Elgindi 氏は言いました。 それはまた、より多くの数学者が、コンピューター支援による証明を書くために必要なスキルを学び始める必要があることを意味します。Hou と Chen の研究が、うまくいけば刺激になるでしょう。 「このアプローチに自分の時間を費やす前に、誰かがそのような問題を解決するのを待っていた人がたくさんいたと思います」とバックマスターは言いました。
とはいえ、数学者がどの程度コンピューターに頼るべきかについての議論になると、「どちらか一方を選ぶ必要があるというわけではありません」とゴメス=セラーノは言いました。 「[Hou と Chen の] 証明は分析がなければ機能せず、コンピューターの支援がなければ証明も機能しません。 …価値は、人々がXNUMXつの言語を話せることだと思います。」
それで、de la Llave は、「町に新しいゲームがある」と言いました。
