アインシュタインのタイリング – 繰り返されることのない驚くべき「帽子」の形!

数学は、特に暗号化とサイバーセキュリティの分野を含む、科学と工学を支える複雑で難解な分野です。

(そこに… サイバーセキュリティへの言及を追加したため、この記事の残りの部分が正当化されます。)

数学のトピックは、少なくとも古代バビロニア時代から広く熱心に研究されてきました。多くの有名な数学者の名前が、 ピタゴラス 三角形（直角を持つもの）、 デカルト 幾何学 (平面上の形状の操作)、コンピューター アルゴリズム (結果を計算するために反復的または再帰的に機能する命令シーケンス)、および ペンローズ タイル。

ペンローズ タイリングは、1970 年代にサー ロジャー ペンローズによって考案されたもので、形状の組み合わせで表面を覆う魅力的で珍しい方法を扱っています。

なぜその言葉なのか疑問に思っている場合は、 アルゴリズム 他の名前のように大文字がありません。これは、元の名前の正確なレンダリングではなく、から派生した単語であるためです。 ムハンマド・イブン・ムーサ・アル・フワリズミ、影響力のある数学者、地理学者、天文学者で、カスピ海の東とアラル海の南の地域に約1200年前に住んでいました。この地域は現在ウズベキスタンとトルクメニスタンに分かれています。

ファンキーなタイリング

もちろん、タイル張りの表面は、バスルーム、キッチン、通路などで一般的です。

もちろん、屋根の上では、屋根瓦は重なり合うように設計されているため、この記事では無視します.

特にオフィスでは、カーペットが敷かれたエリアでさえ、多くの場合タイル張りになっているため、床の一部を引き裂いて、使い古した部分の周りの軽く使用されたカーペットを交換することなく、タイルを張り直すことができます.

たとえば、英国のソフォス本社を訪れたことがある場合は、青と薄緑のさまざまな穏やかな色合いの正方形のカーペット タイルで覆われた大部分がオープン プランのエリアであることをご存知でしょう。

ご覧のとおり、正方形のタイルは、 周期的なパターン、パターンが頻繁に繰り返されることを意味します。

上記の例では、レイアウトで使用されている正確なグリッドにより、上下左右に XNUMX マスだけ移動した後、パターンが両方の次元で繰り返されることが保証されます。

XNUMX 重五角形のような単純な形状を規則的に組み合わせて、より複雑で視覚的に魅力的なパターンを作成できます。

または菱形三六角形:

ペンローズタイル

それがペンローズのタイリングにつながります。

ロジャー ペンローズ卿は、2020 年のノーベル物理学賞の受賞者としておそらく最も有名ですが、知られているタイル パターンの特別なクラスへの研究でも有名です。 非周期的なタイリング.

頻繁に繰り返される周期的なタイリングとは異なり、次に配置するピースと配置する場所をどれだけ慎重に選択しても、非周期的なタイリングは決して繰り返されません…

…タイリングは有限数の形状に基づいており、ギャップやオーバーラップなしで無限の表面をカバーしていますが。

周期的なタイリングは有理数 (XNUMX つの整数を別の整数で割った値に基づく分数) に少し似ており、最終的には何をしても繰り返されます。

たとえば、22 を 7 で割ると、約 3.142.. になり、約 3.14159 である Pi の値に非常に近くなります。

しかし、22/7 は実際には 3.142857142857142857 となります...そしてそのパターン 142857 は永遠に繰り返され続けます。 有理数) XNUMX つの整数。

対照的に、Pi の真の値は 不合理: 比率に減らすことはできず、その XNUMX 進数の値は決して繰り返しパターンにはなりません。

数値ではなく形状に基づいた、同じような繰り返さないシーケンスについてはどうでしょうか?

繰り返されることのないパターンを保証するために無限の数の異なる形状が必要ですか、それとも有限のタイル セットで (確かに終わりのない) タイル作業を完了できるでしょうか?

ペンローズは、繰り返しのないタイリングを保証するために必要なさまざまな形状の数を XNUMX つにまで減らしましたが、それ以来、疑問は解消されていません。 繰り返すことなく無限の表面をカバーするために繰り返し配置できる単一の形状、単一のタイルを見つけることができますか?

数学的なしゃれとして通用するものでは、タイルのこの聖杯は、として知られています アインシュタインは、ドイツ語で「XNUMX つの形」を意味しますが、E=mc のアルバート アインシュタインの名前を反映しています。² 名声。

紹介…帽子

さて、デービッド・スミスと呼ばれる英国の形の探求者が率いる数学的四人組は、アインシュタインが存在すると主張し、三十角形 (13 角形) を明らかにしました。 帽子.

彼らは、帽子が非周期的なパターンの長い間求められていた結果をすべて独自に生成することを証明したと主張しています。

簡単に言えば、床、ポーチ、私道、さらには地元のサッカー場に帽子タイルをタイル張りすると…

…最終的には、実際には決して繰り返されないパターンで表面全体を覆うことになります。

帽子ベースのアートワークを作成するときに、さまざまな「サブデザイン」と明らかな自己類似性が表示されますが、これはフロア タイルの Pi です。それ。

何をするか？

の説明を試みるつもりさえありません。 証明 ここで – 正直なところ、私たちはまだそれを自分で消化することができていません – したがって、単にあなたに提案するだけです. それを勉強する 自分の時間に。 (おそらく、そのタスクのために長い週末を取っておく？

しかし、非周期的なタイリングの概念を試してみたい場合は、自分でハット ビスケットを焼いたり、北アメリカ出身の場合はクッキーを焼いたりしてみませんか?

3D プリンターをお持ちの場合は、デザインをダウンロードして、独自の帽子型のペストリー カッターを作成できます。

*GinderBread Instruments CSO* の帽子をかぶっています。

GinderBread Instruments は、3D プリントされた非周期タイル クッキー カッターを誇らしげに紹介します。 Smith、Myers、Kaplan、および Goodman-Strauss の非周期的なモノタイルに基づいています。https://t.co/hEdtNCXX1d pic.twitter.com/FoyedYcDM9

— ニコライ・トゥマノフ (@ntumanov_Xray) 2023 年 3 月 28 日

---

• SEO を活用したコンテンツと PR 配信。 今日増幅されます。
• Platoblockchain。 Web3メタバースインテリジェンス。 知識の増幅。 こちらからアクセスしてください。
• 情報源： https://nakedsecurity.sophos.com/2023/04/04/einstein-tilings-the-amazing-hat-shape-that-never-repeats/