概要
アルゴリズムでは、人生と同様に、否定性が足かせになることがあります。
グラフ上の 1950 点間の最短経路 (リンクまたはエッジで接続されたノードのネットワーク) を見つける問題を考えてみましょう。 多くの場合、これらのエッジは互換性がありません。グラフは、一部の道路が他の道路より遅い道路や通行料が高い道路地図を表す場合があります。 コンピューター科学者は、各エッジと、そのセグメントを移動するコストを定量化する「重み」を組み合わせることで、これらの違いを説明します。コストが時間、お金、またはその他の何かを表しているかどうかは関係ありません。 XNUMX 年代以来、彼らは、すべての重みが正の数であると仮定して、最短経路を本質的に理論的に可能な限り速く見つける方法を知っていました。
しかし、一部のグラフでは重みが負になることがあります — XNUMX つのセグメントに沿って移動すると、別のセグメントを移動するコストが相殺される可能性があります。 たとえば、ガソリンと通行料のコスト (正の重みで表される) と荷物の輸送による収入 (負の重みで表される) のバランスを取らなければならない配達ドライバーを考えてみましょう。 このような場合、既知の最速の最短パス アルゴリズムは機能しません。 何十年もの間、負の重みを持つグラフで最短経路を見つけるための高速アルゴリズムは、とらえどころのないままでした。
現在、XNUMX 人のコンピューター科学者がこの長年の問題を解決しました。 彼らの新しい アルゴリズムは、特定の「ソース」ノードから他のすべてのノードへのグラフを通る最短経路を見つけるもので、正の重み付けアルゴリズムがはるか昔に達成した速度とほぼ一致します。
さらに、この新しいアプローチは数十年前の数学的手法を使用しており、現代のグラフ理論研究を支配しているより洗練された方法を避けています。
「こんなに単純なアルゴリズムが存在するとは信じられませんでした。 マクシミリアン・プロブスト・グーテンベルク、スイス連邦工科大学チューリッヒ校のコンピューター科学者。 「すべてが 40 年間そこにありました。 それをすべて機能させるには、誰かが本当に賢く、決意を固める必要がありました。」
貪欲の限界
話は 1956 年に始まります。オランダのコンピューター科学者 Edsger Dijkstra が、正の重みのみを持つグラフで最短経路を見つけるための高速アルゴリズムを開発したときです。 それを理解するために、ソースから始めて一度に XNUMX つのノードでグラフを探索し、新しく発見されたエッジの重みを書き留めることを想像してみてください。 ノードにアクセスするたびに、ソースから新しいノードの各隣接ノードまでの最短経路の予備見積もりを作成し、新しい短い経路が見つかった場合は既存の見積もりを更新します。 次に訪問する未踏のノードを決定するには、貪欲戦略と呼ばれるものを使用します。現在の推定に従って、ソースに最も近いノードに移動します。
正の重みを使用すると、ダイクストラのアルゴリズムが最初に各ノードを訪問するためにたどる経路が本当に最短になります。 これが最初のステップに当てはまることを確認するのは最も簡単です。 重み 2 のエッジで接続された XNUMX つのノード A と B を想像してください。A がソース ノードであり、それに接する他のすべてのエッジの重みが大きい場合、A から B への直接パスは、これらの XNUMX つのポイントを接続する最短のパスでなければなりません。 、他のパスの最初のセグメントはすでに長いためです。 同様の推論が各ステップで機能します。 アルゴリズムは後戻りする必要がないため、グラフを XNUMX 回実行した後は終了することが保証されています。これが高速な理由です。
しかし、ダイクストラの貪欲な戦略にとって、負の重みは問題を引き起こします。 もう一度、配達ドライバーについて考えてみましょう。 A から B への直接的なルートでわずかな利益しか得られない場合は、どこかで大きな見返りがある遠回りのルートよりも収益が少なくなる可能性があります。 「現地の情報だけでは判断できない」 サンジーブ・カンナ、ペンシルバニア大学のコンピューター科学者。 「最終的に本当の報酬を得るには、最適とは思えないいくつかの動きをしなければならないかもしれません。」
何十年もの間、負の重みのグラフに取り組んでいるコンピューター科学者は、ダイクストラのアルゴリズムの速度を同様の「組み合わせ」アルゴリズムと一致させようとしました。 これらには、可能性のカウント、重みの変更、選択的なエッジの削除など、基になるグラフの離散構造を反映する離散操作が含まれます。 しかし、1990 年代までに進歩は鈍化した。 最近では、研究者は微積分からトリックを借用した「継続的最適化」アルゴリズムを使用しています。 残念ながら、結果として得られる高速化は限定的であり、多くの場合、単純さが犠牲になっています。
サイクルを破る
2021 年の夏、コペンハーゲン大学で同僚になった XNUMX 人のコンピューター科学者 — ダヌポン・ナノンカイ & クリスチャン・ウルフ=ニルセン —共同研究プロジェクトのトピックを探していました。 「クリスチャンは、『ちなみに、私は休暇中でした。そのため、非常に野心的なことを考えようとしていたのです』と言いました」と、現在ドイツのザールブリュッケンにあるマックス プランク情報学研究所にいるナノンカイは回想します。 彼らは負の重みの最短経路問題に落ち着き、 アーロン・バーンスタイン 彼らに加わるためにラトガース大学の。
XNUMX 人の研究者は全員、他の問題に対する組み合わせグラフ アルゴリズムの専門家であり、これらの比較的古いアプローチがどこまで到達できるかを知りたいと考えていました。 「野心的で、長い間公開されてきた問題に取り組むことには、実際にはある程度の自由があります」とバーンスタインは言いました。
このトリオは、考えられるグラフのサブセット、つまり負のサイクルを含むグラフを一時的に無視することから始めました。 これらは、重みの合計が負の数になる一連のエッジを通過した後、最初の場所にループバックするパスです。 開始点から到達可能な負のサイクルを持つグラフでは、最短経路の概念が崩壊します。これは、任意のノードまでの距離を好きなように負の (または収益性の高い) ものにすることができるためです。目的地に向かいます。
研究者は、長い負の経路が主に問題を困難にしている原因ではないかと疑っていました。 そこで彼らは、近くのノードの密集したクラスターに注目し始めました。これは、長い負のパスを含めることはできません。これは、XNUMX つのポイントが短い正のパスで接続されている場合、それらの間に長い負のパスを追加すると、負のサイクルが作成されるためです。 密集したクラスター内では、「誰もがポジティブな意味で近くにいるという事実は、実際にはネガティブなエッジについても有用な情報を提供します」とバーンスタインは言いました. 「物事がネガティブになりすぎてはいけないことを教えてくれます。」
ほとんどのグラフには、互いに弱くしか接続されていないこのような緊密なクラスターが多数含まれています。 研究者がすべてのクラスターを特定できれば、それぞれのクラスター内で最短経路をすばやく見つける方法を開発できるのではないかと考えました。 そこから、個々のクラスターを接続し、元のグラフで最短経路を見つけるのがより簡単になる場合があります。 しかし、そのためには、ノードが近接しているグラフの領域をすばやく見つける必要があります。これは、彼らが行う方法を知りませんでした。 その鍵は、グラフ理論のまったく異なる分野に由来する手法であることが判明しました。
グラフの切り取り
1980 年代に、コンピューター科学者は、グラフ内のタイトなクラスターを選択し、それらのクラスターを分離するために削除するエッジを特定する、低直径分解と呼ばれる手法を開発しました。 この手法は、グラフを独立したセクションに分割する方法を提供します。 これは、計算がグラフのさまざまな部分で並行して実行される「分散型」アルゴリズムを容易にするために発明されたため、この特性を持たない最短経路アルゴリズムには明らかに有用ではありませんでした。
Bernstein、Nanongkai、および Wulff-Nilsen は、低直径の分解が、ネガティブな要素があまり集中していないクラスターを特定するのに役立つことに気付きました。 残念ながら、標準の小径分解アルゴリズムは、無向グラフ (すべてのエッジを両方向にトラバースできるグラフ) でのみ機能します。 一方、負の重みの最短経路問題は、すべてのエッジが一方通行である有向グラフでのみ意味があります。 (さもなければ、単一の無向の負のエッジが、そのエッジを前後に繰り返すホップからなる負のサイクルを作成します。) 研究者が低直径分解を使用したい場合は、それを適応させる必要があります。
それが彼らが新しい論文でしたことです。 に触発された 過去の作品 バーンスタインとウルフ・ニルセンはプロブスト・グーテンベルクと協力して、低直径分解に類似した有向グラフの破砕手順を開発しました。 この手順では、ランダムなプロセスを使用してほんの一握りのエッジを削除することにより、任意の有向グラフを一連の緊密なクラスターに切り刻みます。 その後、これらのクラスターは、すべてのエッジが同じ方向を指す、より疎なネットワークによって接続されます。 この種のネットワークは有向非巡回グラフ (DAG) と呼ばれます。
DAG は、水がさまざまな経路を流れる小川のようなものだと考えてください。さまざまな水源から流入する経路もあれば、さまざまな方向に広がる経路もあれば、分裂して再び合流する経路もあります。 しかし、逆流するものは何もないので、循環はありません。 これにより、DAG の操作がはるかに簡単になります。
研究者は、負の重みでも DAG の最短経路をすばやく見つける方法を長い間知っていました。 そのため、フラクチャリング手法により、XNUMX 人の研究者は任意の有向グラフを XNUMX つの特殊なケース (DAG とタイト クラスター) の組み合わせに縮小し、それぞれが扱いやすいものにすることができました。
新しい最短パス アルゴリズムは、フラクチャリング手順を繰り返し使用して、グラフを DAG によって接続された緊密なクラスターに分割します。 次に、それらのクラスターをさらに細かく分割します。 プロセスの最後に、最も内側のレベルのクラスターが可能な限り密接に接続されます。 アルゴリズムが非常に高速である理由の XNUMX つは、非常に大きなグラフでも完全に分割するのに多くの反復を必要としないことです。それを半分に。
このようにグラフを完全に分割することで、研究者はグラフのすべての部分を通る最短経路をすばやく見つけることができました。 ネストされたグラフ構造の最も内側のレベルにある密集したクラスターの場合、これは簡単でした。実質的に負の要素が残っていませんでした。 そして、研究者たちは、それらを結合する DAG セクションで最短経路を見つける方法をすでに知っていました。
最後に、アルゴリズムは、破砕プロセスによって除去されたエッジを追加し、最短経路への影響を計算します。 研究者たちは、エッジをランダムに削除するプロセスでは、ほとんどの場合、「後方」エッジ (DAG を大きなサイクルを持つグラフに変えるようなもの) を削除するために数回の削除が必要になるだけであることを証明しました。 これにより、最短経路がそのような後方セグメントを通過する可能性が非常に低くなるため、1950 年代の XNUMX つの教科書的な方法 (ダイクストラのアルゴリズムと負の重みグラフ用に開発された最初のアルゴリズム) を組み合わせることで、このトリッキーな最終ステップを解決することができました。
「これは、これらのアイデアを非常に巧妙に組み合わせたものです」と Khanna 氏は言います。 このアルゴリズムは、「ほぼ線形」の時間で実行される負の重みグラフの最初のものです。つまり、その実行時間は、すべてのエッジをカウントするのに必要な時間にほぼ比例し、可能な限り最速です。
そして、研究者が最初に無視することにした負のサイクルを持つグラフはどうですか? 最短経路アルゴリズムに最後の仕上げを行った後、彼らはそれが負のサイクルを特定するための高速アルゴリズムとしても機能することを示しました。 事実上、その手の届かないグラフはありませんでした。
パラレル パス
バーンスタイン氏は、2022 年の Foundations of Computer Science カンファレンスでチームの結果を発表しました。そこでは、新しいアルゴリズムを説明する彼らの原稿が XNUMX つの優れた論文の XNUMX つと見なされました。 の 他の紙 また、グラフ理論の長年の問題を解決するための新しい近線形時間アルゴリズムについても説明しました。
Probst Gutenberg と他の XNUMX 人の研究者によって開発されたそのアルゴリズムは、最小コスト フローと呼ばれるより一般的な問題に対処しました。最小コスト フローでは、多くのパスを同時に通過するトランスポートを最適化することが目標であり、各エッジには最大容量と関連するコストがあります。 . 最短パス問題は最小コスト フローの特殊なケースであるため、新しい最小コスト フロー アルゴリズムを使用して、根本的に異なるアプローチではあるものの、負の重みの最短パス問題を線形に近い時間で解くこともできます。
最小コスト フローに取り組んでいるチームは、組み合わせと継続的な最適化手法の複雑な統合を使用して汎用高速アルゴリズムを開発しましたが、少なくとも現在は扱いにくいものになっています。 バーンスタインと彼の同僚による組み合わせアルゴリズムは、より具体的な問題に限定されていますが、単純さを犠牲にすることなく、ほぼ線形の実行時間を実現しています。
「これがこの論文の驚くべきところです」とプロブスト・グーテンベルクは言いました。 「学部生に説明できるし、自分のパソコンにも実装できる」
その結果、この新しいアルゴリズムは、グラフ理論の他の問題への組み合わせアプローチへの関心を復活させました。 純粋な組み合わせアルゴリズムを使用して迅速に解決できる問題と、過去 20 年間に開発された継続的な技術を実際に必要とする問題はまだわかりません。
「これは私が理解しようとしている哲学的な問題です」と Nanongkai は言いました。 「この最短経路問題は希望を与えてくれます。」
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