概要
コンピュータ サイエンス (問題解決への方法論的アプローチで知られる分野) の最初の日から、ランダム性は重要な役割を果たしてきました。 世界初の汎用電子コンピューターで実行される最初のプログラムは、ランダム性を使用して核プロセスをシミュレートしました。 それ以来、同様のアプローチが天体物理学、気候科学、経済学で使用されてきました。 これらすべての場合において、プラグイン 乱数 アルゴリズムの特定のステップで、研究者は複雑なプロセスが実行される多くの方法についての不確実性を説明するのに役立ちます。
しかし、アルゴリズムにランダム性を追加すると、明確な真偽の質問に対する正しい答えを計算するのにも役立ちます。 「『OK、諦めよう、挑戦しないで、ランダムに何かを選んでみよう』と言うだけです」と彼は言いました。 エリック・ブレイス、ウォータールー大学のコンピューター科学者。 「問題が多すぎる場合、それは最終的に成功するアプローチになります。」
与えられた数が素数 (1 とそれ自体でしか割り切れない) か合成数 (他の整数でも割り切れる) かを判断したいとしましょう。 考えられるすべての因数で単純に除算することもできますが、この「強引な」方法やその他の因数分解アルゴリズムは、大きな数の場合、耐え難いほど遅くなります。 そして、その数が合成数であることが判明した場合、因数分解アルゴリズムはその約数の値を教えてくれます。これは、あなたが求めていたよりも多くの情報です。 数値の「素数性」だけに関心がある場合、より効率的なアルゴリズムはありますか?
ランダム性を使用する場合があります。 基本的な考え方は、17 世紀のフランスの数学者ピエール ド フェルマーの「小さな定理」 フェルマーは XNUMX つの整数を考えた — それらを呼ぶ N および x. 彼はそれを証明した N は素数です。 xN - x 常にの倍数です N、の値に関係なく x。 同様に、 xN - x の倍数ではありません Nをタップし、その後、 N 素数にはなりません。 しかし、逆のステートメントが常に真であるとは限りません。 xN - x の倍数です Nをタップし、その後、 N は常に素数ではありませんが、通常は素数です。
フェルマーの小定理を素数性テストに変えるには、 N 興味のあること、選択してください x ランダムに、XNUMX つの数字を xN - x. 結果が倍数でない場合 N、それで完了です: あなたはそれを知っています N 間違いなく合成です。 結果が倍数の場合 Nをタップし、その後、 N おそらくプライムです。 次に、別のランダムを選択します x そしてさらに試みる。 ほとんどの場合、数十回試行した後、ほぼ確実に次のように結論付けることができます。 N 素数です。 「これを数回行うと、どういうわけか、エラーが発生する確率は、今から答えを見るまでの間に小惑星が地球に衝突する確率よりも低くなります。」
最初の 素数性 テスト ランダム化されたアルゴリズム (フェルマーの小定理の改良に基づく) を使用して、新しい時代を迎えました。 次から次へと出てくる問題は、ランダムではない、または決定論的なアルゴリズムよりも、ランダム性の方がはるかに簡単に解決できることが判明しました。 重要なのは、各問題を、ある数値に適切な値が与えられた場合に迅速に解決できるものとして再構成することでした x、そしてほぼすべてのことを証明します x するでしょう。 研究者は、特定の選択が良いものかどうかを判断する方法がわかりませんが、ソリューションは機能します。 数学者は、この異常な挑戦は次のようなものだと冗談を言っています。 干し草の山で干し草を見つける.
しかし、これらの成功により、研究者は、隠された非ランダムなパターンを見つけることがすべてである素数性テストのような問題に、なぜランダム性が役立つのか疑問に思いました。 「それについては少し逆説的なことがあります」と彼は言いました ラフル・サンタナム、オックスフォード大学のコンピューター科学者。 「純粋なランダム性は、問題を解決する構造を理解するのに役立ちます。」
1994 年、コンピュータ科学者の Noam Nisan と アビ・ウィグダーソン ランダム性は有用ですが、おそらく必要ではないことを実証することで、この混乱を解決するのに役立ちました. 彼ら 証明 ランダム性を使用して効率的に解決できるすべての問題が高速な決定論的アルゴリズムを持っているか、または多くの悪名高い困難な問題がひそかに簡単であるかのいずれかです。 コンピューター科学者は、XNUMX 番目の可能性は非常に低いと考えています。
実際、コンピューター科学者は、ランダム化されたバージョンから始めて、それを「ランダム化解除」することにより、決定論的アルゴリズムを開発する方が簡単であることに気付くことがよくあります。 「一度それを手に入れたら、それを決定論的にするための非常に明白な方法が突然見えます」と彼は言いました. イーライ・アップファル、ブラウン大学のコンピューター科学者。 「しかし、確率論的な質問として無作為に考えていなければ、おそらく考えなかったでしょう。」
Nisan と Wigderson の画期的な証明から 30 年近く経った今でも、ランダム化されたアルゴリズムは相変わらず人気があります。 2002 人の研究者が素数性テストを非ランダム化する方法を発見したのは XNUMX 年のことでした。 彼らのアルゴリズム 最高のランダム化アルゴリズムよりもはるかに遅いです。 他の問題については、どこから始めればよいかを知ることさえ困難です。最もよく知られているアルゴリズムには、ランダム性によってのみ回避できるニワトリが先か卵が先かという問題があります。
これは、グラフ理論における最近のブレークスルーの場合です。 昨年、XNUMX 人のコンピューター科学者が開発した 高速アルゴリズム グラフ (線分で接続されたノードのウェブ) を通る最短経路を見つけるためのもので、一部の線分が合計経路長に追加されるのではなく、合計経路長から差し引かれても機能します。 彼らのアルゴリズムでは、特定のセグメントを削除してグラフを単純なものに変換し、単純化されたグラフの問題を解決してから、削除されたセグメントを考慮しました。 彼らは、あまりにも多くの削除されたセグメントを通過する最短経路がない場合、アルゴリズムが迅速に実行されることを証明できました。そうでない場合、最後のステップに時間がかかりすぎます。
しかし、そもそも削除するセグメントをどのように決定すればよいのでしょうか? 決定論的にセグメントの理想的なセットを見つけるのは難しいだけでなく、不可能です。 このセットは、XNUMX 人の研究者が解決しようとしていたまさにその問題である、どのパスが最も短いかによって異なります。 しかし、削除するのに最適なセグメントのセットを見つけることができなかったとしても、ほとんどのランダムな選択が非常に優れていることを証明でき、それで自己参照ループを断ち切るのに十分でした. まれに、アルゴリズムが不運な選択をし、最後のステップで動かなくなった場合、アルゴリズムを停止して再度実行することができます。
「ランダム性とは基本的に、最適解を知らなくても、最適解について何かが正しいことを保証する方法です。」 アーロン・バーンスタイン、新しいアルゴリズムの作成者の XNUMX 人。
ランダム性は、暗号化からゲーム理論、機械学習に至るまで、コンピュータ サイエンスで無数の用途を発見しました。 たぶん、それはここにとどまります。
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