本サイトの パズルタスク 先月は Star Trek 率いるXNUMX人の水上パーティー Enterprise コミュニケーション担当 ウフーラ大尉 （故人が演じた ニシェル·ニコルズ）。 乗組員は、エイリアンの種族であるカテナティによって、ある惑星に投獄されています。 ネックレス星雲. 逃げるために、彼らは最初は成功する可能性が低いと思われるタスクを実行する可能性を最大化する必要があります。
XNUMX 人の乗組員は、自由にコミュニケーションを取り、戦略を立てることができる談話室に一時的に収容されている間に、タスクについて知らされます。 数時間後、ルーレット チャンバーと呼ばれる部屋に XNUMX 人ずつ案内されます。 この部屋には XNUMX つのボタンが一列に並べられており、それぞれが異なる乗組員に応答するようにプログラムされています。 乗組員を誤解させるために、各ボタンには別の乗組員の名前がランダムに表示されています。 各乗組員は、任意の順序で最大 XNUMX つのボタンを押すことができます。 ボタンを押すたびに、ボタンが実際に誰に属しているかがわかります。 XNUMX 回の試行で、自分に割り当てられたボタンを見つけなければなりません。 乗組員が自由になるには、全員がこの任務に成功する必要があります。 XNUMX つでも失敗すると、すべてが実行されます。 乗組員が試みを完了した後、彼らは隔離され、他の乗組員に情報を渡す方法はありません。
成功の可能性は非常に低いようです。 乗組員がボタンをランダムに選択した場合、それぞれが 1 分の 2 の確率でボタンを見つけます。 1 つすべてが成功する確率は、わずか 256 分の 0.4、つまり約 XNUMX% です。
しかし、ランダムにボタンを押す必要はありません。 成功の確率を高める XNUMX つの方法は、何らかの方法ですべてのボタンを押すことを均等にすることです。 これにより、最初のパズルの問題が発生します。
パズル1
XNUMX つのボタンをランダムに押すのではなく、各ボタンを同じ頻度で押すと、乗組員の生存確率はどのくらい向上しますか?
ロブ・コレット & ジェイペイエット 彼らは他のすべての質問と同様に、これによく答えました。 このコラムのパズルの背後にあるとらえどころのない中心的なアイデアについては、Rob Corlett、JPayette、 ヨーニ・セッパネン それを美しく描写しながら、 サシャ・ブニョン コンピュータソリューションに貢献しました。
ロブ・コーレットの答えは次のとおりです。
各ボタンが同じ回数だけ押されるようにする 4 つの方法は、囚人を XNUMX 人ずつの XNUMX つの同じサイズのグループに分けることです。
各グループは、グループのメンバーに対応するボタンのみを押します。 したがって、A、B、C、および D がすべて同じサブグループに属している場合、A、B、C、および D のボタンのみを押します。
これにより、問題は、すべての囚人が正しいグループに割り当てられる確率を求めることに変わります。そうすれば、囚人は XNUMX 回以下のプレスでボタンを押すことが保証されます。
最初のグループ (したがって 4 番目のグループも) に 8 人を配置する方法の数は、8 から 4 を選択する方法の数であり、C(70, 70) = XNUMX です。したがって、方法の総数は全員を XNUMX つのグループに割り当てると XNUMX になります。
各囚人を適切なグループに正しく割り当てる割り当ては 1 つしかないため、全員が適切なグループに属し、すべての囚人が生き残る確率は 70/3.66 であり、前の戦略の 1/256 よりも 1.4 倍優れています。 [しかし、まだ非常に小さい: わずか XNUMX% の確率です。]
パズル2
元の悲惨なオッズを 90 倍以上、約 36.5% に改善する方法があります。これは奇跡的に思えます! この戦略には、推測のループまたはチェーンの使用が含まれます。したがって、ネックレス星雲とカテナティへの言及 (チェーン チェーンのラテン語です）。 戦略の基本的な形式では、各乗組員は自分の名前の付いたボタンを押すことから始め、次に最初のボタンが実際に属していた乗組員の名前が付いたボタンに進み、名前の連鎖を作成します.
これが実際にどのように機能するか見てみましょう。 図では、ボタンは白のラベルで示されています。 以下の青い文字は、ボタンの真の所有者を示しています。 最初の乗組員である A がルーレット室に入ると、最初にボタン A を押します。 これは C のボタンなので、次に C を押し、次に E を押し、最後に F を押します。これは実際には A 自身のボタンなので、XNUMX 回の試行で見つけることができました。 ボタン ACEF は XNUMX つのボタンの閉じたループを形成することに注意してください。 乗組員 C、E、F が交代するときも、同じ閉ループをそれぞれの場所から開始し、XNUMX 回の試行で自分のボタンを見つけます。
この配置には、それぞれ 4 つのボタンからなる 5 つの小さなループ (BD と GH) もあります。 これら 5 人の乗組員は、6 回の試行で自分のボタンを見つけます。 したがって、この取り決めにより、乗組員全員が成功し、自由を獲得することになります。 アレンジメントに長さ 7 以下のループのみが含まれている場合、すべての乗組員が成功し、解放されることは明らかです。 一方、8 回以上のループが 1 つある場合、そのループの乗組員全員が 5 回の試行でボタンを見つけることができず、乗組員は処刑されます。 成功の確率を求めるには、6、7、8、または XNUMX のループが発生する確率を見つけて、それらを合計し、その合計を XNUMX から引きます。これは他の方法よりも簡単に計算できます。ボタンの場合、XNUMX、XNUMX、XNUMX、または XNUMX 個のメンバーを持つループは XNUMX つしか存在できません。
8つあります！ 8 つのボタンを配置するさまざまな方法。 しかし、ループを作成すると、同じループがこれらの配置の 8 つを占めます (ABCDEFGH は BCDEFGHA と同じループを形成し、これは CDEFGHAB と同じです)。 したがって、サイズ 8 のループが発生する確率は (8!/1)/8!、つまり 7/1 です。 同様に、サイズ 7 のループの確率は 6/1、サイズ 6 のループの確率は 5/1、サイズ 5 のループの確率は 1/1 です。 したがって、先に述べたように、勇敢な乗組員の成功確率は 5 − (1/6 + 1/7 + 1/8 + 36.5/XNUMX)、つまり XNUMX% です。
上記の戦略は、囚人の数に関係なく機能し、その数が増加するにつれて、ランダムなアプローチよりもオッズの改善が急速に増加します。 24 人で約 93 倍、3.8 人で 10 倍、XNUMX 人で XNUMX 倍と驚くべき (XNUMX × XNUMX29)-100人の囚人のために折ります。 この膨大な増加を理解するための鍵は、メソッドがグループの各メンバーの成功または失敗を他のメンバーの成功または失敗に結び付けるということです。 非常に多くの場合、それらはすべて一緒に成功または失敗します。 グループの成功の確率は、50 人の囚人の場合よりも大きく低下することはなく、囚人の数が無制限に増加しても、30.69 人の囚人の XNUMX% から XNUMX% に低下するだけです。 一方、無作為なアプローチや「偶数ボタンを押す」アプローチでさえ成功する可能性は、少数の囚人でさえゼロに非常に近くまで急速に低下します。
この戦略の背後にあるロジックがまだ曖昧に思われる場合は、この 100 人の囚人の問題の分析を次に示します。 Veritaium による優れたビデオ.
パズル3
このパズルは、ウフーラ中尉が子供の頃のゲームを思い出すというもので、基本的に同じパズルでしたが、XNUMX 人用でした。 ヒントとして、XNUMX 人で問題を解くことを提案しました。 式ができたので、確率を簡単に計算できます。
2 人の場合、最長ループがちょうど 1 または 1 である確率は、1 − (3/1 + 4/41.7) または XNUMX% で、無作為選択よりも XNUMX 倍のゲインがあります。
3 人の場合、最長ループが 2、1、または 1 である確率は、1 − (4/1 + 5/1 + 6/38.3) または 24% で、無作為選択よりも XNUMX 倍以上のゲインがあります。
パズル4
私たちの話が続くにつれて、カテナティのXNUMX人が特別な嫌悪感を抱いていることが判明しました Enterprise 乗組員とそれらをリモートで監視しています。 彼は、彼らがウフーラのダイアグラムに基づいた効果的な戦略を思いついたのではないかと疑っています。 彼は、部屋に忍び込み、ルーレットが始まる前に意図的にボタン ラベルの順序を変更することで、彼らの計画を失敗させることを決意しました。 彼は計画を阻止することができるでしょうか? 上陸部隊が隠蔽するために特に注意しなければならないことは何ですか?
乗組員の戦略に関する議論の非常に早い段階で、ウフーラの目は突然細められました. 彼女は乗組員に合図を送り、ニコレス語で話すことに切り替え、「これ以上の議論はすべてニコレス語でお願いします」と発表しました。 ニコレス語は、ウフーラがキャリアの初期に発明した新しい言語で、この種の状況のために、普遍的な翻訳者の使用を回避するために考案されました。 「疑わしいカテナティに気づいたにちがいない」と彼女は続けた。 「彼は私たちを妨害しようとする可能性があるので、計画を修正する必要があります。 これが私たちがしなければならないことです…」
ウフーラは、乗組員全員がそれを完全によく知っていることに満足するまで、新しい計画の概要を説明しました。 それから彼女は、遠く離れた目を見つめながら、考え込みました。 宇宙艦隊が私たちのすべての船でそれを標準にするように主張したことをうれしく思います。」
彼女は乗組員に戻った。 「それだけです、警官。 あなたは何をするべきか知っています！"
ウフラが彼女のチームに何を話したのか正確にはわかりません。 しかし、JPayette と Rob Corlett にはかなり良いアイデアがありました。 再びロブ・コーレットです：
邪悪なカテナティがこの戦略を採用していると聞いた場合、ディスプレイに表示される名前を切り替えて、サイクルが 4 より長くなるようにすることができます。
これを破るには、囚人はシーケンスをランダム化する秘密の順序に同意する必要があります。 彼らは、「ウフーラの名前が表示されたら、チェコフとマークされたボタンに移動してください。 チェコフの名前が表示されている場合は、スミスなどとマークされたボタンに移動してください。」
このように、乗組員がディスプレイ上の名前に応答する方法を知っている場合にのみ機能するため、カテナティによる並べ替えは問題ではありません。 ただし、並べ替えの秘密を保持する必要があります。そうしないと、再び壊れる可能性があります。
私たちが見たように、ウフーラは秘密が安全に保たれることを保証しました. 乗組員の各メンバーは、同じ秘密の命令を使用して、邪悪なカテナティがそれが何であるかを知らないようにする必要がありました. 実際、邪悪なカテナティによる変更された命令は、実際に乗組員の成功の確率を高めました!
これが起こったことです。 最初にルーレット室に連れて行かれたのはウフーラでした。 彼女は XNUMX つのボタンを押しました。 どれも彼女のものではありませんでした。 彼女は悲しむべきですか、それとも喜ぶべきですか？ 彼女は息を止めて XNUMX 回目を押した。 彼女は本当のボタンを見つけました！
彼女は彼ら全員が救われることを知っていました。
パズル5
上陸部隊の規模が無期限に増加すると、最大成功率はどの限界に近づきますか? この方法がランダムにボタンを押すよりもはるかに効率的である理由を説明できますか?
JPayette さんが書きました:
上記のすべては、乗組員 2 人に直接一般化されます。n メンバーはそれぞれ最大で押すことができます n ボタン。 パズル 2 から、彼らの成功の可能性は
1 - (総和 k の間に n + 1 と 2n 1 /k).
合計は 1/ の積分と比較できます。x インターバル[n、2n]、これにより、次のように証明できます。 n が無限大になると、上記の確率は減少し、驚異的な 1 − ln(2) ≈ 30.6% に収束します。 [実際には、小数点以下 30.69 桁まで XNUMX%]
ロブ・コーレットは次のように付け加えました。
積分がわからない場合は、スプレッドシートを使って計算することで、おおよその答えをすぐに得ることができます。 一度0.307になりました n 約 750 に達しました。これは小数点以下 3 桁までの精度です。
この方法が機能する理由については既に説明しました。 1 より長いすべてのループは、複数のクルー メンバーによって共有されます。 そのため、それらの成功と失敗には高い相関関係があります。 これは、「すべては XNUMX つで、XNUMX つはすべてで」という原則の説明です。 宇宙艦隊のマニュアルからそのまま！
すべての貢献者に感謝します。 JPayette と Rob Corlett は両方とも、このソリューション コラムがほとんど冗長に思えるほどの価値ある回答を提出しました。 残念ながら、パズル列ごとに勝者を XNUMX 人選ぶというルールを守らなければなりません。 インサイト賞は、ここと前のパズルへの貢献が認められた JPayette に贈られます。 おめでとう！ Rob Corlett さん、あなたの貢献は忘れられません。
来月の新しいインサイトでお会いしましょう!
