アルバート・アインシュタインが一般相対性理論を発表してから1919世紀以上が経ち、彼の壮大な重力理論は、それが受けたすべての実験的テストに合格しました。 一般相対性理論は、重力の理解を変え、長い間保持されてきたような巨大な物体間の引力としてではなく、質量とエネルギーの存在下での時空曲線の結果として描写しました。 この理論は、2019年に太陽の重力場で光が曲がるという確認から、ブラックホールのシルエットを明らかにしたXNUMX年の観測まで、驚くべき勝利を収めました。 それなら、一般相対性理論がまだ進行中であると聞いて驚くかもしれません。
1915年にアインシュタインが導入した方程式は、巨大な物体によって引き起こされる曲率に関するものですが、この理論は、物体の質量を決定する簡単な方法や標準的な方法を提供していません。 角運動量（時空におけるオブジェクトの回転運動の尺度）は、概念を定義するのがさらに困難です。
いくつかの問題は、一般相対性理論に組み込まれているフィードバックループに起因します。 物質とエネルギーは時空の連続体を湾曲させますが、この曲率はそれ自体がエネルギー源になり、追加の曲率を引き起こす可能性があります。これは「重力の重力」と呼ばれることもあります。 そして、この非線形効果から生じる余分なエネルギーからオブジェクトの固有の質量を分離する方法はありません。 さらに、最初に質量をしっかりと把握しなければ、運動量または角運動量を定義することはできません。
アインシュタインは、質量の定量化に伴う課題を認識しており、質量とは何か、または質量をどのように測定できるかを完全に説明することはありませんでした。 最初の厳密な定義が提案されたのは、1950年代後半から1960年代初頭になってからでした。 物理学者のリチャード・アルノウィット、スタンレー・デザー、チャールズ・マイスナー 定義済みの 時空がほぼ平坦で、物体の重力の影響がゼロに近づく、ほぼ無限に遠くから見た、ブラックホールなどの孤立した物体の質量。
質量を計算するこの方法（著者の後に「ADM質量」として知られている）は有用であることが証明されていますが、物理学者が有限領域内の質量を定量化することはできません。 たとえば、彼らが合併の過程にあるXNUMXつのブラックホールを研究していて、システム全体の質量ではなく、合併の前に個々のブラックホールの質量を決定したいとします。 重力と時空の曲率が非常に強い可能性がある、その領域の表面から測定された、個々の領域内に囲まれた質量は、「準局所質量」と呼ばれます。
2008年、数学者 王慕道 コロンビア大学と シントゥンヤウ、現在は中国の清華大学の教授であり、ハーバード大学の名誉教授であり、 準局所質量の高度な定義 それは特に実り多いことが証明されました。 2015年には、彼らと共同作業者が 定義します 準局所角運動量。 そしてこの春、それらの著者とXNUMX人目の協力者 公表 「超並進不変」である角運動量の初めての、長い間求められていた定義。これは、観測者がどこにいるか、または観測者がどの座標系を選択するかに依存しないことを意味します。 このような定義により、観測者は、原則として、回転する物体によって生成される時空の波紋を測定し、重力波として知られるこれらの波紋によって物体から運び去られる角運動量の正確な量を計算できます。
「それは素晴らしい結果です」 リディア・ビエリミシガン大学の数学者で一般相対性理論の専門家である、は、2022年XNUMX月の論文について、「そして数年にわたる複雑な数学的調査の集大成」と述べました。 実際、一般相対性理論のこれらの側面の開発には、数年だけでなく数十年もかかりました。
準ローカルにとどまる
1960年代に、スティーブンホーキングは準局所質量の定義を思いつきました。これは、その単純さのために、ある状況では今日でも好まれています。 ブラックホールの事象の地平線（その目に見えない球形の境界）に囲まれた質量を計算しようとしています。ホーキングは、入ってくる光線と出て行く光線がその中に含まれる物質とエネルギーによって曲げられる程度を決定することによって、任意の球の内側の質量を計算できることを示しました。 「ホーキングマス」は計算が比較的簡単であるという利点がありますが、定義は球対称の時空（現実の世界では完全に丸いものはないため理想的な状態）または「静的」のいずれかでのみ機能します。 （そしてむしろ退屈な）時空は時間的に何も変わらない。
より用途の広い定義の検索が続けられました。 1979年のプリンストン大学での講演で、ブラックホール物理学の別のパイオニアである英国の数学物理学者ロジャーペンローズは、準局所質量を特徴づけるタスクを特定しました。意味のある定義が必要な概念」—一般相対性理論における最大の未解決の問題として。 準局所角運動量の定義は、ペンローズのリストでXNUMX番目にランクされています。
その年の初め、ヤウと彼の元学生 リチャード・シェーン、現在スタンフォード大学の名誉教授であり、 証明 これらの準ローカル定義を確立するための主要な前提条件。 つまり、彼らは、孤立した物理システムのADM質量（無限に遠くから測定された質量）が決して負になることはないことを示しました。 Schoen-Yauの「正値質量予想」は、準局所質量やその他の物理量を定義するための重要な最初のステップを構成しました。時空とその中のすべては、エネルギーに床がない場合は不安定になりますが、代わりに負になり、無制限に落下し続ける可能性があるためです。 。 （1982年に、Yauは、正値質量予想に関する彼の研究の一部として、数学で最高の栄誉であるフィールズ賞を受賞しました。）
1989年、オーストラリアの数学者ロバート・バルトニク 提供 その定理に依存した準局所質量の新しい定義。 Bartnikのアイデアは、サーフェスで囲まれた有限サイズの領域を取得し、それをさらに大きな領域のサーフェスの多くのレイヤーで包むことによって、有限サイズを無限サイズのXNUMXつに拡張し、そのADM質量を計算できるようにすることでした。 しかし、バルーンの表面積を均一に膨らませたり、さまざまな方向に伸ばしたりして、それぞれが異なるADM質量を生成できるように、この領域はさまざまな方法で拡張できます。 取得できるADM質量の最小値は、Bartnikによると、準局所質量です。 「正の質量予想の前には議論は不可能だったでしょう」と王は説明しました。「そうでなければ質量は負の無限大になる可能性があり、最小質量は決して確認できませんでした。
コネチカット大学の数学者によると、バルトニックの質量は数学の重要な概念でした。 蘭玄黄、しかし、その主な欠点は実用的なものです。最小値を見つけることは非常に困難です。 「準局所質量の実際の数を計算することはほとんど不可能です。」
物理学者のDavidBrownとJamesYork 思い付いた 1990年代のまったく異なる戦略。 彼らは物理システムをXNUMX次元の表面で包み、その曲率に基づいてその表面内の質量を決定しようとしました。 ただし、ブラウンヨーク法の問題のXNUMXつは、完全に平坦な時空で間違った答えが返される可能性があることです。準局所質量は、ゼロであっても正になる可能性があります。
それでも、このアプローチは、WangとYauによる2008年の論文で利用されました。 ブラウンとヨークの研究、およびヤウがコロンビアの数学者と行った研究に基づいて構築 メリッサ・リュー、WangとYauは、完全に平坦な空間での正の質量の問題を回避する方法を見つけました。 彼らはXNUMXつの異なる設定で表面の曲率を測定しました：「自然な」設定、私たちの宇宙を表す時空（曲率はかなり複雑になる可能性があります）、および完全に平らなミンコフスキー空間と呼ばれる「参照」時空それは問題がないからです。 これらのXNUMXつの設定の間の曲率の違いは、表面内に閉じ込められた質量、つまり準局所的な質量によるものであると彼らは推測しています。
彼らの定義は、論文で述べられているように、「準局所質量の有効な定義に必要なすべての要件」を満たしていました。 とはいえ、彼らのアプローチには、その適用性を制限するXNUMXつの特徴があります。「私たちの定義は非常に正確ですが、それは常にいくつかの非常に難しい非線形方程式を解くことを伴います。」 このアプローチは理論的には優れていますが、実際にはしばしば厳しいものです。
あいまいな角度
2015年、王とヤウは ポーニンチェン カリフォルニア大学リバーサイド校の学部長は、準局所的な角運動量の定義に着手しました。 古典力学では、円内を移動する物体の角運動量は、その質量×速度×円の半径によって単純に与えられます。 保存されているため、測定するのに便利な量です。つまり、物の間を通過しますが、作成または破壊されることはありません。 物理学者は、角運動量がオブジェクトと環境の間でどのように交換されるかを追跡して、システムのダイナミクスを洞察することができます。
表面に囲まれた準局所角運動量を定義するために、Wang、Yau、ChenはXNUMXつのことを必要としました。それは、時空で回転がどのように機能するかについての詳細な知識とともに、彼らが持っていた準局所質量の定義です。 以前と同様に、彼らは最初に可能な限り単純な環境であるミンコフスキー時空間に表面を埋め込みました。これは、それが間違いなく平坦であり、したがってすべての方向が同じに見える回転対称の特性を持っているために選択されました。 回転対称性により、研究者は、速度と距離の測定に使用する座標系の原点をどこに配置するかに依存しない方法で、準局所角運動量を定義できました（原点は、 x, y, z, t 軸が交差します）。 次に、ミンコフスキー時空の表面上の点と、元の（自然な）時空に配置されたときの同じ表面上の点との間にXNUMX対XNUMXの対応を確立し、後者の設定でも座標の独立性を確保しました。
その後、トリオは イェカイワング 約60年間未解決のままであった問題に取り組むために国立成功大学の準局所的な角運動量の定義は、このタスクでは機能しません。これは、測定がブラックホールの合体に近接するのではなく、渦潮から遠く離れて行われる必要があるためです。 適切な視点は「ヌルインフィニティ」と呼ばれ、ペンローズによって発明された概念であり、重力と電磁気の両方で外向きに移動する放射線の最終的な目的地を指します。
一般相対性理論でよくあることですが、新たな問題が発生します。重力波によって輸送される角運動量は、ヌル無限大（または妥当な複製となるのに十分な距離）で測定されたとしても、原点と方向の選択によって異なるように見える場合があります。オブザーバーの座標系の。 難しさは「重力波記憶効果」—重力波が時空を通過するとき、それらは永久的な痕跡を残すという事実。 波は時空を一方向に拡大し、直交方向に縮小します（これは、LIGOやVirgoなどの重力波観測所によって検出された信号です）が、時空が正確に初期状態に戻ることはありません。 「重力波を通過すると、物体間の距離が変化します」と説明しました イアンナフラナガン、コーネル大学の一般相対主義者。 「波は観測者を少し動かすこともできます…しかし、彼らは彼らが動かされたことを知りません。」
これは、異なる観測者が最初に座標系の原点がどこにあるかについて同意したとしても、重力波が物事を揺さぶった後は同意しないことを意味します。 その不確実性は、角運動量のそれぞれの評価において、「超翻訳」と呼ばれる曖昧さをもたらします。 超並進を理解する別の方法は、物体の質量もその速度も通過する重力波によって歪められることはないが、その回転運動の半径は歪むことになるということです。 座標系に対する半径の方向によっては、重力放射によって半径が引き伸ばされたり、縮んだりするように見える場合があり、角運動量のさまざまな決定につながる可能性があります。
保存された物理量は、ラベル付けの方法に基づいて変化したり、変化しているように見えたりすることはありません。 それが、チェン、ワン、ワン、ヤウが是正を望んでいた状況でした。 2015年の準局所角運動量の定義から始めて、彼らは有限半径の領域内に含まれる角運動量を計算しました。 次に、半径が無限大になるにつれてその量の限界を取りました。これにより、座標に依存しない準局所的な定義が、ヌルの無限大で超変換不変量に変わりました。 角運動量のこの初めての超翻訳不変定義で、XNUMX月に公開されました 理論的および数理物理学の進歩、原則として、ブラックホールの衝突中に放出される重力波によって運び去られる角運動量を決定することができます。
「これは素晴らしい論文であり、素晴らしい結果です」と述べました。 マーカス・クリ、ニューヨークのストーニーブルック大学の数学者、「しかし、問題は、それがどれほど役立つかということです。」 彼は、新しい定義は抽象的で計算が難しいと説明しました。「そして、一般的に言って、物理学者は計算が難しいものが好きではありません。」
ユニークな選択
しかし、計算が難しいのは、一般相対性理論のほとんど避けられない特徴です。 高度に対称的な状況を除いて、アインシュタインが1915年に定式化した非線形方程式を正確に解くことさえ通常は不可能です。 代わりに、研究者は近似解を得るためにスーパーコンピューターに依存しています。 それらは、時空を小さなグリッドに分割し、各グリッドの曲率を別々に、そして別々の瞬間に推定することによって、問題を管理しやすくします。 グリッドを追加すると、高解像度テレビにピクセルを追加するのと同じように、近似値が向上する可能性があります。
これらの近似により、研究者は、LIGOおよびVirgo天文台によって検出された重力波信号に基づいて、ブラックホールまたは中性子星の合体の質量と角運動量を計算できます。 によると ビジェイ・ヴァルマ、ドイツのポツダムにあるMax Planck Institute for Gravitational Physicsの物理学者であり、LIGOコラボレーションのメンバーである現在の重力波の観測は、超翻訳によって引き起こされる微妙な違いが目立つほど正確ではありません。 「しかし、私たちの観測の精度が10倍良くなると、それらの考慮事項はより重要になります」とVarmaは言いました。 彼は、その秩序の改善は2030年代にすぐに実現できると指摘した。
フラナガンは別の見方をしており、超翻訳は「修正する必要のある問題ではない」が、一般相対性理論における角運動量の必然的な特性であり、私たちが生きる必要があると主張しています。
物理学者 ロバート・ウォールドシカゴ大学の一般相対性理論の専門家であるは、フラナガンの見解をある程度共有しており、超翻訳は実際の問題というよりも「不便」であると述べています。 それにもかかわらず、彼はChen、Wang、Wang、およびYauの論文を注意深く検討し、証拠が十分に保持されていると結論付けています。 「それは本当に超翻訳の曖昧さを解決している」とウォルド氏は付け加え、「一般相対性理論では、これらすべての代替定義から選択できる場合」、「独自の選択」を選択できるのは素晴らしいことだ。
1970年代からこれらの量の定義に取り組んできたYauは、長い目で見ています。 「数学からのアイデアが物理学に浸透するまでには長い時間がかかる可能性があります」と彼は言いました。 彼は、角運動量の新しい定義が今のところ使われなくなったとしても、LIGOと乙女座の科学者は常に何かを概算していると述べました。 しかし、最終的には、概算しようとしていることが何であるかを知ることは良いことです。」
編集者注：Po-Ning Chenは、この編集上独立した雑誌もサポートしているSimonsFoundationから資金提供を受けています。
