数学者はサイコロを振ってジャンケンを得る

ビル・ゲイツが物語っているように、ウォーレン・バフェットはかつて彼にサイコロのゲームを挑んだ。 それぞれがバフェットに属する 1 つのサイコロから 6 つを選択し、それらを転がして数字の大きい方が勝ちます。 これらは標準的なサイコロではありませんでした — 通常の XNUMX から XNUMX までとは異なる数字の組み合わせがありました。 しかし、サイコロを調べた後、ゲイツは対案を返しました。バフェットが最初に選ぶべきです。

ゲイツは、バフェットのサイコロが奇妙な特性を示していることを認識していました。 ゲイツが最初に選んだ場合、どのサイコロを選んでも、バフェットはそれを打ち負かすことができる別のサイコロを見つけることができたでしょう (つまり、勝つ可能性が 50% を超えるサイコロ)。

バフェットの XNUMX つのサイコロ (それらを呼び出す A, B, C & D) はじゃんけんを連想させるパターンを形成し、 A ビート B, B ビート C, C ビート D & D ビート A. 数学者は、そのようなサイコロのセットは「自動詞的」であると言います。

「[自動詞のサイコロ] が存在することすら、まったく直感的ではありません」と彼は言いました。 ブライアン・コンリー、サンノゼのアメリカ数学研究所 (AIM) の所長で、2013 年にこのテーマに関する影響力のある論文を書きました。

数学者たちは、 最初の例 50年以上前の自動詞サイコロの、そして最終的には 証明 ますます多くの面を持つサイコロを考えると、任意の長さの非推移的なサイクルを作成することが可能です。 数学者が最近まで知らなかったのは、自動詞サイコロがどれほど一般的であるかということでした。 そのような例を注意深く考案する必要がありますか?それとも、サイコロを無作為に選んで、自動詞のセットをうまく見つけることができるでしょうか?

XNUMXつのサイコロを見て、それを知っていれば A ビート B & B ビート C、それはその証拠のようです A 最強です。 状況 C ビート A 珍しいはずです。 実際、サイコロの数字の合計が異なる合計になることが許される場合、数学者はこの直感が正しいと信じています。

しかし、 オンラインで投稿された論文 昨年末、別の自然環境では、この直感が見事に失敗したことが示されました。 サイコロが通常のサイコロに表示される数字のみを使用し、通常のサイコロと同じ合計になるようにする必要があるとします。 次に、紙が示したのは、 A ビート B & B ビート C, A & C 互いに勝つ可能性は本質的に等しい。

"知っています A ビート B & B ビート C かどうかについての情報を提供しないだけです A ビート C、 " ティモシー・ガワーズ ケンブリッジ大学の、フィールズのメダリストであり、Polymath プロジェクトとして知られるオープンなオンライン コラボレーションによって証明された新しい結果への貢献者の XNUMX 人です。

一方、別の 最近の論文 XNUMX つ以上のサイコロのセットを分析します。 その発見は間違いなくさらに逆説的です: たとえば、XNUMX つのサイコロを無作為に選び、 A ビート B, B ビート C & C ビート D、それからそれはわずかです 他には？ おそらく D 打つ A 逆より。

強くも弱くもない

最近の結果の急増は、約 XNUMX 年前にコンリーが自動詞サイコロを扱うセッションで数学教師の集まりに出席した後に始まりました。 「そのようなものが存在する可能性があるとは思いもしませんでした」と彼は言いました。 「私は彼らに魅了されました。」

彼は決めた（後に彼の同僚が加わった） ケントモリソン AIM で) 彼が指導していた XNUMX 人の高校生 (ジェームズ・ギャバード、ケイティ・グラント、アンドリュー・リュー) と一緒にこのテーマを探求しました。 グループは、無作為に選ばれたサイコロが自動詞サイクルをどのくらいの頻度で形成するのか疑問に思いました。

サイコロの面の数の合計が異なる合計になる場合、自動詞のサイコロのセットはまれであると考えられます。 そこで、チームは 1 つの特性を持つサイコロに注目することにしました。まず、サイコロは標準のサイコロと同じ数字を使用します — XNUMX から nの場合、 n-サイドダイ。 次に、面の数を合計すると、標準のサイコロと同じ合計になります。 ただし、標準のサイコロとは異なり、各サイコロはいくつかの数字を繰り返し、他の数字を除外する場合があります。

六面体のサイコロの場合、これら 32 つの特性を持つサイコロは XNUMX 個しかありません。 そのため、コンピューターの助けを借りて、チームはすべてのトリプルを特定できました。 A ビート B & B ビート C. 研究者たちは、驚いたことに、 A ビート C 1,756 トリプルで C ビート A 1,731 個のトリプルで、ほぼ同じ数です。 この計算と XNUMX 面以上のサイコロのシミュレーションに基づいて、 チームが推測した サイコロの面の数が無限に近づくと、その確率は A ビート C 50%に近づいています。

アクセシビリティとニュアンスが融合したこの予想は、多くの数学者がオンラインで集まってアイデアを共有する Polymath プロジェクトの良い材料として Conrey を驚かせました。 2017 年半ば、彼はこのアイデアを、Polymath アプローチの創始者である Gowers に提案しました。 「その驚くべき価値のために、私はその質問がとても好きでした」とガワーズは言いました. 彼は書いた ブログ投稿 コメントの嵐を集めた推測について、そしてXNUMXつの追加の投稿の過程で、コメント投稿者はそれを証明することに成功しました.

彼らの論文では、 オンライン投稿 2022 年 XNUMX 月下旬、証明の重要な部分は、ほとんどの場合、XNUMX つのサイコロが強いか弱いかについて話すのは意味がないことを示すことです。 バフェットのサイコロは、どれも最強ではありませんが、それほど珍しいものではありません.Polymathプロジェクトが示したように、ランダムにサイコロを選ぶと、他のサイコロの約半分を打ち負かし、残りの半分に負ける可能性が高い. 「ほぼすべてのサイコロはかなり平均的です」と Gowers 氏は言います。

このプロジェクトは、AIM チームの元のモデルから 122556 つの点で逸脱していました。いくつかの技術を単純化するために、プロジェクトではサイコロの数字の順序が重要であると宣言しました。たとえば、152562 と XNUMX は XNUMX つの異なるサイコロと見なされます。 しかし、Polymath の結果と AIM チームの実験的証拠を組み合わせることで、元のモデルでもこの​​予想が正しいという強い推定が得られる、と Gowers 氏は述べています。

「彼らがこの証拠を思いついたことをとてもうれしく思います」とコンリーは言いました。

XNUMX つ以上のサイコロのコレクションに関しては、AIM チームは XNUMX つのサイコロの場合と同様の動作を予測していました。 A ビート B, B ビート C & C ビート D 次に、おおよそ50-50の確率があるはずです D ビート A、サイコロの面の数が無限に近づくにつれて、正確に 50-50 に近づきます。

この推測を検証するために、研究者は 50、100、150、および 200 の面を持つ XNUMX つのサイコロのセットについて、XNUMX 対 XNUMX のトーナメントをシミュレートしました。 シミュレーションは、XNUMX つのサイコロの場合ほど厳密には予測に従わなかったが、予想に対する彼らの信念を強化するのに十分に近かった. しかし、研究者は気付いていませんでしたが、これらの小さな不一致は別のメッセージを伝えていました.XNUMXつ以上のサイコロのセットについては、彼らの推測は誤りです.

「私たちは本当に[予想]が真実であることを望んでいました.それはクールだからです.

サイコロがXNUMXつの場合、 エリザベッタ・コルナキア スイス連邦工科大学ローザンヌ校および ヤン・ホンズワ ルワンダのキガリにあるアフリカ数理科学研究所の 紙 2020年後半にオンラインで投稿された場​​合 A ビート B, B ビート C & C ビート Dをタップし、その後、 D 勝つ確率は50%よりわずかに高い A —おそらく52％前後のどこかだとHązłaは言いました。 (Polymath の論文と同様に、Cornacchia と Hązła は AIM の論文とは少し異なるモデルを使用しました。)

Cornacchia と Hązła の発見は、原則として、XNUMX つのサイコロは強くも弱くもありませんが、一対のサイコロには共通の強さの領域がある場合があるという事実から生じています。 Cornacchia と Hązła が示したように、無作為に XNUMX つのサイコロを選ぶと、サイコロが相関する確率がかなり高くなります。同じサイコロに勝ったり負けたりする傾向があります。 「互いに近い XNUMX つのサイコロを作成するように依頼すると、それが可能であることがわかります」と Hązła 氏は言いました。 相関関係のこれらの小さなポケットは、少なくとも XNUMX つのサイコロが画像に表示されるとすぐに、トーナメントの結果を対称から遠ざけます。

最近の論文は話の終わりではありません。 Cornacchia と Hązła の論文は、サイコロ間の相関関係がトーナメントの対称性をどのように不均衡にするかを正確に明らかにし始めたばかりです。 それまでの間、自動詞のサイコロのセットがたくさんあることがわかっています。ビル・ゲイツをだまして最初に選択させるほど巧妙なサイコロもあるかもしれません。