アダマール テストと近似振幅制約を使用した量子ゴーマンス ウィリアムソン アルゴリズム

アダマール テストと近似振幅制約を使用した量子ゴーマンス ウィリアムソン アルゴリズム

タイムスタンプ：12年2023月8日午前29時XNUMX分

テイラー・L・パティ1,2、ジャン・コサイフィ2、アニマ・アナンドクマール3,2、スザンヌ・F・イェリン1

1米国マサチューセッツ州ケンブリッジのハーバード大学物理学部02138
2NVIDIA、サンタクララ、カリフォルニア 95051、米国
3カリフォルニア工科大学 (Caltech)、コンピューティング + 数理科学学部 (CMS)、パサデナ、カリフォルニア州 91125 米国

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抽象

半正定プログラムは、難しい組み合わせ問題の近似など、幅広い用途に使用できる最適化手法です。 このような半定値プログラムの 1 つは、一般的な整数緩和手法である Goemans-Williamson アルゴリズムです。 半正定計画を近似的に解くために、$n{+}2$ 量子ビット、定数の回路準備、および $text{poly}(n)$ 期待値のみを使用する Goemans-Williamson アルゴリズムの変分量子アルゴリズムを導入します。最大 $N=XNUMX^n$ の変数と $M sim O(N)$ 制約を使用します。 効率的な最適化は、目的行列を補助量子ビットで条件付けされた適切にパラメータ化されたユニタリとしてエンコードすることによって実現されます。これはアダマール テストとして知られる手法です。 アダマール テストを使用すると、指数関数的に多くの期待値を個別に推定するのではなく、補助量子ビットの単一の期待値のみを推定することで目的関数を最適化できます。 同様に、パウリ文字列振幅制約の多項式を課すだけでなく、XNUMX 番目のアダマール テストを実装することによって、半定値プログラミング制約を効果的に強制できることを示します。 MaxCut を含むさまざまな NP 困難問題に対する Goemans-Williamson アルゴリズムの効率的な量子実装を考案することで、プロトコルの有効性を実証します。 私たちの方法は、GSet ライブラリのよく研究された MaxCut 問題の多様なサブセットに対して、類似の古典的な方法のパフォーマンスを上回ります。

アダマール テストと近似振幅制約を備えた量子ゴーマンス ウィリアムソン アルゴリズム、PlatoBlockchain データ インテリジェンス。垂直検索。あい。

注目の画像: $n=3$ の非補助量子ビットを使用した Goemans-Williamson アルゴリズムの HTAAC-QSDP の図。 a) $N$ 変数の古典的な問題 (ここでは $N=8$ の $N$-頂点 MaxCut 問題)。 重み行列 $W$ は、ユニタリ $U_W$ を生成するために使用されます。 b) アダマール テストは、目的関数と母集団平衡制約を効率的に評価するために使用されます。 $n$-qubit 状態 $|psirangle = U_V|mathbf{0}rangle$ は変分量子回路 $U_V$ で作成されます。 $n+1$ 番目 (補助) 量子ビットは $(|0rangle -i |1rangle)/sqrt{2}$ として初期化されます。 続いて、アダマール テストが実行されます。 $U_W$ は、補助量子ビットで条件付けされた制御ユニタリとして実装され、その後、 $langle sigma_{n+1} rangle_{W,t} = text{Im} を計算するために測定されます。 [langle psi|U_W|psi rangle]$ または $langle sigma_{n+1} rangle_{P,t} = text{Im}[langle psi|U_P|psi rangle]$。 c) $M=2^n$ SDP 振幅制約制約は、$m sim text{poly}(n)$ Pauli string 制約のみでほぼ適用されます。 これらは、 $n$-qubit Pauli-$z$ 測定値を収集し、周辺統計を使用して $m$ 期待値を推定することによって計算されます。

人気の要約

半正定プログラムを使用すると、NP 困難問題を含むさまざまな困難な問題を近似できます。 このような半定値プログラムの 1 つは Goemans-Williamson アルゴリズムで、MaxCut などの難しい問題を解決できます。 指数関数的な半正定プログラムを近似的に解くために、 $n{+}1$ 量子ビット、一定数の回路準備、および多項式数の期待値のみを使用する Goemans-Williamson アルゴリズムの変分量子アルゴリズムを導入します。変数と制約。 私たちは問題を量子回路 (またはユニタリ) にエンコードし、それを単一の補助量子ビットで読み出します。これはアダマール テストとして知られる技術です。 同様に、問題の制約が 2) XNUMX 番目のアダマール テストと XNUMX) パウリ文字列制約の多項式によって強制できることを示します。 MaxCut を含むさまざまな NP 困難問題に対する Goemans-Williamson アルゴリズムの効率的な量子実装を考案することで、プロトコルの有効性を実証します。 私たちの方法は、よく研究された MaxCut 問題の多様なサブセットに対して、類似の古典的な方法のパフォーマンスを上回ります。

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