ダニエル・ラーセンは中学生のとき、クロスワード パズルのデザインを始めました。 彼はチェス、プログラミング、ピアノ、ヴァイオリンなどの他の興味の上に趣味を重ねなければなりませんでした。 彼は、地域大会で優勝した後、ワシントン DC 近くの Scripps National Spelling Bee に XNUMX 度出場しました。 「彼は何かに集中するようになり、成功するまではバン、バン、バンの繰り返しです」と、ラーセンの母親、アイレット・リンデンシュトラウスは言いました。 彼の最初のクロスワード パズルは主要な新聞に却下されましたが、彼はそれを続け、最終的には侵入しました。 記録を保持します 最年少でクロスワードを公開 ニューヨークタイムズ、13 歳。
それでも、ラーセンの最近の強迫観念は、「彼の他のほとんどのプロジェクトよりも長く、より強烈に」感じられた. XNUMX 年半以上の間、ラーセンはある数学の問題について考えるのをやめられませんでした。
それは、数学者のカール・フリードリッヒ・ガウスが数学で最も重要であると考えた、より広い問題に根ざしていました。素数 (1 とそれ自体でのみ割り切れる数) を合成数から区別する方法です。 何百年もの間、数学者はその効率的な方法を模索してきました。 この問題は、現代の暗号化のコンテキストにも関連するようになりました。今日最も広く使用されている暗号化システムのいくつかは、巨大な素数を使った算術演算を伴うためです。
1990 世紀以上前、高速で強力な素数性テストを求めて、数学者はトラブルメーカーのグループに出くわしました。つまり、素数ではないのに、素数であるとテストに思わせる数です。 カーマイケル数として知られるこれらの擬素数は、把握するのが特に困難でした。 たとえば、XNUMX 年代半ばになって初めて、数学者がそれらが無限に存在することを証明しました。 それらが数直線に沿ってどのように分布しているかについてもっと何かを言うことができることは、さらに大きな課題をもたらしました.
その後、ラーセンが一緒に来ました 新しい証明 ちょうどそれについて、数論の別の分野における最近の画期的な研究に触発されたもの. 当時、彼はわずか17歳でした。
スパーク
インディアナ州ブルーミントンで育ったラーセンは、常に数学に惹かれていました。 彼の両親は両方とも数学者で、幼い頃に彼と姉に数学を紹介しました。 （彼女は現在、数学の博士号を取得しようとしています。）Larsen が 3 歳のとき、Lindenstrauss は回想します。Larsen は、無限の性質について彼女に哲学的な質問をし始めました。 「私は、この子は数学的な頭脳を持っていると思いました」と言いました。 リンデンシュトラウス、インディアナ大学教授。
それから数年前、スペリングとクロスワードのプロジェクトに没頭していた頃に、彼はある言葉に出くわしました。 ドキュメンタリー 約 チャン・イタン、2013年に無名から立ち上がった無名の数学者 画期的な結果を証明する 連続する素数間のギャップに上限を設定します。 ラーセンで何かがクリックされました。 彼は整数論について、また、Zhang と他の数学者がまだ解決を望んでいた関連する問題について考えるのを止めることができませんでした: 2 だけ異なる素数のペアが無数にあると述べている双子の素数予想です。
違いが 70 万未満の素数のペアが無数にあることを示した Zhang の研究の後、 他の人が飛び込んだ この限界をさらに下げるために。 数か月以内に、数学者は ジェームス・メイナード & テレンス・タオ は、素数間のギャップについてさらに強力な声明を独自に証明しました。 その後、その差は 246 に縮まりました。
Larsen は、Maynard と Tao の研究の根底にある数学の一部を理解したいと考えていましたが、「私にはほとんど不可能でした」と彼は言いました。 彼らの論文はあまりにも複雑でした。 ラーセンは関連する研究を読もうとしましたが、同様に難解であることがわかりました。 彼はそれを続け、ある結果から別の結果へとジャンプし、ついに 2021 年 XNUMX 月に、美しくてわかりやすい論文に出くわしました。 その題材は：カーマイケル数、素数として偽装されることがある奇妙な合成数です。
プライム以外のすべて
17 世紀半ば、フランスの数学者ピエール ド フェルマーは、友人であり親友でもあるフレニクル ド ベッシーに手紙を書き、後に彼の「小定理」として知られることになる内容を述べました。 もしも N は素数です。 bN – b 常にの倍数です N、何があっても b は。 たとえば、7 は素数なので、27 – 2 (126 に等しい) は 7 の倍数です。同様に、37 – 3 は 7 の倍数など。
数学者は、与えられた数が素数か合成数かを完全にテストできる可能性を見出しました。 彼らはそれを知っていた N 素数であり、 bN – b 常にの倍数です N. 逆もまた真だったら？ つまり、 bN – b の倍数です N すべての値 b、しなければならない N プライムですか？
残念ながら、非常にまれなケースであることが判明しました。 N はこの条件を満たすことができ、まだ合成されています。 そのような最小の数は 561 です: 任意の整数の場合 b, b561 – b 561 は素数ではありませんが、常に 561 の倍数です。 このような数は、1910 年に最初の例を発表したことで知られる数学者ロバート カーマイケルにちなんで名付けられました (ただし、チェコの数学者ヴァーツラフ シメルカは 1885 年に独自に例を発見しました)。
数学者は、数論の最も基本的なオブジェクトである素数に非常によく似ているこれらの数をよりよく理解したいと考えていました。 カーマイケルの結果より 1899 年前の XNUMX 年に、別の数学者、アルウィン・コーセルトが同等の定義を思いついたことが判明しました。 彼は、法案に適合する数字があるかどうかを単に知りませんでした.
コーセルトの基準によると、数 N は、XNUMX つのプロパティを満たす場合にのみ、カーマイケル数です。 まず、複数の素因数が必要です。 第二に、素因数は繰り返すことができません。 そして XNUMX 番目に、素数ごとに p 割れる N, p – 1 も割る N – 1. 数 561 をもう一度考えてみましょう。これは 3 × 11 × 17 に等しいので、Korselt のリストの最初の 1 つの特性を明確に満たしています。 最後の性質を示すには、各素因数から 2 を引いて 10、16、1 を求めます。さらに、561 から 560 を引きます。561 つの小さい数はすべて XNUMX の約数です。したがって、数 XNUMX はカーマイケル数です。
数学者はカーマイケル数が無数にあると考えていましたが、素数に比べて数が少なく、特定が困難でした。 そして1994年、レッド・アルフォード、 アンドリュー・グランヴィル & カールポメランス ブレークスルーを公開しました 紙 その中で、彼らは最終的に、これらの擬素数が実際に無限に多く存在することを証明しました。
残念ながら、彼らが開発した手法では、カーマイケル数がどのように見えるかについて何も言えませんでした。 それらは数直線に沿ってクラスターとして現れ、間に大きなギャップがありましたか? それとも、短い間隔で常にカーマイケル数を見つけることができますか? 「それらが無数にあることを証明できれば、それらの間に大きなギャップがなく、それらが比較的十分に離れていることを証明できるはずです」とグランビルは言いました。
特に、彼と彼の共著者は、この考えを反映した声明を証明することを望んでいました。 X、間には常にカーマイケル数があります X そして、2X. 関連研究を行ってきた防衛分析研究所の数学者、ジョン・グランサム氏は、「それは、それらがどれほど遍在しているかを表現する別の方法です.
しかし、何十年もの間、誰もそれを証明できませんでした。 Alford、Granville、および Pomerance によって開発された手法により、「多くの Carmichael 数が存在することを示すことができました」と Pomerance 氏は述べています。 」
その後、2021 年 17 月、グランビルは、当時 XNUMX 歳で高校 XNUMX 年生だったラーセンからのメールを開きました。 あ 紙 が添付されていました — そしてグランビルの驚いたことに、それは正しいように見えました. 「これまでで最も読みやすいものではありませんでした」と彼は言いました。 「しかし、私がそれを読んだとき、彼がいじっていないことは明らかでした. 彼は素晴らしいアイデアを持っていました。」
この作品の後のバージョンを読んだポメランスは同意した。 「彼の証明は非常に進んでいます」と彼は言いました。 「どんな数学者も書いたことを本当に誇りに思う論文になるでしょう。 そして、これを書いているのは高校生です。」
ラーセンの証明の鍵は、最初に彼をカーマイケル数に引き付けた研究でした:素数ギャップに関するメイナードとタオによる結果です。
可能性は低い — 不可能ではない
ラーセンがカーマイケル数を常に短い間隔で見つけることができることを最初に示したとき、「それは明らかに真実であるように思われましたが、証明するのはどれほど難しいでしょうか?」 彼は言った。 彼はすぐにそれが非常に難しいことに気づきました。 「これは私たちの時代の技術を試す問題です」と彼は言いました。
アルフォード、グランビル、ポメランスは 1994 年の論文で、無限に多くのカーマイケル数を作成する方法を示しました。 しかし、それらを構築するために使用した素数のサイズを制御することはできませんでした。 これは、比較的近いサイズのカーマイケル数を構築するためにラーセンが行う必要があることです。 この問題の難しさは、彼の父であるマイケル・ラーセンを悩ませていました。 「不可能だとは思いませんでしたが、彼が成功する可能性は低いと思いました」と彼は言いました。 「私は彼がそれにどれだけの時間を費やしているかを見ました…そして、彼がこれに多くのことを費やしてそれを得られないのは壊滅的だと感じました。」
それでも、彼は息子を思いとどまらせようとするよりもよく知っていました。 「ダニエルは、自分が本当に興味を持っていることにコミットするとき、どんなことがあってもそれに固執します」と彼は言いました。
そこで、ラーセンはメイナードの論文に戻りました。特に、十分な数の特定のシーケンスを取得する場合、それらの数の一部のサブセットが素数でなければならないことを示す作業を行いました。 ラーセンは、メイナードの手法を修正して、アルフォード、グランビル、ポメランスが使用した手法と組み合わせました。 これにより、最終的に得られる素数のサイズが変化することを確認できました。これにより、カーマイケル数が希望する区間内に収まるのに十分な大きさになりました。
「彼は私たちがこれまで以上に物事をコントロールできるようになりました」とグランビルは言いました。 そして、彼はメイナードの研究を特に巧妙に利用することでこれを達成しました。 「素数間の短いギャップでこの進歩を利用するのは簡単ではありません。」 カイサ・マトマキ、フィンランドのトゥルク大学の数学者。 「彼がそれをカーマイケル数に関するこの質問と組み合わせることができたのは非常に素晴らしいことです。」
実際、Larsen の議論は、カーマイケル数が常に X そして、2X. 彼の証明は、はるかに小さい間隔でも機能します。 数学者は現在、これらの奇妙な数の振る舞いの他の側面を明らかにするのにも役立つことを望んでいます. 「それは別の考えだ」と彼は言った トーマス・ライト、サウスカロライナ州のウォフォード大学の数学者で、擬素数に取り組んでいます。 「カーマイケル数について証明する方法について、多くのことが変わります。」
グランサムは同意した。 「これで、思いもよらなかったことができるようになります」と彼は言いました。
一方、ラーセンはマサチューセッツ工科大学で XNUMX 年を始めたばかりです。 彼は次にどのような問題に取り組めるかわかりませんが、そこに何があるかを知りたがっています。 「私はただコースを受講しているだけです…そして、心を開いていようとしています」と彼は言いました.
「彼は学部教育を受けずにこれらすべてを行いました」とグランサムは言いました。 「彼が大学院で何を考え出すのか想像することしかできません。」
