超弦理論を形作った数学者 | クアンタマガジン

エウジェニオ・カラビは、元教え子である陳秀雄氏の言葉を借りれば、「革新的で独創的」な独創的な数学者として同僚に知られていました。 1953 年、カラビは、これまで誰も想像していなかった種類の形状について熟考し始めました。 他の数学者はそれらの存在は不可能だと考えていました。 しかし数十年後、これらの同じ形状が数学と物理学の両方で非常に重要なものになりました。 その結果は、カラビ氏を含む誰もが予想していたよりもはるかに広範囲に影響を与えることになりました。

カラビ氏は100月25日に20歳で亡くなり、XNUMX世紀で最も影響力のある幾何学者の一人として同僚らに追悼された。 「数学者の多くは、特定のテーマの研究を終わらせるような問題を解くことを好みます」とチェン氏は言う。 「カラビは主題を始めるのが好きな人でした。」

ペンシルベニア大学でカラビとともに60年近く教えたジェリー・カズダンは、彼の同僚は「物事の見方が特別だった」と語った。 それほど明白ではない選択をしたのは、彼が数学をどのように練習したかでした。」 カズダン氏によれば、カラビ氏の主な関心事の XNUMX つは、「誰も考えていなかった興味深い質問をすること」でした。 それらの質問に対する答えは、多くの場合、永続的な重要な結果をもたらしました。

カラビは幾何学の多くの分野に重要な貢献をしましたが、特殊な種類の多様体に関する 1953 年の予想で最もよく知られています。 多様体は、任意の次元に存在できる表面または空間であり、重要な特徴を備えています。それは、表面上のすべての点の周囲の小さな「近傍」が平らに見えることです。 たとえば、地球は遠くから見ると丸く（球形に）見えますが、地面の小さな部分は平らに見えます。

プリンストン大学の大学院で、カラビは 20 世紀のドイツの幾何学者エーリッヒ ケーラーにちなんで名付けられたケーラー多様体に興味を持ちました。 このタイプの多様体は滑らかです。つまり、鋭利な特徴やギザギザの特徴がなく、2、4、6 以上の偶数の寸法のみが存在します。

球は一定の曲率を持っています。 地面のどこに行っても、出発する方向に関係なく、道は同じ量だけ曲がります。 しかし一般に、多様体の曲率は点ごとに異なります。 数学者が曲率を測定する方法はいくつかあります。 リッチ曲率と呼ばれる比較的単純な尺度の XNUMX つは、カラビにとって非常に興味深いものでした。 彼は、ケーラー多様体は、形状を全体的に制約する XNUMX つの位相条件を満たしながらも、あらゆる点でリッチ曲率をゼロにすることができると提案しました。 他の幾何学者は、そのような形状はうますぎると考えていました。

シントン・ヤウ氏も当初は疑念を抱いていた一人だった。 彼が初めてカラビ予想に出会ったのは、カリフォルニア大学バークレー校の大学院生だった 1970 年で、すぐに釘付けになりました。 カラビが問題を提示したように、この推測が正しいことを証明するには、たとえその方程式が完全に解けなかったとしても、非常に厄介な方程式の解が見つかる可能性があることを示さなければなりませんでした。 これまで誰もこの特定のタイプの方程式を解いたことがなかったため、これは依然として大きな課題でした。

この問題について数年間考えた後、ヤウは 1973 年の幾何学の会議で、この予想が誤りであることを示す反例を発見したと発表しました。 会見に出席していたカラビ氏はその時、何も異議を唱えなかった。 数か月後、この問題について少し考えた後、彼はヤウに自分の主張を明確にするよう求めた。 ヤウは計算を見直したとき、間違いを犯したことに気づきました。 反例は成り立たず、この推測が結局正しいかもしれないことを示唆しました。

ヤウは次の 1976 年間をかけて、カラビが当初提案した多様体クラスの存在を証明しました。 1982 年のクリスマスの日に、ヤウはカラビおよび別の数学者と会い、彼の証明の正当性を確認し、現在カラビ・ヤウ多様体と呼ばれている物体の数学的存在を確立しました。 XNUMX 年、ヤウはこの結果もあり、数学界最高の栄誉であるフィールズ賞を受賞しました。

その頃、自然の力を統合する理論を考案しようとしている物理学者は、電子などの基本粒子が実際には非常に小さな振動する糸で構成されているという考えを検討し始めました。 異なる振動パターンは異なる粒子として現れます。 技術的な理由により、これらの振動は 10 次元でのみ正しく機能します。

言うまでもなく、世界は 10 次元であるようには見えません。空間の 1980 次元と時間の 10 次元だけがあるように見えます。 しかし、XNUMX 年代半ばまでに、物理学者のグループは、宇宙の XNUMX つの「余分な」次元が XNUMX 分のカラビ・ヤウ多様体 (XNUMX 次元未満) の中に隠されている可能性があることに気づきました。^-17 直径センチメートル）。 この物理的枠組みが呼ばれた超弦理論でも、自然の粒子と力はカラビ・ヤウの形状によって決定されると考えられていました。 この理論は、超対称性と呼ばれる性質に依存していました。超対称性は、ケーラー多様体にすでに組み込まれていた対称性から生じました。これが、カラビ・ヤウ多様体が弦理論に正しく適合すると思われるもう XNUMX つの理由です。

1984 年までに、ヤウはすでに少なくとも 10,000 の異なる XNUMX 次元のカラビ ヤウ形状を構築できることを知っていました。 私たちの世界が密かにカラビ・ヤウ多様体で満たされているのかどうかは明らかではありません。カラビ・ヤウ多様体は目に見えないほど小さな寸法の中に隠されていますが、毎年、物理学者や数学者はその性質を調査した何千もの論文を発表しています。

ヤウさんは、この言葉が頻繁に出てくるため、自分のファーストネームがカラビだと思うことがある、と語った。 一方、カラビ氏は 2007 年に、ひも理論との関連から「このアイデアが注目を集めたことを光栄に思います」と述べた。 「しかし、私はそれとは何の関係もありませんでした。 私が最初にこの推測を提起したとき、それは物理学とは何の関係もありませんでした。 それは厳密に幾何学でした。」

カラビは常に数学者になることを決意していたわけではありません。 彼の才能は早くから現れ、弁護士である父親は彼が子供の頃、素数についてクイズを出しました。 しかし、第二次世界大戦の勃発で家族がイタリアから逃亡した後、16年に1939歳でマサチューセッツ工科大学に到着したとき、彼は化学工学を専攻することを決意した。 戦時中、彼はフランスとドイツで米軍の通訳を務めた。 帰国後、数学への転向を決意するまで、短期間化学エンジニアとして働いた。 彼はプリンストン大学で博士号を取得し、一連の教授職を歴任した後、1964 年にペンシルバニア大学に到着し、そこに留まりました。

彼は数学への熱意を決して失うことなく、90 代になっても研究を続けました。 彼の元生徒であるチェンは、カラビが数学部の郵便室や廊下で彼を妨害していた方法を思い出した。彼らの会話は何時間も続き、カラビは封筒、ナプキン、ペーパータオル、その他の紙切れに数式を走り書きした。

ヤウはカラビとのやりとりからナプキンの一部を救った。 「私はいつも、そこに書かれた数式から学びました。それは、カラビの幾何学的な直観の驚異的な感覚を伝えていました」とヤウは語った。 「彼は自分のアイデアを共有することに非常に寛大で、それが評価されることなど気にしませんでした。 彼はただ、数学をすることが楽しいと思っていたのです。」

カラビは数学が一番の趣味だと言いました。 「趣味を職業として続けられることは、私の人生において非常に幸運なことでした。」

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