ミシガン大学での 2018 年の講演の数分後、 イアン・トバスコ 大きな紙片を手に取り、それをくしゃくしゃに丸めて、一見無秩序なカオスのボールにしました。 彼は聴衆が見えるようにそれを持ち上げ、ある程度絞ってから、再び広げました。
「大量の折り目が現れます。それがパズルです」と彼は言いました。 「このパターンを別のより整然としたパターンから選択するものは何ですか?」
次に、XNUMX 番目の大きな紙を持ち上げました。これは、ミウラ折りとして知られる有名な平行四辺形の折り紙パターンに事前に折りたたまれていました。 彼が各紙に使用した力はほぼ同じでしたが、結果はこれ以上に異なっていなかったと彼は言いました. 三浦織は幾何学的な領域にきれいに分割されていました。 くしゃくしゃのボールはぎざぎざの線の混乱でした。
「これは、しわくちゃのシートに散らばった折り目の配置を指して、「これがランダムに無秩序にされたバージョンにすぎない」と彼は言いました。 整然とした三浦織を指差した。 「しかし、それが本当かどうかについては、まだはっきりとはわかっていません。」
その接続を確立するには、弾性パターンの普遍的な数学的ルールを確立する必要があります。 Tobasco は何年も前からこの研究に取り組んでおり、薄い弾性材料 (変形に反応して元の形状に戻ろうとする材料) を表す方程式を研究しています。 風船を十分に強く突くと、放射状のしわのスターバーストパターンが形成されます。 指を離すと、再び滑らかになります。 しわくちゃの紙のボールを絞ると、離すと膨らみます (完全にくしゃくしゃになるわけではありません)。 エンジニアと物理学者は、特定の状況下でこれらのパターンがどのように発生するかを研究してきましたが、数学者にとってこれらの実際の結果は、より基本的な問題を示唆しています。
2021 年 XNUMX 月、Tobasco は 紙 それはその質問に肯定的に答えました — 少なくとも滑らかで湾曲した弾性シートが平らに押し込まれた場合 (質問を調査する明確な方法を提供する状況)。 彼の方程式は、一見無作為に見えるしわが、繰り返し識別可能なパターンを持つ「整然とした」ドメインをどのように含むかを予測します。 そして彼は、現実的なシナリオでパターンを予測できる、厳密な数学に基づいた新しい物理理論を示す論文を共同執筆しました。
特に、Tobasco の研究は、しわがさまざまな形で幾何学的な問題の解決策と見なされることを示唆しています。 「これは数学的分析の美しい作品です。」 ステファン・ミュラー ドイツのボン大学ハウスドルフ数学センターの博士号。
それは、この一般的な現象の背後にある数学的規則と新しい理解を初めてエレガントに提示します。 「ここでの数学の役割は、物理学者がすでに行った推測を証明することではありませんでした」と彼は言いました。 ロバート・コーン、ニューヨーク大学クーラント研究所の数学者であり、トバスコの大学院顧問であり、「むしろ、以前は体系的な理解がなかった理論を提供することを目的としています。」
ストレッチアウト
しわと伸縮性パターンの理論を開発するという目標は古いものです。 1894年、レビューで 自然、数学者のジョージ・グリーンヒルは、理論家（「私たちは何を考えるべきか」）と彼らが理解できる有用なアプリケーション（「私たちは何をすべきか」）の違いを指摘しました。
19 世紀から 20 世紀にかけて、科学者は後者に関して大きく進歩し、変形している特定の物体のしわに関する問題を研究しました。 初期の例には、航海船のために滑らかで湾曲した金属板を鍛造する問題や、山の形成を地球の地殻の加熱に結び付けようとする問題が含まれます。
最近では、数学者と物理学者は、理論と観察を幅広いしわの状況、形状、および材料に結び付ける取り組みを拡大しています。 「これは過去 10 年ほど続いており、最初に実験を行い、次にそれらを理解するための理論を見つけようとしています」と数学者は言いました。 ドミニク・ベラ オックスフォード大学の。 「ちゃんと理解できるようになったのはつい最近のことです」
エキサイティングなマイルストーンがありました。 2015 年、マサチューセッツ工科大学の機械エンジニアである Pedro Reis は、 説明された物理法則 しぼんだシリコンボールに形成される幾何学模様。 彼の作品は、それらのしわを伸縮性のある素材の内層と外層の厚さに結び付けました。 Reis はまた、しわは欠陥と見なされるのではなく、新しい機械的挙動を設計する機会を提供する可能性があることにも言及しました。 そして2017年、ヴェラ 分析を主導した 圧力下での薄い弾性フィルムのしわの不安定性について、最初の突きの深さおよびその他の特定の詳細に従ってしわの数がどのように変化するかを特徴付けます。
しかし、これらの開発はまだ問題の一部しか解決していません。 しわがどのように形成されるかをより一般的に数学的に理解するには、別のアプローチが必要でした。 Tobasco はそれを前進させるものです。
好奇心に従う
若い頃、Tobasco は航空宇宙工学に進もうと考えていました。 彼は 2011 年にミシガン大学を卒業し、この分野の学士号を取得しましたが、その時点ですでに数学的推論と物理システムについて深く考えることに引き込まれていました。 彼は数学の博士号を取得しましたが、現在シラキュース大学の物理学者であるジョーイ・ポールセンがしわの特定の道を彼に設定したことを非難しています.
Paulsen のキャリアの早い段階で、異常な材料の特性を研究していたとき、彼はスピン コーティングと呼ばれる技術を使用して極薄ポリマー フィルムを製造および分析する方法を学びました。 最初に、彼は微量の溶解ポリマーを含む特別な液体材料を作成しました。 それから彼は材料をスピニングプレートに置きます。 液体の大部分は蒸発しますが、ポリマーは凝固する前に均一な厚さに広がります。 シラキュースに自分の研究室を持った後、Paulsen はスピン コーティングを適用して湾曲したフィルムを作成する方法を学びました。
ある日、彼はこれらの湾曲したフィルムのいくつかを静止した水の上に置き、水面に沈む様子を写真に撮りました。 「それは純粋に好奇心に駆られたものでした」と彼は言いました。 この写真は、2017 年にポールセンとの非公式会合でトバスコの目に留まりました。
「彼らは、これらのランダムで無秩序なしわパターンを得ることができることを示しました.実験をXNUMX回行うと、XNUMXつの異なるパターンが得られます. 「シェルの形状を組み込んだ弾力性から、[これらのパターンを予測する] 導出可能な方法を考え出すことができるかどうかを確認したかった. そして、モデルがシェルごとに変わらないこと。」
しわパターンは、可能な限りエネルギーが少ない構成です。 つまり、薄膜が平らな表面に落ち着くと、無秩序であろうとなかろうと、維持するのに必要なエネルギーが最も少ないしわの配置が見つかるまで変形します。 「[パターン] が顕在化したときに蓄えられるエネルギーの量によって、パターンを整理することができます」と Tobasco 氏は述べています。
その指針となる原則に導かれて、彼はガウス曲率と呼ばれる形状の尺度を含む、そのパターンを選択するものであることが証明されたフィルムのいくつかの特徴を分離しました。 正のガウス曲率を持つサーフェスは、ボールの外側のように、それ自体から離れて曲がります。 対照的に、負の曲面は、プリングルス チップのような鞍型です。ある方向に進むと上に移動しますが、別の方向に進むと下に移動します。
Tobasco は、ガウス曲率が正の領域は、秩序のあるドメインと無秩序なドメインの XNUMX 種類の配置を生成し、曲率が負の領域は別の種類の領域を生成することを発見しました。 「詳細なジオメトリはそれほど重要ではありません」と Vella 氏は言います。 「それは本当にガウス曲率の符号に依存します。」
彼らは、ガウス曲率がしわに重要であると考えていましたが、Vella は、ドメインが符号に大きく依存していることは驚きだと言いました。 さらに、Tobasco の理論は、Paulsen のフォームだけでなく、幅広い範囲の弾性材料にも適用されます。 「しわがどこに現れるかを示す素晴らしい幾何学的構造です」と Vella 氏は言います。 「しかし、それがどこから来るのかを理解することは本当に深く、驚くべきことです。」
ポールセンは同意した。 「イアンの理論が非常に見事に行っているのは、パターン全体を一度に与えることです。」
リアルなシワ
2018 年初頭、Tobasco 氏の理論はほぼ確定しましたが、理論上はうまくいきましたが、実際の世界でそれが正しいかどうかは確信が持てませんでした。 Tobasco は Paulsen に連絡を取り、コラボレーションに興味があるかどうか尋ねました。 「何かがすぐにうまくいきました」とポールセンは言いました。 「イアンの予測のいくつかを実験写真の上に重ねると、それらが一致していることがすぐにわかりました。」
その年の、材料科学の数学的側面に関する産業および応用数学協会の会議で、Tobasco は次のように紹介されました。 エレニ・カティフォリペンシルバニア大学の物理学者で、閉じ込められた殻のしわパターンの問題を調査し、結果のデータベースを構築していました。 それは偶然の瞬間でした。 「私たちは、イアンの仕事が説明したドメインを [シミュレーションで] 見ることができました」と彼女は言いました。 試合はすごかった。 最初の議論の間でさえ、Tobasco の理論、Paulsen の実験画像、および Katifori のシミュレーションがすべて同じ現象を説明していることは明らかでした。 「具体的なものが何もなかった初期の段階でさえ、つながりを見ることができました。」
その初期の興奮はすぐに懐疑論を引き起こしました。 それは本当であるにはあまりにも良すぎるように思えました。 「彼は数学者であり、これらすべてのものを非次元にしています」と Paulsen 氏は述べ、曲率に関する Tobasco のアイデアが XNUMX 次元の平らな素材をはるかに超えて拡張できる方法について言及しました。 「私たちは本当に同じシステムを見ているのでしょうか? 同意しますが、同意すべきでしたか？」
次の 25 年間、XNUMX 人の研究者は詳細をハッシュ化して、Tobasco の理論が、Paulsen が実験で見たしわの配置と Katifori が彼女のコンピューター モデルで見つけたしわの配置を実際に正確に予測していたことを示しました。 XNUMX 月 XNUMX 日、彼らは 自然物理学 表示 XNUMX つのアプローチがすべて、しわの同じ単純な幾何学的配置にどのように収束するか。 特に、彼らはパターンが秩序と無秩序の領域を区別する二等辺三角形のきちんとしたファミリーに分類されることを発見しました。 さらに、結果は信じられないほど薄い材料の数学的抽象化に限定されず、何桁もの厚さに対応しています。
彼らの研究はまた、理論とその応用を拡張する機会を示唆しています。 Katifori は、物理学者として、予測を利用して新しい材料を設計することに関心があると述べました。 「どのように表面をデザインすれば、しわのパターンを自分の望む形に実際に自己組織化できるかを理解したいのです。」
もう XNUMX つの未解決の問題は、この理論がさまざまな種類の曲面にどの程度一般的に適用できるかということです。 「[ガウス曲率] が正または負のいずれかである状況に非常に焦点を当てていますが、いくつかの領域が正であり、いくつかの領域が負である多くの状況があります」と Vella 氏は述べています。
Paulsen 氏は、これはエキサイティングな可能性であることに同意し、Tobasco 氏は、この分野で積極的に取り組んでおり、穴のあるものなど、他の形状のシェルを検討していると述べました。
しかしポールセン氏は、この理論は現在の状態でも美しく驚くべきものであると述べています。 「シェルと境界形状、そしてイアンの理論が予測したこの単純な一連の規則を与えれば、コンパスと定規を使って基本的にしわを描くことができます」と彼は言いました. 「そんなはずはなかったはずだ。 それは完全に恐ろしいものだったかもしれません。」
