芸術、音楽、執筆に数学を見出す理論家 |クアンタマガジン

サラ・ハートは、数学が他の分野に浸透する秘密の方法に常に注目してきました。子供の頃、彼女はおとぎ話の中に「3」という数字が頻繁に登場することに衝撃を受けました。数学教師であるハートさんの母親は、彼女のパターン探索を奨励し、暇つぶしに数学パズルを与えました。

ハートは 2000 年に群理論の博士号を取得し、その後ロンドン大学バークベックの教授になりました。ハートの研究では、多角形と角柱の対称性をカタログ化する構造のより一般的なバージョンであるコクセター群の構造を調査しました。 2023年に彼女は出版しました ワンス・アポン・ア・プライム、数学が小説や詩にどのように現れるかについての本。 「私たち人間は宇宙の一部であるため、私たちの創造的な表現形式、その中の文学にもパターンや構造への傾向が現れるのは当然です」とハートは書いている。 「したがって、数学は文学に対する全く異なる視点への鍵となるのです。」

2020 年以来、ハートはロンドンのグレシャム大学で幾何学の教授を務めています。グレシャムには伝統的なコースはありません。その代わりに、教授たちはそれぞれ年に数回の公開講義を行っています。ハートは、428世紀に別のアイザック（ニュートン）を教えたことで有名なアイザック・バローがその地位を占めていた17歳の職に就いた初の女性である。最近では、2020年にノーベル物理学賞を受賞した数学者のロジャー・ペンローズ氏が開催した。ハートは話しかけた クアンタ 数学と芸術がどのように相互に影響を与えるかについて。インタビューはわかりやすくするために要約および編集されています。

なぜ数学と文学のつながりについて本を書こうと思ったのですか?

これらの関連性は、数学と、たとえば音楽との間の関連性ほど探求されておらず、あまり知られていません。数学と音楽のつながりは、少なくともピタゴラス派の時代から祝われてきました。しかし、特定の本、著者、またはジャンルに関する執筆や学術研究はありましたが、数学と文学の間のより広範な関係について一般読者向けに書かれた本は見たことがありませんでした。

文系の人は数学についてどう考えるべきでしょうか？

数学と、他の芸術との間には多くの共通点があります。文学、音楽、芸術においても、まったく何もない状態から始めることはありません。もしあなたが詩人なら、あなたは次のことを選択するでしょう：非常に厳密な数値的制約のある俳句を作るのか、それとも特定の行数、特定の押韻スキーム、特定の拍子を持つソネットを書くのか？韻を踏んでいないものでも、改行やリズムは存在します。創造性を刺激し、集中力を高める制約があるでしょう。

数学でも同じことが言えます。私たちにはいくつかの基本ルールがあります。その中で、探索したり、遊んだり、定理を証明したりできます。数学が芸術に対してできることは、新しい構造を発見し、どのような可能性があるかを示すのに役立つことです。調号のない音楽はどのように見えるでしょうか? 12 のトーンとそれらの配置をさまざまに考えることができます。そのためのすべての方法をここに示します。ここでは、あなたが考案できるさまざまな配色と、さまざまな形の詩的なメーターを紹介します。

数学が文学からどのような影響を受けたかを示す一例は何ですか?

何千年も前のインドで、詩人たちはメートルの可能性について考えようとしていました。サンスクリット語の詩には長い音節と短い音節があります。ロングはショートの2倍の長さです。 3 つの時間がかかるものがいくつあるかを計算したい場合は、短い、短い、短い、または長い、短い、または短い、長いを指定できます。 3つ作るには3通りの方法があります。長さ 4 のフレーズを作成するには 5 つの方法があります。そして、長さ 5 のフレーズを作るには 8 つの方法があります。得られるこの数列は、すべての項が前の 2 つの項の合計であるものです。私たちが今日フィボナッチ数列と呼んでいるものを正確に再現しています。しかし、これはフィボナッチの数世紀前のことでした。

数学が文学に与えた影響についてはどうですか?

非常に単純なシーケンスですが、非常に強力に機能します。エレノア・キャットンの本です。 ルミナリー彼女は 2013/1,1, 2/1, 4/1, 8/1 というシーケンスを使用しました。その本の各章の長さは前の章の半分です。ペースが上がり、キャラクターの選択がより制限されるため、この非常に魅力的な効果が生まれます。すべては結論に向かって突っ走っている。結局のところ、各章は非常に短くなります。

もう少し複雑な数学的構造のもう 10 つの例は、直交ラテン方陣と呼ばれるものです。ラテン方陣は数独のグリッドのようなものです。この場合、それは 10 行 XNUMX 列のグリッドになります。すべての数値は、各行および各列に XNUMX 回だけ表示されます。直交するラテン方陣は XNUMX つのラテン方陣を重ねることによって形成され、各スペースに XNUMX 組の数字が存在します。各ペアの最初の数字によって形成されるグリッドはラテン方陣であり、各ペアの XNUMX 番目の数字によって形成されるグリッドも同様です。さらに、ペアのグリッドでは、複数回出現するペアはありません。

これらはあらゆる種類の方法で非常に役立ちます。これらからエラー訂正コードを作成できます。これは、ノイズの多いチャネルでメッセージを送信するのに役立ちます。しかし、これらの特定のサイズ 10 の素晴らしい点の 1959 つは、史上最も偉大な数学者の XNUMX 人であるレオンハルト オイラーが、サイズ XNUMX は存在し得ないと考えていたことです。それは彼が間違いを犯した数少ないうちの一つだった。だからこそとても興奮しました。これらの物体は特定のサイズでは存在し得ないというこの推測を彼が行ってからずっと後、この推測は反駁され、XNUMX 年にこのサイズの正方形が発見されました。 カバー of サイエンティフィック·アメリカン その年。

それから数年後、フランスの作家ジョルジュ・ペレックは、自分の本に使用する構造を探していました。 ライフ: ユーザーズマニュアル。彼はこれらの直交するラテン方陣の 100 つを選びました。彼は、10×10の正方形に10の部屋があるパリの集合住宅で本を出版しました。各章は異なる部屋にあり、どの章にも独特の味わいがありました。彼はさまざまな生地や色など、XNUMX 個のアイテムのリストを持っていました。どの章でも独自の組み合わせが使用されます。本を構成する本当に興味深い方法です。

あなたは明らかに良い文章を大切にしています。数学の研究論文の文章の質についてどう思いますか?

とても変わりやすいですね！私たちが簡潔さを重視していることはわかっていますが、それが行き過ぎていると思うことがあります。有用な例がない論文が多すぎます。

私たちが実際に評価しているのは、すべてのケースを一度に非常に巧みにカバーしているため、簡潔でエレガントな独創的な議論です。それは、表記を簡潔にするために作成した難解な印章でページを覆い、長い議論を必要以上に小さなスペースに押し込むことと同じではありませんが、読者だけでなく、おそらくあなた自身も苦労して解凍する必要があります何が起こっているのかを理解するためにもう一度。

私たちは、読者に意味を思い出させる役立つ表記について十分に考慮していません。正しい表記法は数学の一部を完全に変えることができ、一般化のためのスペースも作ることができます。歴史的に、未知のもの、その正方形とその立方体を 3 つの異なる文字で書くことからの移行を考えてみてください。その代わりに、いつから 、 、 を書き始めたのかを考え始める方が、どれほど可能性が高く、さらには可能であるでしょうか。

数学と芸術のつながりに進化が見られますか?

常に新しいものがあります。 1990 年代にはフラクタルがいたるところにありました。どの学生寮の部屋の壁にも、マンデルブロ集合かそれに似た絵が貼られていました。誰もが「ああ、これは面白い、フラクタルだ」という感じでした。たとえば、作曲にフラクタル シーケンスを使用しているミュージシャンや作曲家がいます。

私が 16 歳くらいのとき、グラフィック計算機と呼ばれる新しいものが登場しました。とてもわくわくする。そして、母の友人が、この小さなグラフィック計算機でマンデルブロ集合を描画できるプログラムをくれました。知りませんが、ピクセル数は約 200 でした。これをプログラムしてから、12時間放置しなければなりませんでした。これらの 200 ポイントが最後にプロットされます。そのため、80 年代後半から 90 年代初頭にかけては、単なる小学生でもこれに取り組み、自分でこれらの写真を作成することができました。

学生時代からすでに本格的な数学に興味を持っていたようですね。

 私は自分が数学的であることを意味することを理解する前から興味を持っていたと思います。そうですね、私は小さい頃からいつもパターンを作っていました。

私がまだ小さかった頃、私のお気に入りのおもちゃは、非常にシンプルな木製のペイントされたタイルでした。全部違う色がありました。それをパターンにして、それを誇らしげに 1 日ほど眺めてから、またパターンを作りました。

もう少し大きくなると、数字で遊んだり、模様を観察したりしました。私が「退屈だよ」と言うのは母でした。そして、彼女はこう言いました。「それで、三角形を作るために必要な点の数のパターンが何であるか理解できますか?」あるいはそれが何であれ。彼女は私に三角数か何かを再発見させて、私はとても興奮していました。

可哀想な母よ、私が母の元へ行く驚くべき発明の数々。 「まったく新しいやり方を開発しました！」すると彼女はこう言いました。「わかりました、それはとてもいいですね。しかし、デカルトは何世紀も前にそのことを考えていました。」そして出発します。数日後にはまた素晴らしいアイデアを思いつくことになります。 「素敵ですね、あなた。しかし、古代ギリシャ人はそれを持っていました。」

数学研究のキャリアの中で、特に満足のいく瞬間を思い出しますか?

自分が見ているパターンが何であるかを最終的に理解した瞬間や、苦労してきた証明を完成させる方法を見つけた瞬間は常に満足感を感じます。その喜びの感情について私が最も強く覚えているのは、おそらくそれが私が初めて感じた経験だったためであり、研究者としてのキャリアを始めたときのものです。しかし、何が起こっているのかを最終的に理解したときに「なるほど」と感じるのは、やはり心地よいものです。

非常に早い段階で、私は無限のコクセター群について何かを証明しようとしていました。いくつかのケースを解決し、残りのケースを検討して、特定の基準が満たされた場合に機能する手法を思いつきました。これらの関係はグラフに書くことができるので、私のテクニックを適用できるグラフのコレクションをまとめ始めました。ある年のクリスマスのことだった。

しばらくすると、私の一連の写真が、私のオフィスにあったコクセター グループに関する本に掲載されている特定のグラフ セットのように見え始め、それがまさにこのグラフ セットであることを望み始めました。もしそうなら、それは私の証明の穴を埋め、私の定理は完成するでしょう。しかし、クリスマス後に大学に戻るまでは、確かなことを確認することはできませんでした。それは、Google ですべてを検索できるようになる前のことでした。本を手に取り、手書きの図表と本の中の図表を比較したとき、自分の予感を確かめるまで待たなければならないという期待感がさらに良くなったと思います。実際に一致していました。

数学は創造されるのか発見されるのかという問題についてどう思いますか?あなたが本の中で書いている小説家の誰かが、自分の小説を「発見」したことに異論を唱える人はほとんどいないでしょう。これは数学と文学の根本的な違いなのでしょうか？

おそらくそうなのでしょうが、まだ共鳴がいくつかあります。

数学をやっていると発見のような気分になります。もし私たちが数学を発明していたら、物事を証明するのはそれほど難しくないはずです。時々、私たちは何かが真実であることを強く望んでいますが、それは真実ではありません。論理の結果を避けることはできないと思います。

それをやっていると、すべてが発見のように感じられます。私たちが扱っている幾何学の公理のように、いくつかの選択肢は現実世界で経験していることを反映しており、それがおおよそ現実のようなものであると思われるために選ばれています。ただし、そこにさえ「点」や「」などというものはありません。 「線」（スペースを取らないものを描くことはできず、幾何学の線には幅がなく、無限に伸びるためです）。

文学には、ある程度、この一連の類似点があります。ソネットのルールを定義すると、最初の行が「オレンジ」または「煙突」で終わるソネットを書くのは難しくなります。

しかし、私は何かを共有せずにはいられません。トールキンは執筆についてこう語った ホビット: 「すべては、お小遣いを稼ぐために試験問題を読んでいたときに始まりました。 … さて、ある日、試験問題集の空白のページに行き当たり、そこに落書きしました。 「地面の穴にホビットが住んでいました。」私はホビットについてそれ以上のことは知りませんでしたが、彼の話が広がるまで何年もかかりました。その言葉がどこから来たのか分かりません。」

ホビット — 彼はホビットを創造したのでしょうか、それとも発見したのでしょうか?