概要
結び目理論は、宇宙の基本的な構成を理解しようとする試みとして始まりました。 1867 年、科学者たちがあらゆる種類の物質の原因を突き止めようと熱心に取り組んでいたとき、スコットランドの数学者で物理学者のピーター ガスリー テイトは、友人であり同胞であるウィリアム トムソン卿に、煙の輪を生成する装置を見せました。 トムソン - 後にケルビン卿 (温度スケールの名前の由来) となる - は、リングの魅力的な形状、安定性、相互作用に魅了されました。 彼のインスピレーションは彼を驚くべき方向へと導きました。おそらく、煙の輪が空気中の渦であるのと同じように、原子は光を放つエーテルの中で結ばれた渦輪であり、物理学者は光が伝搬すると信じていた目に見えない媒体であると考えました。
このビクトリア朝時代のアイデアは、今ではばかげているように聞こえるかもしれませんが、軽薄な調査ではありませんでした。 この渦理論には多くの推奨事項がありました。それぞれわずかに異なるノットの多様性は、多くの化学元素のさまざまな特性を反映しているように見えました。 渦輪の安定性は、原子が必要とする永続性も提供する可能性があります。
渦理論は科学界で勢いを増し、テイトはすべての結び目を表にして要素の表に相当するものを作成するようになりました。 もちろん、原子は結び目ではありませんし、エーテルもありません。 1880 年代後半までに、トムソンは渦理論を徐々に放棄していましたが、その頃には、テイトは結び目の数学的エレガンスに魅了され、作表プロジェクトを続けていました。 その過程で、彼は結び目理論の数学的分野を確立しました。
結び目は私たちの足に靴を固定し、ボートを波止場に固定し、登山者を下の岩から遠ざけます。 しかし、これらの結び目は、正確には数学者 (Tait を含む) が結び目と呼ぶものではありません。 もつれた延長コードは結ばれているように見えるかもしれませんが、いつでもほぐすことができます。 数学的結び目を作るには、コードの自由端をつなぎ合わせて閉じたループを形成する必要があります。
結び目のストランドは糸のように柔軟であるため、数学者は結び目理論を トポロジー、可鍛性形状の研究。 結び目を解くと単純な円になることがあります。これを「結び目を解く」と呼びます。 しかし、多くの場合、結び目を解くことは不可能です。
結び目は結合して新しい結び目を形成することもできます。 たとえば、トレフォイルとして知られる単純な結び目をその鏡像と組み合わせると、正方形の結び目が生成されます。 (そして、XNUMX つの同じ三つ葉結び目を結合すると、グラニー ノットになります。)
数学者は、数の世界の用語を使用して、三つ葉は素結び、四角結びは合成結び、数の 1 と同様に、結び目はどちらでもないと言います。 この類推は、1949 年にホルスト シューベルトがすべての結び目が素数であるか、素数の結び目に一意に分解できることを証明したときにさらに支持されました。
新しいノットを作成するもう XNUMX つの方法は、XNUMX つ以上のノットを絡み合わせてリンクを形成することです。 イタリアのボロメオ家の紋章に登場することから名付けられたボロメオの指輪は、その簡単な例です。
トムソンとテイトは、数学的な方法で結び目を最初に見たわけではありません。 1794 年には早くも、カール フリードリヒ ガウスがノートに結び目の例を書き記しました。 そして、ガウスの学生であるヨハン・リスティングは、1847 年のモノグラフで結び目について書きました。 Vorstudien zur トポロジー (「トポロジーの予備研究」) — トポロジーという用語の起源でもあります。
しかし、テイトは、結び目理論の基本的な問題となった問題、つまり考えられるすべての結び目の分類と集計に取り組んだ最初の学者でした。 幾何学的な直感だけを使った何年にもわたる骨の折れる作業を通じて、彼は、平面に投影されたときに最大で XNUMX つの交点を持つ素数結び目をすべて見つけて分類しました。
19 世紀後半、テイトは他の 10 人、トーマス・カークマン牧師とアメリカの数学者チャールズ・リトルもこの問題を研究していることを知りました。 彼らの共同の努力により、彼らはすべての素結び目を最大 11 回の交差で分類し、それらの多くは 10 回の交差で分類しました。 驚くべきことに、XNUMX までのテーブルが完成しました。ノットを見逃すことはありませんでした。
Tait、Kirkman、Little が、今後発見されるであろう定理や技術なしで多くのことを達成したことは注目に値します。 しかし、彼らに有利に働いた XNUMX つのことは、ほとんどの小さな結び目が「交互」であるという事実でした。つまり、交差点が一貫してオーバーアンダーオーバーアンダーのパターンを示す投影を持っていることを意味します。
交互結び目は、非交互結び目よりも分類しやすい性質を持っています。 たとえば、ノットの射影の交差の最小数を見つけることは困難です。 しかし、何年もの間、すべての結び目が交互にあると誤って想定していた Tait は、その最小数が見つかったかどうかを判断する方法を推測しました。交差数が最小の射影。
これと交互の結び目に関する Tait の予想のうちの 1980 つが最終的に真になりました。 しかし、これらの有名な予想は、結び目理論の研究でフィールズ賞を受賞したヴォーン・ジョーンズによって 90 年に開発された数学的ツールを使用して、1984 年代後半から XNUMX 年代前半まで証明されませんでした。
残念ながら、交互の結び目はこれまでのところしかありません。 交差が XNUMX つ以上のノットに入ると、非交互ノットの数が急速に増加し、Tait の手法はあまり役に立たなくなります。
すべての 10 交差結び目の元の表は完成していましたが、Tait、Kirkman、Little は二重にカウントされました。 1970 年代になって初めて、プリンストン大学で結び目理論を学んだ弁護士の Kenneth Perko が、XNUMX つの結び目が互いに鏡像であることに気付きました。 彼らは現在、彼に敬意を表してPerkoペアとして知られています.
前世紀にわたって、数学者は結び目が本当に異なるかどうかを判断するための多くの巧妙な方法を発見しました。 本質的に、アイデアは 不変量を特定する - 結び目に関連付けられ、多くの場合、簡単に計算できるプロパティ、量、または代数エンティティ。 (これらのプロパティには、colorability、bridge number、または writhe などの名前があります。) これらのラベルを使用すると、数学者は XNUMX つの結び目を簡単に比較できます。特定の属性が異なる場合、それらは同じ結び目ではありません。 ただし、これらのプロパティはいずれも、数学者が完全な不変量と呼ぶものではありません。つまり、XNUMX つの異なる結び目が同じプロパティを持つ可能性があります。
このように複雑なため、ノットの集計がまだ進行中であることは驚くことではありません。 最近では、2020 年にベンジャミン バートン すべての素数結び目を分類 最大 19 回の交差点 (そのうち約 300 億回)。
従来の結び目理論は XNUMX 次元でのみ意味を持ちます。XNUMX 次元では結び目をほどくことができますが、XNUMX 次元では余分な余裕があるため結び目が自然にほどけるため、すべての結び目は結び目をほどいたものと同じです。
ただし、XNUMX 次元空間では球を結ぶことができます。 これが何を意味するかを理解するために、通常の球を一定間隔でスライスすることを想像してください。 そうすることで、緯線のような円が得られます。 ただし、余分な次元があれば、球を結び付けて、XNUMX つではなく XNUMX 次元になったスライスを結び目にすることができます。
このアイデアは、結び目理論における最近の最大の結果の 2018 つの背後にありました。 XNUMX年、当時大学院生だったリサ・ピッチリーロ 50年来の疑問を解決 ジョン・コンウェイによって最初に発見された 11 交差結び目について。 問題は、スライス性と呼ばれる特性に関係していました。 これまで見てきたように、結び目のある球を XNUMX 次元でスライスすると、XNUMX 次元の結び目またはリンクが得られます。 滑らかに結ばれた球から特定の結び目を得ることができる場合もありますが、他の結び目では、球を結び、くず紙のようにしわを寄せる必要があります。 ピッチリロは、本質的に、コンウェイの結び目が後者のタイプであることを証明しました。 専門用語で言えば、彼女はそれが「スムーズなスライス」ではないことを証明しました。
結び目理論は、何世紀にもわたって数学の世界を行き来してきました。 それは数学の応用分野として始まり、トムソンは結び目を使って物質の構成を理解しようとしました。 そのアイデアが薄れるにつれて、それは純粋数学の領域になり、トポロジーの興味をそそり、まだ非現実的なドメインの枝でした. しかし近年、結び目理論は再び数学の応用分野になり、科学者は結び目理論のアイデアを使って調査を行っています。 流体力学, 電気力学, DNA などの結び目分子 等々。 幸いなことに、科学者が他のことを研究するのに忙しかった一方で、数学者は結び目のカタログとその秘密を解き明かすためのツールを作成していました。
