XNUMX년 후, 일반 상대성 이론을 완화하는 새로운 수학 | 콴타 매거진

알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론은 중력이 작용하는 방식과 중력이 우주의 대규모 구조를 형성하는 방식을 설명하는 데 큰 성공을 거두었습니다. 물리학자 존 휠러(John Wheeler)는 다음과 같이 말했습니다. “시공간은 물질이 어떻게 움직이는지 알려줍니다. 물질은 시공간이 어떻게 곡선을 이루는지 알려준다.” 그러나 일반상대성이론의 수학은 또한 근본적으로 반직관적이다.

기본 방정식이 너무 복잡하기 때문에 가장 단순하게 들리는 진술조차도 증명하기가 어렵습니다. 예를 들어, 1980년경이 되어서야 수학자들이 일반 상대성 이론의 주요 정리의 일부로 고립된 물리적 시스템, 즉 질량이 없는 공간은 평평해야 한다는 사실을 증명했습니다.

이로 인해 공간이 아주 작은 양의 질량만 갖는 진공에 가깝다면 공간이 어떻게 생겼는지에 대한 의문이 해결되지 않았습니다. 반드시 거의 평평합니까?

질량이 작을수록 곡률이 작아지는 것이 분명해 보일 수도 있지만, 일반 상대성 이론에서는 상황이 그렇게 단순하고 건조하지 않습니다. 이론에 따르면, 밀도가 높은 물질의 농도는 공간의 일부를 "뒤틀어" 매우 휘게 만들 수 있습니다. 어떤 경우에는 이러한 곡률이 극단적으로 높아져 블랙홀이 형성될 수도 있습니다. 이는 물질이 충분히 강하게 집중되어 있는 경우 소량의 물질이 있는 공간에서도 발생할 수 있습니다.

최근에 종이, 콩한동, Stony Brook University 대학원생, 앙투안 송캘리포니아 공과대학 조교수인 는 질량이 점점 더 작아지는 일련의 곡선 공간이 결국에는 곡률이 XNUMX인 평평한 공간으로 수렴한다는 것을 증명했습니다.

이 결과는 일반상대성이론의 수학적 탐구에서 주목할 만한 진전입니다. 이 연구는 아인슈타인이 이론을 고안한 지 XNUMX년이 넘도록 계속해서 큰 성과를 거두고 있습니다. 단 리일반 상대성 이론의 수학을 연구하지만 이 연구에는 참여하지 않은 Queens College의 수학자인 Dong과 Song의 증명은 곡률과 질량이 어떻게 상호 작용하는지에 대한 깊은 이해를 반영한다고 말했습니다.

그들이 증명한 것

Dong과 Song의 증명은 XNUMX차원 공간에 관한 것이지만 설명을 위해 먼저 XNUMX차원 예를 고려합니다. 질량이 없는 평평한 공간을 평범하고 매끄러운 종이처럼 상상해보세요. 이 경우 질량이 작은 공간은 멀리서 보면 비슷해 보일 수 있습니다. 즉, 대부분 평평해 보일 수 있습니다. 그러나 면밀히 조사하면 여기저기서 날카로운 스파이크나 거품이 나타나는 것을 확인할 수 있습니다. 이는 물질 클러스터링의 결과입니다. 이러한 무작위 노출로 인해 종이는 때때로 표면에서 튀어나온 버섯이나 줄기가 있는 잘 관리된 잔디밭과 유사하게 됩니다.

동과 송이 증명했다. 어림짐작 2001년 수학자들이 공식화한 것입니다. 게르하르트 휘스켄 및 톰 일마넨. 추측에 따르면 공간의 질량이 XNUMX에 가까워지면 곡률도 XNUMX에 가까워집니다. 그러나 Huisken과 Ilmanen은 이 시나리오가 거품과 스파이크(수학적으로 서로 구별됨)의 존재로 인해 복잡하다는 것을 인식했습니다. 그들은 각 절제에 의해 공간 표면에 남겨진 경계 영역이 작도록 기포와 스파이크를 잘라낼 수 있다는 가설을 세웠습니다. 그들은 이러한 귀찮은 부속물을 제거한 후에 남은 공간이 거의 평평할 것이라고 제안했지만 증명할 수는 없었습니다. 그들은 또한 그러한 절단이 어떻게 이루어져야 하는지 확신하지 못했습니다.

이씨는 “이러한 질문은 어려웠고, 하우스켄-일마넨 추측이 풀릴 것이라고는 기대하지 않았다”고 말했다.

추측의 핵심은 곡률 측정입니다. 공간은 서로 다른 방식, 서로 다른 양, 서로 다른 방향으로 휘어질 수 있습니다. 마치 앞뒤로 위로 휘어지고 왼쪽과 오른쪽으로 아래로 휘어지는 안장(XNUMX차원)과 같습니다. 동과 송은 이러한 세부 사항을 무시합니다. 그들은 모든 방향의 전체 곡률을 요약하는 단일 숫자로 곡률을 나타내는 스칼라 곡률이라는 개념을 사용합니다.

동과 송의 신작은 말했다. 다니엘 스턴 Cornell University의 연구는 "스칼라 곡률이 공간 전체의 기하학적 구조를 어떻게 제어하는지 보여주는 지금까지 얻은 가장 강력한 결과 중 하나"입니다. 그들의 논문은 "음이 아닌 스칼라 곡률과 작은 질량을 가지고 있다면 공간의 구조를 아주 잘 이해한다"고 설명합니다.

증거

Huisken-Ilmanen 추측은 질량이 꾸준히 감소하는 공간의 기하학에 관한 것입니다. 질량이 작은 공간이 평면 공간에 얼마나 가까운지 구체적인 방법을 규정하는 것이다. 이 측정값을 수학자 이름을 딴 Gromov-Hausdorff 거리라고 합니다. 미카엘 그로모프 그리고 펠릭스 하우스도르프. Gromov-Hausdorff 거리를 계산하는 과정은 XNUMX단계 과정입니다.

첫 번째 단계는 Hausdorff 거리를 찾는 것입니다. A와 B라는 두 개의 원이 있다고 가정합니다. A의 한 점에서 시작하여 B의 가장 가까운 점까지의 거리를 파악합니다.

A의 모든 점에 대해 이것을 반복합니다. 찾은 가장 큰 거리는 원 사이의 Hausdorff 거리입니다.

Hausdorff 거리가 확보되면 Gromov-Hausdorff 거리를 계산할 수 있습니다. 그렇게 하려면 물체 사이의 Hausdorff 거리를 최소화하도록 물체를 더 큰 공간에 배치하십시오. 두 개의 동일한 원의 경우 말 그대로 서로 포개어 놓을 수 있으므로 두 원 사이의 Gromov-Hausdorff 거리는 XNUMX입니다. 이와 같이 기하학적으로 동일한 객체를 "아이소메트릭"이라고 합니다.

물론, 비교되는 대상이나 공간이 비슷하지만 동일하지 않을 때 거리를 측정하는 것은 더 어렵습니다. Gromov-Hausdorff 거리는 처음에 서로 다른 공간에 있던 두 개체의 모양 간의 유사성(또는 차이점)을 정확하게 측정하는 방법을 제공합니다. "Gromov-Hausdorff 거리는 두 공간이 거의 등각적이라고 말하는 가장 좋은 방법 중 하나이며 '거의'라는 숫자를 제공합니다."라고 Stern은 말했습니다.

Dong과 Song은 질량이 작은 공간과 완벽하게 평평한 공간을 비교할 수 있기 전에 성가신 돌기(물질이 촘촘하게 채워져 있는 좁은 스파이크와 작은 블랙홀을 품을 수 있는 더 조밀한 거품)를 잘라내야 했습니다. 송씨는 “(조각이 만들어진) 경계면적이 작도록 잘라냈고, 질량이 작아질수록 면적이 작아지는 것을 보여줬다”고 말했다.

이러한 전술이 속임수처럼 들릴 수도 있지만 Stern은 질량이 감소함에 따라 면적이 XNUMX으로 줄어드는 기포와 스파이크를 잘라내어 일종의 전처리를 수행하는 것이 추측을 증명하는 데 허용된다고 말했습니다.

그는 작은 질량을 지닌 공간의 대용으로 다시 펴고 난 후에도 날카로운 주름과 접힘이 남아 있는 구겨진 종이를 상상할 수 있다고 제안했습니다. 구멍 펀치를 사용하여 가장 눈에 띄는 불규칙성을 제거하고 약간의 구멍이 있는 약간 고르지 않은 종이 조각을 남길 수 있습니다. 구멍의 크기가 줄어들면 종이 지형이 고르지 않게 됩니다. 한계에 도달하면 구멍이 XNUMX으로 줄어들고 둔덕과 능선이 사라지고 균일하고 매끄러운 종이 조각만 남게 될 것이라고 말할 수 있습니다. 이는 평평한 공간을 위한 진정한 대안입니다.

동과 송이 증명하려고 한 것이 바로 이것이다. 다음 단계는 거친 특징을 깎아낸 이러한 벌거벗은 공간이 완전한 평면성의 표준에 비해 어떻게 쌓여 있는지 확인하는 것이었습니다. 그들이 추구한 전략은 한 공간의 점을 다른 공간의 점과 연관시켜 두 공간을 비교하는 방식인 특별한 종류의 지도를 활용한 것입니다. 그들이 사용한 지도는 종이 Stern과 세 명의 동료(Hubert Bray, Demetre Kazaras, Marcus Khuri)가 작성했습니다. 이 절차를 통해 두 공백이 얼마나 가까운지 정확히 알 수 있습니다.

작업을 단순화하기 위해 Dong과 Song은 Stern과 그의 공동 저자의 또 다른 수학적 트릭을 채택했습니다. 이는 XNUMX차원 공간이 삶은 계란이 할 수 있는 것처럼 레벨 세트라고 불리는 무한히 많은 XNUMX차원 조각으로 분할될 수 있음을 보여주었습니다. 달걀 슬라이서의 팽팽한 철사에 의해 좁은 판으로 분할됩니다.

레벨 세트는 구성하는 XNUMX차원 공간의 곡률을 상속합니다. 더 큰 XNUMX차원 공간보다는 레벨 세트에 주의를 집중함으로써 Dong과 Song은 문제의 차원을 XNUMX차원에서 XNUMX차원으로 줄일 수 있었습니다. Song은 "우리는 XNUMX차원 물체에 대해 많은 것을 알고 있고... 그것을 연구할 수 있는 도구도 많이 있기 때문에 매우 유익하다"고 말했습니다.

각 레벨 세트가 "일종의 평면"임을 성공적으로 보여줄 수 있다면 질량이 거의 없는 XNUMX차원 공간이 평면에 가깝다는 것을 보여주는 전반적인 목표를 달성할 수 있을 것이라고 송은 말했습니다. 다행히도 이 전략은 성공했습니다.

다음 단계

앞으로 이 분야의 다음 과제 중 하나는 기포와 스파이크를 제거하기 위한 정확한 절차를 마련하고 잘려진 영역을 더 잘 설명함으로써 증거를 보다 명확하게 만드는 것이라고 Song은 말했습니다. 그러나 그는 현재로서는 “우리는 이를 달성하기 위한 명확한 전략이 없다”고 인정했습니다.

 송씨는 또 다른 유망한 방법은 다음과 같은 것을 탐구하는 것이라고 말했습니다. 별도의 추측 이는 Lee와 2011년에 공식화되었습니다. 크리스티나 소르마니, 뉴욕 시립대학교의 수학자. Lee-Sormani 추측은 Huisken과 Ilmanen이 제기한 것과 유사한 질문을 하지만 모양 간의 차이를 측정하는 다른 방법에 의존합니다. Gromov-Hausdorff 거리처럼 두 모양 사이의 최대 거리를 고려하는 대신 Lee-Sormani 접근 방식은 공간의 부피 그들 사이에. 그 볼륨이 작을수록 더 가깝습니다.

한편 송은 물리학에 의해 동기가 부여되지 않은 스칼라 곡률에 대한 기본적인 질문을 조사하기를 희망합니다. "일반 상대성 이론에서 우리는 거의 무한대로 평평한 매우 특별한 공간을 다루지만 기하학에서는 모든 종류의 공간에 관심을 갖습니다."라고 그는 말했습니다.

"이러한 기술은 일반 상대성이론과 무관한 다른 환경에서도 가치가 있을 수 있다는 희망이 있습니다"라고 Stern은 말했습니다. 그는 “관련된 문제가 많다”며 “이는 탐구를 기다리고 있다”고 말했다.

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