1950년대 초, Institute for Advanced Study의 연구원 그룹은 하이테크 프로젝트에 착수했습니다. 에서 명령 John von Neumann과 Herman Goldstine의 물리학자인 Hedvig Selberg는 IAS의 1,700진공관 컴퓨터를 프로그래밍하여 기원이 18세기로 거슬러 올라가는 흥미로운 수학 합을 계산하도록 프로그래밍했습니다.
합은 유명한 수학자 Carl Friedrich Gauss의 이름을 따서 명명된 이차 가우스 합과 관련되었습니다. 가우스는 소수를 선택할 것입니다. p, 그런 다음 $latex e^{frac{2irin^2}{p}}$ 형식의 숫자를 합산합니다. 처음부터 XNUMX차 가우스 합은 특정 유형의 방정식에 대한 솔루션을 계산하는 것과 같은 작업에 매우 유용한 것으로 입증되었습니다. "가우스 합은 마법과 같은 것으로 밝혀졌습니다. 신은 그 이유를 알고 있기 때문에 놀라운 일을 할 수 있습니다."라고 말했습니다. 제프리 호프스타인, 브라운 대학의 수학자.
19세기 중반에 독일의 수학자 에른스트 에두아르드 쿰머(Ernst Eduard Kummer)는 이 XNUMX차 가우스 합과 가까운 친척을 가지고 놀고 있었습니다. n2 지수에서 다음으로 대체됩니다. n3. Kummer는 그들이 거의 특정한 값을 놀라운 정도로 수집하는 경향이 있음을 알아차렸습니다. 예리한 관찰은 수세기에 걸친 수 이론 탐구로 이어질 것입니다.
XNUMX차 가우스 합계가 더 간단한 공식으로 재작업되지 않으면 그 값을 추론하기 어렵습니다. 이러한 공식이 없기 때문에 Kummer는 XNUMX차 가우스 합계 계산과 계산 및 계산에 착수했습니다. "그 당시에는 이런 종류의 영웅적인 계산을 손으로 수행하는 것이 매우 일반적이었습니다."라고 말했습니다. 매튜 영, 텍사스 A&M 대학의 수학자. 처음 45개의 중요하지 않은 소수에 해당하는 45개의 합을 쟁기질한 후 Kummer는 마침내 포기했습니다.
그의 결과를 조사하면서 Kummer는 흥미로운 사실을 발견했습니다. 이론적으로 합은 -1과 1 사이의 값이 될 수 있습니다("정규화" 후 — 적절한 상수로 나눈 값). 그러나 그가 계산을 했을 때, 그는 그것들이 이상한 방식으로 분포되어 있다는 것을 발견했습니다. 결과의 절반은 1/1과 1 사이였고 그 중 XNUMX/XNUMX만이 -XNUMX과 -½ 사이였습니다. 그들은 XNUMX 주위에 군집하는 것으로 나타났습니다.
Kummer는 추측과 함께 자신의 관찰을 설명했습니다. 무한히 많은 1차 가우스 합을 어떻게든 모두 그릴 수 있다면 대부분이 ½과 1 사이에 있는 것을 보게 될 것입니다. -½과 ½ 사이에서 더 적음; -XNUMX과 -½ 사이에서 여전히 더 적습니다.
Selberg, von Neumann 및 Goldstine은 초기 컴퓨터에서 이것을 테스트하기 시작했습니다. Selberg는 10,000보다 작은 모든 중요하지 않은 소수에 대해 600차 가우스 합을 계산하도록 프로그래밍했습니다. 모두 합하면 약 1입니다. (Goldstine과 von Neumann은 계속해서 논문을 저술했으며, 그녀의 기여는 결국 승인 라인으로 강등되었습니다.) 그들은 소수가 커질수록 정규화된 합이 XNUMX에 가까워지는 경향이 줄어든다는 것을 발견했습니다. Kummer의 추측이 틀렸다는 확실한 증거가 나오자 수학자들은 단순한 계산을 넘어 더 깊은 방식으로 XNUMX차 가우스 합을 이해하기 시작했습니다.
이제 해당 프로세스가 완료되었습니다. 1978년, 수학자 사무엘 패터슨 Kummer의 수학적 수수께끼에 대한 해결책을 찾았지만 증명할 수 없었습니다. 그런 다음 지난 가을, 캘리포니아 공과 대학의 두 수학자가 패터슨의 추측을 증명하여 마침내 1846년부터 Kummer의 생각에 종지부를 찍었습니다.
Patterson은 1970년대에 케임브리지 대학교에서 대학원생으로 처음 이 문제에 푹 빠졌습니다. 그의 추측은 숫자가 -1과 1 사이의 임의의 위치에 무작위로 배치될 때 일어나는 일에 동기를 부여했습니다. N 이러한 난수 중에서 합계의 일반적인 크기는 $latexsqrt{N}$입니다(양수 또는 음수일 수 있음). 마찬가지로, 1차 가우스 합이 -1에서 XNUMX까지 고르게 흩어져 있다면 다음과 같이 예상할 수 있습니다. N 그 중 대략 $latexsqrt{N}$까지 추가합니다.
이를 염두에 두고 Patterson은 다음과 같이 덧붙였습니다. N XNUMX차 가우스 합계, (현재로서는) 소수를 고수해야 한다는 요구 사항은 무시합니다. 그는 그 합계가 주위에 있다는 것을 발견했습니다. N5/6 — $latexsqrt{N}$보다 큽니다(다음과 같이 쓸 수 있음). N1/2), 그러나 미만 N. 이 값은 합계가 난수처럼 행동하지만 약한 힘으로 인해 양수 값을 향해 압력을 가하는 편향이라고 함을 의미합니다. 처럼 N 점점 더 커지면 무작위성이 편향을 압도하기 시작하므로 무한히 많은 XNUMX차 가우스 합계를 한 번에 어떻게든 모두 보면 고르게 분포된 것처럼 보일 것입니다.
이것은 겉보기에 모든 것을 설명했습니다. Kummer의 계산은 편향을 보여주고 IAS 계산은 편향을 반박합니다.
그러나 Patterson은 소수에 대해 동일한 계산을 할 수 없었으므로 1978년에 공식적으로 다음과 같이 기록했습니다. 어림짐작: 소수에 대한 XNUMX차 가우스 합을 더하면 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. N5/6 행동.
Kummer 문제에 대한 그의 작업에 대해 이야기한 직후 Patterson은 Roger Heath-Brown이라는 대학원생에게 연락을 받았으며, 그는 소수 이론의 기술을 통합할 것을 제안했습니다. 둘이 뭉쳐서 금방 출판 문제에 대한 진전이 있었지만 그들은 여전히 Patterson이 예측했다는 것을 보여줄 수 없었습니다. N5/6 바이어스는 소수에 대해 정확했습니다.
그 후 수십 년 동안 진전이 거의 없었습니다. 마침내 천년기의 전환기에 Heath-Brown은 또 다른 돌파구, 그가 개발한 입방체 대형 체라는 도구가 중요한 역할을 했습니다.
입방체 대형 체를 사용하기 위해 Heath-Brown은 일련의 계산을 사용하여 입방체 가우스 합과 다른 합을 연관시켰습니다. 이 도구를 사용하여 Heath-Brown은 다음보다 작은 소수에 대한 XNUMX차 가우스 합을 더하면 N, 결과는 다음보다 훨씬 클 수 없습니다. N5/6. 그러나 그는 자신이 더 잘할 수 있다고 생각했습니다. 체 자체를 개선할 수 있다는 것입니다. 할 수 있다면 한계를 낮출 것입니다. N5/6 정확히, 따라서 Patterson의 추측을 증명합니다. 짧은 텍스트 줄에서 그는 체에 대해 가능한 가장 좋은 공식이 무엇이라고 생각하는지 스케치했습니다.
이 새로운 도구를 가지고도 수학자들은 더 이상 발전할 수 없었습니다. 그리고 XNUMX년 후, Caltech Postdoc 사이의 운 좋은 만남 알렉산더 던 그리고 그의 상사 막심 라지빌 끝의 시작을 표시했습니다. Dunn이 2020년 19월에 그의 직책을 시작하기 전에 Radziwiłł은 Patterson의 추측을 함께 작업할 것을 제안했습니다. 그러나 Covid-2021 전염병이 여전히 맹위를 떨치고 있는 가운데 연구와 교육은 원격으로 계속되었습니다. 마침내 XNUMX년 XNUMX월, 패서디나 주차장에서 두 수학자가 예기치 않게 부딪쳤을 때 우연 또는 운명이 개입했습니다. Dunn은 이메일에서 "우리는 진심으로 대화를 나눴고 만나서 수학에 대해 이야기하기로 합의했습니다."라고 썼습니다. XNUMX월까지 그들은 Patterson의 추측을 증명하기 위해 열심히 노력했습니다.
Dunn은 "작업하는 것은 흥미로웠지만 매우 위험했습니다. "내 말은, 5~XNUMX개월 동안 매일 새벽 XNUMX시에 사무실에 왔던 기억이 납니다."
Dunn과 Radziwiłł은 이전의 Heath-Brown과 마찬가지로 입방체의 큰 체를 증명하는 데 필수 불가결함을 발견했습니다. 그러나 그들은 Heath-Brown이 2000년 논문에 적었던 공식을 사용하면서 - 그가 믿을 수 있는 최고의 체, 정수론 공동체가 믿게 된 추측 -을 사용하면서 그들은 무언가가 옳지 않다는 것을 깨달았습니다. . Radziwiłł은 "매우 복잡한 작업 끝에 1 = 2임을 증명할 수 있었습니다."라고 말했습니다.
그 시점에서 Radziwiłł은 실수가 자신의 것이라고 확신했습니다. "나는 우리의 증명에 기본적으로 오류가 있다고 확신했습니다." Dunn은 그렇지 않으면 그를 설득했습니다. 입방체의 큰 체는 기대와 달리 개선할 수 없었습니다.
입방체 대형 체의 정확성으로 무장한 Dunn과 Radziwiłł은 Patterson의 추측에 대한 접근 방식을 재조정했습니다. 이번에는 성공했습니다.
Radziwiłł은 "이 [Heath-Brown] 추측이 모든 사람을 오도했기 때문에 아무도 이것을 하지 않은 주된 이유라고 생각합니다."라고 말했습니다. "내가 히스 브라운에게 그의 추측이 틀렸다고 말하면 그는 아마도 그것을 하는 방법을 알아낼 것이라고 생각합니다."
Dunn과 Radziwiłł은 15년 2021월 XNUMX일에 논문을 게시했습니다. 결국, 그들의 증명은 수학에서 입증되지 않은 추측으로 유명한 일반화된 리만 가설에 의존했습니다. 그러나 다른 수학자들은 이것을 단지 사소한 결점으로 봅니다. “우리는 가설을 없애고 싶습니다. 하지만 어쨌든 조건부 결과를 얻게 되어 기쁩니다.”라고 말했습니다. 히스 브라운, 현재 옥스포드 대학의 명예 교수입니다.
Heath-Brown에게 Dunn과 Radziwiłł의 작업은 단순히 Patterson의 추측을 증명하는 것 이상입니다. 입방체의 큰 체에 대한 예상치 못한 통찰력으로 그들의 논문은 그가 수십 년 동안 참여해 온 이야기에 놀라운 결말을 가져왔습니다. Dunn과 Radziwiłł이 발견한 체의 일부가 필수적임을 언급하면서 "나는 내 논문에 '나는 이것을 없앨 수 있다고 확신합니다'라고 쓰지 않아서 기쁩니다."라고 말했습니다. “그냥 '이거 없애면 좋을 텐데. 당신이 할 수 있어야 가능한 것 같습니다.' 그리고 내가 틀렸습니다. 처음이 아닙니다.”
