바늘 위에 얹힌 추측의 탑 | 콴타 매거진

수학에서는 간단한 문제가 보이는 것과 다른 경우가 많습니다. 올 여름 초, 콴타 그러한 문제 중 하나에 대해보고했습니다.: 무한히 얇은 바늘을 모든 방향으로 회전시키면서 쓸어낼 수 있는 가장 작은 면적은 얼마입니까? 다이얼처럼 중앙을 중심으로 돌리면 원이 생깁니다. 하지만 좀 더 영리하게 회전하면 공간의 작은 부분을 임의로 덮을 수 있습니다. 바늘이 하나의 연속 동작으로 움직일 필요가 없고 대신 단순히 모든 방향으로 바늘을 놓는 경우 전혀 영역을 덮지 않는 바늘 배열을 구성할 수 있습니다.

수학자들은 이러한 배열을 Kakeya 세트라고 부릅니다. 그들은 그러한 세트가 면적(바늘을 XNUMX차원 이상으로 배열하는 경우 부피) 측면에서 작을 수 있다는 것을 알고 있지만, 하우스도르프(Hausdorff)라는 측정 기준으로 크기를 측정하는 경우 세트는 항상 커야 한다고 믿습니다. 치수.

수학자들은 카케야 추측으로 알려진 이 진술을 아직 증명하지 못했습니다. 표면적으로는 바늘에 관한 간단한 질문이지만 "Kakeya 집합의 기하학은 편미분 방정식, 조화 분석 및 기타 분야에 대한 수많은 질문을 뒷받침합니다"라고 말했습니다. 조나단 힉맨 에든버러 대학교의.

Kakeya 추측은 조화 분석의 세 가지 핵심 문제 계층 구조의 기초에 있습니다. 이는 함수가 정기적으로 진동하는 사인파와 같은 주기 함수의 합으로 어떻게 표현될 수 있는지 연구하는 수학의 한 분야입니다.

해당 계층 구조의 다음 단계는 "제한" 추측입니다. 그것이 사실이라면 카케야의 추측도 마찬가지다. (이것은 또한 Kakeya 추측이 거짓으로 판명되면 제한 추측이 참일 수 없다는 것을 의미합니다.) 제한 추측은 소위 Bochner-Riesz 추측에 의해 암시됩니다. 그리고 맨 위에는 국소 평활화 추측이 있습니다.

처음 두 추측은 사실상 거의 모든 함수를 사인파의 합으로 표현하는 방법을 계산하기 위한 조화 분석 기술인 푸리에 변환의 동작을 다루고 있습니다. 이는 물리학자와 엔지니어가 사용할 수 있는 가장 강력한 수학적 도구 중 하나입니다. 푸리에 변환은 미분 방정식을 풀고, 하이젠베르크의 불확정성 원리와 같은 양자 역학적 아이디어를 표현하고, 신호를 분석 및 처리하여 현대 휴대폰과 같은 것을 가능하게 하는 데 근본적인 역할을 했습니다.

계층 구조의 각 진술은 그 아래의 진술을 암시하므로 Kakeya 추측이 거짓이면 다른 추측은 모두 참이 아닙니다. 탑 전체가 무너질 것입니다. Hickman은 “많은 추측을 깨뜨릴 수 있는 슈퍼 몬스터 반례를 만들 수 있습니다.”라고 말했습니다.

반면, Kakeya 추측이 사실이라는 것을 증명한다고 해서 다른 추측의 진실이 자동으로 암시되는 것은 아니지만 수학자에게 진행 방법에 대한 중요한 통찰력을 제공할 것입니다.

그래서 "내가 아는 조화 분석 커뮤니티의 거의 절반이 이 문제 및 관련 문제를 해결하고 있거나 어느 시점에서 작업한 적이 있습니다"라고 말했습니다. 구오 샤오밍 위스콘신 대학교 매디슨 캠퍼스.

최근에 수학자들은 놀랍게도 이러한 문제를 해결하기 위해 개발한 기술이 겉보기에 관련이 없어 보이는 정수론 분야의 주요 결과를 증명하는 데에도 사용될 수 있다는 사실을 발견했습니다. "이것은 사람들이 생각했던 것보다 훨씬 더 일반적인 현상입니다"라고 Guo는 말했습니다.

레이어 케이크

이야기는 푸리에 변환으로 시작됩니다. "[기능]을 작은 조각으로 분해하고 상호 작용을 분석한 다음 다시 추가하고 싶습니다."라고 말했습니다. 유멍 오우 펜실베니아 대학의. XNUMX차원 함수(종이에 그릴 수 있는 곡선)의 경우 수학자들은 일부 조각만 사용하여 푸리에 변환을 역전해야 하는 경우에도 이를 수행하는 방법을 잘 이해하고 있습니다.

하지만 XNUMX차원 이상에서는 상황이 복잡해질 수 있습니다.

1971년에 찰리 페퍼만프린스턴 대학의 수학자인 는 푸리에 변환을 역으로 하면 다차원에서 이상하고 놀라운 결과가 발생할 수 있음을 보여주기 위해 Kakeya 집합을 사용하는 방법을 알아냈습니다.

수학자들은 Bochner-Riesz 추측의 형태로 해결책을 찾았습니다. 이 추측은 본질적으로 Fefferman의 예처럼 분해되지 않는 원래 함수를 복구하는 더 정교한 방법이 있다는 것을 나타냅니다. 그러나 그 수정은 카케야 추측의 진실 여부에 달려 있었습니다.

그것이 사실이라면 "주파수를 자르면 작은 오류만 발생할 것"이라고 말했습니다. 베시 스토발 위스콘신 대학교 매디슨 캠퍼스. “작은 오류가 터지지 않는다는 뜻이죠.”

그래서 계층 구조가 시작되었습니다. 나중에 수학자들은 또 다른 중요한 연관성을 발견했습니다. 만약 사실이라면 Bochner-Riesz 추측은 제한 추측이라는 진술도 암시합니다. 이 추측은 제한된 버전의 푸리에 변환(특정 표면에 있는 값만 보는 값을 "제한")으로 시작하는 경우에도 원래 함수에 대한 중요한 정보를 제공할 수 있다고 말합니다. 그리고 제한 추측이 사실이라면 카케야 추측도 사실인 것으로 밝혀졌습니다. (이로 인해 탑의 Kakeya와 Bochner-Riesz 사이에 제한 추측이 제기되었습니다.)

국소 평활화 추측이라고 불리는 계층 구조의 가장 중요한 문제는 푸리에 변환을 직접 다루지 않고 파동의 동작을 설명하는 방정식에 대한 해의 크기에 한계를 두는 것입니다.

Kakeya 세트의 선 기하학 측면에서도 이것을 생각할 수 있습니다. 파동 방정식에 대한 일반적인 해를 여러 방향으로 움직이고 시간이 지남에 따라 서로 다른 방식으로 상호 작용하는 여러 조각으로 나눌 수 있습니다. 각 조각은 수학적으로 Kakeya 세트의 바늘과 유사합니다. Kakeya 추측은 그러한 구성이 너무 많이 중복될 수 없다고 주장합니다. 이러한 물리적 맥락에서 중복은 솔루션에서 불규칙하고 예상치 못한 동작이 지속되는 것을 의미합니다. 예를 들어 음파는 여러 지역에서 다양한 시간에 증폭될 수 있습니다.

국소 평활화 추측은 그러한 불규칙성이 평균화되어야 함을 나타냅니다. “금융시장의 평균을 취하는 것과 같다”고 말했다. 시프리안 데메테르 인디애나 대학교 블루밍턴. “여기저기서 붕괴가 있을 수 있지만, 돈을 투자하고 40년 후에 은퇴한다면 좋은 투자를 받을 가능성이 높습니다.”

그러나 계층 구조의 모든 추측과 마찬가지로 그것은 Kakeya 추측의 진실 여부에 달려 있습니다. "Kakeya 세트에서 많은 교차점을 배제하면 솔루션의 일부가 함께 공모하여 일종의 폭발을 일으키는 상황을 배제할 수 있다는 의미입니다."라고 Stovall은 말했습니다.

이 추측은 가장 어려운 추측입니다. Kakeya, 제한 및 Bochner-Riesz 문제의 XNUMX차원 사례는 수십 년 전에 해결되었지만 XNUMX차원 로컬 평활화 추측은 불과 몇 년 전에만 입증되었습니다. (더 높은 차원에서는 이러한 모든 문제가 여전히 열려 있습니다.)

그러나 국소 평활화 추측을 증명하는 데 있어 느린 진전에도 불구하고 이에 대한 작업은 다른 곳에서 엄청난 진전을 가져왔습니다. 1999년에 수학자 토마스 울프(Thomas Wolff)는 이 추측을 풀기 위해 디커플링(decoupling)이라는 방법을 도입했습니다. 그 이후로 이 기술은 그 자체로 생명을 얻었습니다. 조화 분석뿐만 아니라 정수론, 기하학 및 기타 분야에서 획기적인 발전을 이루는 데 사용되었습니다. "디커플링 결과를 사용하면 이제 매우 유명하고 중요한 문제에서 세계 기록을 보유하게 되었습니다."라고 말했습니다. 크리스토퍼 소게 1990년대에 처음으로 국소 평활화 추측을 공식화한 존스 홉킨스 대학의 교수입니다. 예를 들어, 디커플링은 정수가 제곱, 세제곱 또는 기타 거듭제곱의 합으로 표현될 수 있는 방법의 수를 계산하는 데 도움이 되었습니다.

Demeter가 말했듯이 "우리는 숫자를 파도로 볼 수 있기 때문에" 이러한 결과가 가능합니다. 이러한 모든 문제가 Kakeya 바늘 세트와 연관되어 있다는 사실은 “매혹적”이라고 그는 덧붙였습니다. "선분을 사용하여 공식화할 수 있는 것에는 그토록 많은 아름다움, 어려움, 중요성이 숨겨져 있을 수 있다고 생각하지 않습니다."