개요
알고리즘은 어디에나 존재하게 되었습니다. 통근을 최적화하고 결제를 처리하며 인터넷 트래픽 흐름을 조정합니다. 정확한 수학적 용어로 설명할 수 있는 모든 문제에는 적어도 원칙적으로는 이를 해결할 수 있는 알고리즘이 있는 것 같습니다.
하지만 그렇지 않습니다. 겉보기에 단순해 보이는 일부 문제는 결코 알고리즘으로 해결할 수 없습니다. 선구적인 컴퓨터 과학자 앨런 튜링 증명 거의 XNUMX년 전 그가 공식화한 같은 논문에서 그러한 "계산할 수 없는" 문제의 존재를 언급했습니다. 계산의 수학적 모델 그것은 현대 컴퓨터 과학을 시작했습니다.
튜링은 직관에 반하는 전략을 사용하여 이 획기적인 결과를 증명했습니다. 그는 문제를 해결하려는 모든 시도를 단순히 거부하는 문제를 정의했습니다.
“무슨 일을 하느냐고 묻자 저는 '아니요, 다른 일을 할게요'라고 대답했어요." 라훌 일랑고, MIT에서 이론 컴퓨터 과학을 공부하는 대학원생입니다.
튜링의 전략은 뛰어난 역사를 지닌 대각화라는 수학적 기법을 기반으로 했습니다. 그의 증명 뒤에 숨겨진 논리에 대한 간단한 설명은 다음과 같습니다.
끈 이론
대각선화는 각각 0 또는 1일 수 있는 비트 문자열과 관련된 일상적인 문제를 해결하기 위한 영리한 트릭에서 비롯됩니다. 이러한 문자열 목록이 모두 동일하게 주어지면 비트에 없는 새 문자열을 생성할 수 있습니까? 목록?
가장 간단한 전략은 가능한 각 문자열을 차례로 고려하는 것입니다. 각각 00000비트 길이의 00001개 문자열이 있다고 가정합니다. XNUMX에 대한 목록을 검색하여 시작하십시오. 거기에 없으면 중지할 수 있습니다. 그렇다면 XNUMX로 이동하여 프로세스를 반복하십시오. 이는 충분히 간단하지만 긴 문자열 목록의 경우 속도가 느립니다.
대각선화는 누락된 문자열을 비트 단위로 구축하는 대체 접근 방식입니다. 목록에 있는 첫 번째 문자열의 첫 번째 비트부터 시작하여 이를 반전시킵니다. 이것이 새 문자열의 첫 번째 비트가 됩니다. 그런 다음 두 번째 문자열의 두 번째 비트를 반전시켜 이를 새 문자열의 두 번째 비트로 사용하고 목록 끝에 도달할 때까지 반복합니다. 뒤집는 비트는 새 문자열이 적어도 한 곳에서 원래 목록의 모든 문자열과 다른지 확인합니다. (또한 문자열 목록을 통해 대각선을 형성하여 기술에 이름을 부여합니다.)
대각선화는 목록의 각 문자열에서 XNUMX비트만 검사하면 되므로 다른 방법보다 훨씬 빠른 경우가 많습니다. 그러나 그 진정한 힘은 무한대를 얼마나 잘 활용하느냐에 달려 있습니다.
“이제 문자열은 무한해질 수 있습니다. 목록은 무한할 수 있습니다. 여전히 작동합니다.”라고 말했습니다. 라이언 윌리엄스, MIT의 이론 컴퓨터 과학자입니다.
이 힘을 최초로 활용한 사람은 집합론의 수학적 하위 분야 창시자인 게오르그 칸토어(Georg Cantor)였습니다. 1873년에 칸토어는 대각선화를 사용하여 일부 무한대가 다음과 같다는 것을 증명했습니다. 남들보다 크다. XNUMX년 후, 튜링은 칸토어의 대각화 버전을 계산 이론에 적용하여 명백히 반대되는 성향을 부여했습니다.
제한 게임
튜링은 어떤 알고리즘으로도 해결할 수 없는 수학적 문제, 즉 입력과 출력이 잘 정의되어 있지만 입력에서 출력까지의 완벽한 절차가 없는 문제의 존재를 증명하고 싶었습니다. 그는 입력이 0과 1의 문자열일 수 있고 출력이 0 또는 1인 의사결정 문제에만 집중함으로써 이 모호한 작업을 보다 관리하기 쉽게 만들었습니다.
숫자가 소수인지(1과 그 자체로만 나눌 수 있음) 결정하는 것은 결정 문제의 한 예입니다. 숫자를 나타내는 입력 문자열이 주어지면 숫자가 소수이면 올바른 출력은 1이고 그렇지 않으면 0입니다. 또 다른 예는 컴퓨터 프로그램에서 구문 오류(문법 오류와 동일)를 확인하는 것입니다. 여기서 입력 문자열은 다양한 프로그램에 대한 코드를 나타냅니다. 모든 프로그램은 컴퓨터에서 저장되고 실행되는 방식이기 때문에 이런 방식으로 표현할 수 있습니다. 목표는 코드에 구문 오류가 있으면 1을 출력하고 그렇지 않으면 0을 출력하는 것입니다. 티.
알고리즘은 가능한 모든 입력에 대해 올바른 출력을 생성하는 경우에만 문제를 해결합니다. 한 번이라도 실패하면 해당 문제에 대한 범용 알고리즘이 아닙니다. 일반적으로 먼저 해결하려는 문제를 지정한 다음 문제를 해결하는 알고리즘을 찾으려고 합니다. 해결할 수 없는 문제를 찾기 위해 Turing은 이 논리를 뒤집어 놓았습니다. 그는 가능한 모든 알고리즘의 무한한 목록을 상상하고 대각선화를 사용하여 목록에 있는 모든 알고리즘을 방해하는 완고한 문제를 구성했습니다.
20개의 질문으로 구성된 조작된 게임을 상상해 보십시오. 여기서 답변자는 특정 대상을 염두에 두고 시작하지 않고 각 질문에 대해 아니오라고 대답할 변명을 만들어냅니다. 게임이 끝날 때까지 그들은 부족한 품질로 완전히 정의된 개체를 설명했습니다.
튜링의 대각화 증명은 질문이 가능한 알고리즘의 무한한 목록을 통해 실행되며 "이 알고리즘이 우리가 계산 불가능하다고 증명하고 싶은 문제를 해결할 수 있습니까?"라고 반복적으로 묻는 이 게임 버전입니다.
Williams는 "이것은 일종의 '무한 질문'입니다."라고 말했습니다.
게임에서 승리하려면 Turing은 모든 알고리즘에 대해 대답이 '아니요'인 문제를 만들어야 했습니다. 이는 첫 번째 알고리즘이 잘못된 답을 출력하게 만드는 특정 입력, 두 번째 알고리즘이 실패하게 만드는 또 다른 입력 등을 식별하는 것을 의미했습니다. 그는 Kurt Gödel이 최근에 사용한 것과 유사한 트릭을 사용하여 특별한 입력을 찾았습니다. 증명 "이 진술은 증명할 수 없습니다"와 같은 자기 참조적 주장은 수학의 기초에 문제를 일으켰습니다.
핵심 통찰력은 모든 알고리즘(또는 프로그램)이 0과 1의 문자열로 표현될 수 있다는 것입니다. 이는 오류 검사 프로그램의 예에서와 같이 알고리즘이 다른 알고리즘의 코드를 입력으로 사용할 수 있음을 의미합니다. 원칙적으로 알고리즘은 자체 코드를 입력으로 사용할 수도 있습니다.
이러한 통찰력을 통해 우리는 Turing의 증명과 같은 계산 불가능한 문제를 정의할 수 있습니다. “알고리즘의 코드를 나타내는 입력 문자열이 주어지면 해당 알고리즘이 자체 코드가 입력일 때 1을 출력하면 0을 출력하고, 그렇지 않으면 0을 출력합니다. 그렇지 않으면 XNUMX을 출력합니다.” 이 문제를 해결하려는 모든 알고리즘은 적어도 하나의 입력, 즉 자체 코드에 해당하는 입력에서 잘못된 출력을 생성합니다. 이는 이 비뚤어진 문제가 어떤 알고리즘으로도 해결될 수 없다는 것을 의미합니다.
부정이 할 수 없는 일
컴퓨터 과학자들은 아직 대각화를 완료하지 못했습니다. 1965년에 Juris Hartmanis와 Richard Stearns는 Turing의 주장을 다음과 같이 적용했습니다. 증명 모든 계산 가능한 문제가 동일하게 생성되는 것은 아닙니다. 일부는 본질적으로 다른 것보다 어렵습니다. 그 결과, 계산 문제의 어려움을 연구하는 계산 복잡성 이론 분야가 탄생했습니다.
그러나 복잡성 이론은 튜링의 반대 방법의 한계도 드러냈습니다. 1975년, 테오도르 베이커(Theodore Baker), 존 길(John Gill), 로버트 솔로베이(Robert Solovay) 증명 복잡성 이론의 많은 미해결 문제는 대각화만으로는 결코 해결될 수 없습니다. 그 중 가장 중요한 것은 유명한 P 대 NP 문제입니다. 이 문제는 쉽게 확인할 수 있는 솔루션이 있는 모든 문제가 올바른 독창적인 알고리즘으로도 해결하기 쉬운지 여부를 묻습니다.
대각선화의 맹점은 대각선화를 매우 강력하게 만드는 높은 추상화 수준의 직접적인 결과입니다. 튜링의 증명은 실제로 발생할 수 있는 계산 불가능한 문제를 포함하지 않았습니다. 대신에 그러한 문제를 즉석에서 만들어냈습니다. 다른 대각화 증명도 마찬가지로 현실 세계와 동떨어져 있으므로 실제 세부 사항이 중요한 문제를 해결할 수 없습니다.
Williams는 “그들은 먼 거리에서 계산을 처리합니다.”라고 말했습니다. "나는 바이러스를 다루고 글러브 박스를 통해 바이러스에 접근하는 사람을 상상합니다."
대각화의 실패는 P 대 NP 문제를 해결하는 것이 긴 여행. 그러나 그 한계에도 불구하고 대각화는 복잡성 이론가들의 무기고에서 핵심 도구 중 하나로 남아 있습니다. 2011년에 Williams는 이를 다른 기술과 함께 사용하여 증명 특정 제한된 계산 모델로는 매우 어려운 문제를 해결할 수 없다는 사실이 밝혀졌습니다. 그 결과는 25년 동안 연구자들에게 알려지지 않았습니다. P 대 NP 문제를 해결하는 것과는 거리가 멀지만 여전히 큰 진전을 이루었습니다.
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- 출처: https://www.quantamagazine.org/alan-turing-and-the-power-of-negative-thinking-20230905/
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