개요
수세기 동안 수학자들은 유체의 움직임을 이해하고 모델링하려고 노력했습니다. 잔물결이 연못의 표면을 주름지게 만드는 방법을 설명하는 방정식은 연구자들이 날씨를 예측하고 더 나은 비행기를 설계하고 순환계를 통해 혈액이 흐르는 방식을 특성화하는 데 도움이 되었습니다. 이러한 방정식은 올바른 수학적 언어로 작성되었을 때 믿을 수 없을 정도로 간단합니다. 그러나 그들의 솔루션은 너무 복잡해서 기본적인 질문조차 이해하기 어려울 수 있습니다.
아마도 250년 전에 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 공식화한 이 방정식 중 가장 오래되고 가장 두드러진 방정식은 이상적이고 비압축성 유체의 흐름을 설명합니다. 점성이 없는 유체 또는 내부 마찰이 있어 더 작은 부피로 강제될 수 없습니다. "거의 모든 비선형 유체 방정식은 일종의 오일러 방정식에서 파생됩니다."라고 말했습니다. 타렉 엘긴디, Duke University의 수학자. "그들이 처음이라고 말할 수 있습니다."
그러나 오일러 방정식이 항상 이상적인 유체 흐름의 정확한 모델인지 여부를 포함하여 오일러 방정식에 대해 아직 많이 알려지지 않았습니다. 유체 역학의 핵심 문제 중 하나는 방정식이 실패하여 유체의 미래 상태를 예측할 수 없도록 만드는 무의미한 값을 출력하는지 파악하는 것입니다.
수학자들은 오랫동안 방정식을 무너뜨리는 초기 조건이 존재한다고 의심해 왔습니다. 그러나 그들은 그것을 증명하지 못했습니다.
In 전인 지난 달 온라인에 게시된 한 쌍의 수학자들은 오일러 방정식의 특정 버전이 실제로 때때로 실패한다는 것을 보여주었습니다. 이 증명은 중대한 돌파구를 마련했으며 더 일반적인 버전의 방정식에 대한 문제를 완전히 풀지는 못하지만 마침내 그러한 해결책이 도달할 수 있다는 희망을 제공합니다. 놀라운 결과"라고 말했다. 트리스탄 벅 마스터, 작업에 참여하지 않은 메릴랜드 대학의 수학자. "문헌에 그런 종류의 결과가 없습니다."
단 하나의 캐치가 있습니다.
177년에 걸친 연구 프로그램의 결과인 XNUMX페이지 분량의 교정은 컴퓨터를 많이 사용합니다. 이것은 틀림없이 다른 수학자들이 그것을 검증하기 어렵게 만듭니다. (사실, 그들은 여전히 그렇게 하는 과정에 있지만, 많은 전문가들은 새로운 작업이 올바른 것으로 판명될 것이라고 믿고 있습니다.) 그것은 또한 "증거"가 무엇인지, 그리고 그것이 무엇을 할 것인지에 대한 철학적 질문을 생각하도록 강요합니다. 앞으로 이러한 중요한 문제를 해결할 수 있는 유일한 실행 가능한 방법은 컴퓨터의 도움을 받는 것입니다.
야수 목격
원칙적으로 유체에 있는 각 입자의 위치와 속도를 안다면 오일러 방정식은 유체가 항상 어떻게 진화할지 예측할 수 있어야 합니다. 그러나 수학자들은 그것이 실제로 사실인지 알고 싶어합니다. 아마도 어떤 상황에서는 방정식이 예상대로 진행되어 주어진 순간에 유체 상태에 대한 정확한 값을 생성하지만 해당 값 중 하나가 갑자기 무한대로 급등할 수 있습니다. 이 시점에서 오일러 방정식은 "특이점"을 발생시키거나 더 극적으로는 "폭발"한다고 합니다.
그 특이점에 도달하면 방정식은 더 이상 유체의 흐름을 계산할 수 없습니다. 그러나 "몇 년 전만 해도 사람들이 할 수 있는 것은 [폭발을 증명하는 것]에 훨씬 못 미쳤습니다."라고 말했습니다. 찰리 페퍼만, 프린스턴 대학의 수학자.
점도가 있는 유체를 모델링하려는 경우(거의 모든 실제 유체가 그렇듯이) 훨씬 더 복잡해집니다. 점도를 설명하는 오일러 방정식의 일반화인 Navier-Stokes 방정식에서 유사한 오류가 발생하는지 여부를 증명할 수 있는 사람에게는 Clay Mathematics Institute의 백만 달러 상당의 밀레니엄 상이 수여됩니다.
2013년에 토마스 허우, California Institute of Technology의 수학자, 그리고 궈루오, 현재 홍콩 항생 대학교에서 오일러 방정식이 특이점으로 이어지는 시나리오를 제안했습니다. 그들은 위쪽 절반이 시계 방향으로 소용돌이치고 아래쪽 절반이 시계 반대 방향으로 소용돌이치는 실린더의 유체에 대한 컴퓨터 시뮬레이션을 개발했습니다. 시뮬레이션을 실행하면서 더 복잡한 전류가 위아래로 움직이기 시작했습니다. 그 결과 반대편 흐름이 만나는 실린더 경계를 따라 이상한 동작이 발생했습니다. 회전의 척도인 유체의 와도가 너무 빨리 커져서 폭발할 것 같았습니다.
Hou와 Luo의 작업은 암시적이었지만 진정한 증거는 아니었습니다. 컴퓨터가 무한한 값을 계산하는 것은 불가능하기 때문입니다. 특이점을 보는 데 매우 가까워질 수 있지만 실제로 도달할 수는 없습니다. 즉, 솔루션이 매우 정확할 수 있지만 여전히 근사치입니다. 수학적 증거를 뒷받침하지 않으면 소용돌이의 값은 시뮬레이션의 일부 인공물로 인해 무한대로 증가하는 것처럼 보일 수 있습니다. 솔루션은 대신 다시 가라앉기 전에 엄청난 수로 증가할 수 있습니다.
이러한 역전은 이전에 발생했습니다. 시뮬레이션은 방정식의 값이 폭발했음을 나타내지만 보다 정교한 계산 방법이 그렇지 않은 경우에만 나타냅니다. "이러한 문제는 너무 섬세해서 도로가 이전 시뮬레이션의 잔해로 뒤덮였습니다."라고 Fefferman은 말했습니다. 사실, 그것이 Hou가 이 분야에서 시작한 방법입니다. 그의 초기 결과 중 일부는 가상 특이점의 형성이 틀렸음을 입증했습니다.
하지만 그와 Luo가 솔루션을 발표했을 때 대부분의 수학자들은 그것이 진정한 특이점일 가능성이 매우 높다고 생각했습니다. “매우 세심하고 매우 정확했습니다.”라고 말했습니다. 블라디미르 스베라크, 미네소타 대학의 수학자. "그들은 이것이 실제 시나리오임을 입증하기 위해 정말 많은 노력을 기울였습니다." Elgindi, Sverak 등의 후속 작업 그 확신을 강화했을 뿐이다..
그러나 증명하기 어려웠다. "당신은 야수를 목격했습니다." Fefferman이 말했습니다. "그럼 당신은 그것을 캡처하려고합니다." 그것은 Hou와 Luo가 신중하게 시뮬레이션한 대략적인 솔루션이 특정한 수학적 의미에서 방정식의 정확한 솔루션에 매우 매우 가깝다는 것을 보여주는 것을 의미했습니다.
첫 목격 이후 XNUMX년이 지난 지금, 허우와 그의 전 대학원생은 첸 지아지에 마침내 근처에 있는 특이점의 존재를 증명하는 데 성공했습니다.
자기유사한 땅으로의 이동
나중에 Chen이 합류한 Hou는 면밀한 분석을 통해 2013년의 대략적인 솔루션이 특별한 구조를 가지고 있는 것처럼 보인다는 사실을 이용했습니다. 방정식이 시간이 지남에 따라 진화함에 따라 솔루션은 자기 유사 패턴이라고 하는 것을 표시했습니다. 나중에 그 모양은 이전 모양과 매우 유사해 보였고 특정 방식으로만 크기가 조정되었습니다.
결과적으로 수학자들은 특이점 자체를 보려고 노력할 필요가 없었습니다. 대신, 이전 시점에 초점을 맞춤으로써 간접적으로 연구할 수 있습니다. 솔루션의 자기유사 구조에 따라 결정되는 올바른 속도로 솔루션의 해당 부분을 확대함으로써 그들은 특이점 자체를 포함하여 나중에 일어날 일을 모델링할 수 있습니다.
2013년 폭파 시나리오와 유사한 유사성을 찾는 데 몇 년이 걸렸습니다. (올해 초, Buckmaster를 포함한 다른 수학자 팀은 다른 방법을 사용하여 비슷한 근사해 찾기. 그들은 현재 이 솔루션을 사용하여 특이점 형성에 대한 독립적인 증거를 개발하고 있습니다.)
대략적인 자체 유사 솔루션을 사용하여 Hou와 Chen은 근처에 정확한 솔루션이 존재한다는 것을 보여주어야 했습니다. 수학적으로 이것은 대략적인 자기 유사 솔루션이 안정적이라는 것을 증명하는 것과 같습니다. 즉, 약간 섭동한 다음 이러한 섭동된 값에서 시작하는 방정식을 전개하더라도 주변의 작은 이웃을 벗어날 방법이 없다는 것입니다. 대략적인 솔루션. 허우는 "블랙홀과 같다"고 말했다. "근처에 있는 프로필로 시작하면 빨려들게 됩니다."
그러나 일반적인 전략을 갖는 것은 해결책을 향한 한 걸음에 불과했습니다. "까다로운 세부 사항이 중요합니다."라고 Fefferman은 말했습니다. Hou와 Chen은 그 후 몇 년 동안 이러한 세부 사항을 작업하면서 다시 한 번 컴퓨터에 의존해야 한다는 사실을 알게 되었습니다. 이번에는 완전히 새로운 방식이었습니다.
하이브리드 접근 방식
그들의 첫 번째 과제 중 하나는 그들이 증명해야 하는 정확한 진술을 알아내는 것이었습니다. 그들은 대략적인 솔루션에 가까운 값 세트를 취하여 방정식에 연결하면 출력이 멀리 벗어날 수 없다는 것을 보여주고 싶었습니다. 그러나 입력이 근사해에 "가깝다"는 것은 무엇을 의미합니까? 그들은 이것을 수학적 진술로 명시해야 했습니다. 하지만 이 맥락에서 거리의 개념을 정의하는 방법은 많습니다. 증명이 작동하려면 올바른 것을 선택해야 했습니다.
"다양한 물리적 효과를 측정해야 합니다."라고 말했습니다. 라파엘 데 라 라베, Georgia Institute of Technology의 수학자. "따라서 문제에 대한 깊은 이해를 바탕으로 선택해야 합니다."
허우와 첸은 "가까움"을 설명하는 올바른 방법을 찾은 후 그 진술을 증명해야 했고, 이는 다시 스케일링된 방정식과 근사 솔루션의 항을 포함하는 복잡한 부등식으로 귀결되었습니다. 수학자들은 모든 용어의 값이 매우 작은 값과 균형을 이루도록 해야 했습니다. 한 값이 커지면 다른 값은 음수가 되거나 억제되어야 했습니다.
"조금 너무 크거나 너무 작게 만들면 모든 것이 망가집니다." 하비에르 고메즈-세라노, 브라운 대학의 수학자. "따라서 매우 매우 신중하고 섬세한 작업입니다."
“정말 치열한 싸움입니다.” Elgindi가 덧붙였습니다.
허우와 첸은 이 모든 다른 용어에 필요한 엄격한 범위를 얻기 위해 불평등을 두 가지 주요 부분으로 나누었습니다. 그들은 프랑스 수학자 Gaspard Monge가 나폴레옹 군대를 위한 요새를 건설하기 위해 토양을 운반하는 최적의 방법을 찾았던 18세기로 거슬러 올라가는 기술을 포함하여 첫 번째 부분을 손으로 처리할 수 있었습니다. Fefferman은 "이와 같은 작업은 이전에 수행되었지만 [Hou와 Chen]이 이를 위해 사용했다는 사실에 놀랐습니다."라고 말했습니다.
그것은 불평등의 두 번째 부분을 남겼습니다. 이를 해결하려면 컴퓨터 지원이 필요합니다. 우선, 수행해야 할 계산이 너무 많고 정밀도가 너무 높아서 "연필과 종이로 해야 하는 작업의 양이 어마어마할 것"이라고 de la Llave는 말했습니다. 다양한 용어의 균형을 맞추기 위해 수학자들은 컴퓨터에는 상대적으로 쉽지만 인간에게는 시간이 많이 걸리는 일련의 최적화 문제를 수행해야 했습니다. 일부 값은 근사 솔루션의 양에 따라 달라집니다. 그것은 컴퓨터를 사용하여 계산되었기 때문에 컴퓨터를 사용하여 이러한 추가 계산을 수행하는 것이 더 간단했습니다.
Gómez-Serrano는 "이러한 추정 중 일부를 수동으로 수행하려고 하면 어느 시점에서 과대 평가하게 될 수 있으며, 그러면 손실을 보게 될 것입니다."라고 말했습니다. "숫자는 너무 작고 빡빡하며 마진은 엄청나게 얇습니다."
그러나 컴퓨터는 무한한 자릿수를 조작할 수 없기 때문에 작은 오류가 불가피하게 발생합니다. Hou와 Chen은 이러한 오류가 나머지 균형 작업을 방해하지 않도록 주의 깊게 추적해야 했습니다.
궁극적으로 그들은 모든 항에 대한 범위를 찾을 수 있었고 증명을 완성했습니다. 방정식은 실제로 특이점을 생성했습니다.
컴퓨터로 증명
더 복잡한 방정식(원통형 경계가 없는 오일러 방정식과 Navier-Stokes 방정식)이 특이점을 나타낼 수 있는지 여부는 여전히 열려 있습니다. "하지만 [이 작업]은 적어도 저에게 희망을 줍니다."라고 Hou는 말했습니다. "전 밀레니엄 문제를 결국 해결할 수 있는 방법이 보입니다."
한편 Buckmaster와 Gómez-Serrano는 컴퓨터 지원 증명 작업을 진행하고 있습니다. 그들이 희망하는 증명은 Hou와 Chen이 해결한 문제뿐만 아니라 다른 많은 문제를 해결할 수 있는 더 일반적인 증명입니다.
이러한 노력은 중요한 문제를 해결하기 위해 컴퓨터를 사용하는 유체 역학 분야의 성장 추세를 나타냅니다.
"수학의 여러 분야에서 점점 더 자주 발생하고 있습니다."라고 말했습니다. 수잔 프리들랜더, 서던 캘리포니아 대학의 수학자.
그러나 유체역학에서 컴퓨터 지원 증명은 여전히 상대적으로 새로운 기술입니다. 사실, 특이점 형성에 관한 진술에 관해서는 Hou와 Chen의 증명이 최초입니다. 이전 컴퓨터 지원 증명은 해당 영역의 장난감 문제만 해결할 수 있었습니다.
그러한 증거는 "취미의 문제"만큼 논란의 여지가 없다고 말했습니다. 피터 콘스탄틴 프린스턴 대학의. 수학자들은 일반적으로 증명이 다른 수학자들에게 어떤 추론이 옳다는 것을 확신시켜야 한다는 데 동의합니다. 그러나 많은 사람들은 그것이 단순히 그것이 옳다는 확인을 제공하는 것이 아니라 특정 진술이 참인 이유에 대한 이해를 향상시켜야 한다고 주장합니다. "우리는 근본적으로 새로운 것을 배우고 있습니까, 아니면 질문에 대한 답을 알고 있습니까?" 엘긴디가 말했다. "수학을 예술로 본다면 이것은 미학적으로 그다지 즐겁지 않습니다."
“컴퓨터가 도움이 될 수 있습니다. 훌륭합니다. 그것은 나에게 통찰력을 제공합니다. 그러나 그것은 나에게 완전한 이해를 제공하지 않습니다.”라고 Constantin이 덧붙였습니다. "이해는 우리에게서 나옵니다."
그의 입장에서 Elgindi는 여전히 폭발에 대한 대안적인 증거를 전적으로 손으로 해결하기를 희망합니다. 그는 Hou와 Chen의 작업에 대해 "이것이 존재한다는 것이 전반적으로 기쁩니다."라고 말했습니다. "하지만 컴퓨터에 덜 의존하는 방식으로 시도하려는 동기 부여로 받아들입니다."
다른 수학자들은 컴퓨터를 이전에는 다루기 힘든 문제를 해결할 수 있게 해주는 필수적인 새로운 도구로 보고 있습니다. Chen은 “이제 작업은 더 이상 종이와 연필이 아닙니다. "더 강력한 것을 사용할 수 있는 옵션이 있습니다."
그와 다른 사람들에 따르면(손으로 증명을 작성하는 것을 개인적으로 선호함에도 불구하고 Elgindi를 포함하여) 유체 역학의 큰 문제, 즉 점점 더 복잡해지는 방정식을 포함하는 문제를 해결하는 유일한 방법은 컴퓨터 지원에 크게 의존합니다. Fefferman은 "컴퓨터 지원 증명을 많이 사용하지 않고 이 작업을 수행하려는 것은 한두 손을 등 뒤로 묶는 것과 같다"고 말했습니다.
그것이 사실이고 "선택의 여지가 없다면" Elgindi는 말했습니다. 그것은 또한 더 많은 수학자들이 컴퓨터 지원 증명을 작성하는 데 필요한 기술을 배우기 시작해야 한다는 것을 의미합니다. 이는 Hou와 Chen의 작업이 희망적으로 영감을 줄 것입니다. Buckmaster는 "이 접근 방식에 자신의 시간을 투자하기 전에 단순히 누군가가 그러한 문제를 해결하기를 기다리는 많은 사람들이 있다고 생각합니다."라고 말했습니다.
즉, 수학자들이 컴퓨터에 어느 정도 의존해야 하는지에 대한 논쟁에 관해서는 "한 쪽을 선택해야 하는 것이 아닙니다"라고 Gómez-Serrano는 말했습니다. “[Hou와 Chen의] 증명은 분석 없이는 작동하지 않으며 컴퓨터 지원 없이는 증명이 작동하지 않습니다. … 가치는 사람들이 두 언어를 말할 수 있다는 것입니다.”
그것으로 de la Llave는 "마을에 새로운 게임이 있습니다."라고 말했습니다.
