사람이 어떻게 무한에 대해 확신을 가지고 말할 수 있겠습니까? 신비한 소수에 대해 모두 모른 채 우리가 실제로 무엇을 알 수 있습니까? 과학자들이 가설을 평가하기 위해 데이터가 필요한 것처럼, 수학자들은 추측을 증명하거나 반증하기 위한 증거가 필요합니다. 그러나 정수론의 무형 영역에서 증거로 간주되는 것은 무엇입니까? 이 에피소드에서 Steven Strogatz는 멜라니 매쳇 우드, 하버드 대학의 수학 교수와 함께 확률과 무작위성이 수학자에게 요구되는 확실한 논증에 대한 증거를 확립하는 데 어떻게 도움이 되는지 알아보십시오.
들어 봐 Apple Podcasts, 스포티 파이, Google 포드 캐스트, 스티, TuneIn 또는 좋아하는 팟캐스트 앱, 또는 스트리밍 콴타.
성적 증명서
스티븐 스트로 가츠 (00:02): 저는 Steve Strogatz입니다. 이유의 기쁨, 팟캐스트 Quanta Magazine 그것은 오늘날 수학과 과학의 가장 큰 답이 없는 몇 가지 질문으로 당신을 데려갑니다. 이 에피소드에서 이야기할 내용은 수학의 증거. 수학자들은 어떤 종류의 증거를 사용합니까? 확실한 증거를 확보하기 전에 무엇이 사실일 수도 있다고 의심하게 만드는 이유는 무엇입니까?
(00:26) 역설처럼 들릴지 모르지만 확률 이론에 기반한 추론, 우연과 무작위성에 대한 연구는 때때로 수학자들이 실제로 추구하는 것, 즉 확률이 아니라 확실성으로 이어질 수 있음이 밝혀졌습니다. 예를 들어, 숫자 이론으로 알려진 수학의 한 분야에서는 수학자들이 무엇이 사실인지 추측할 수 있도록 무작위성을 사용한 오랜 역사가 있습니다. 이제 확률을 사용하여 무엇이 사실인지 증명하고 있습니다.
(00:53) 여기서는 소수에 초점을 맞출 것입니다. 아마도 소수를 기억할 것입니다. 맞죠? 당신은 학교에서 그들에 대해 배웠습니다. 소수는 1과 자기 자신으로만 나눌 수 있는 1보다 큰 정수입니다. 예를 들어, 7 또는 11. 그것들은 소수이지만 15는 15를 3이나 5로 균등하게 나눌 수 있기 때문이 아닙니다. 소수를 화학 주기율표의 원소와 같은 것으로 생각할 수 있습니다. 그것들은 다른 모든 숫자를 구성하는 더 이상 나눌 수 없는 원자라는 것입니다.
(01:27) 소수는 단순해야 할 것 같지만 수학에서 가장 큰 미스터리 중 일부는 소수에 대한 질문입니다. 어떤 경우에는 수백 년 동안 존재해 온 질문입니다. 소수에는 정말 미묘한 것이 있습니다. 그들은 질서와 무작위성의 경계에 살고 있는 것 같습니다. 오늘 내 손님은 수학에서 증거의 본질, 특히 무작위성이 우리에게 소수에 대해 많은 것을 알려줄 수 있는 방법과 이유, 확률에 기반한 모델이 최첨단 정수 이론에서 유용한 이유에 대해 더 많이 이해하는 데 도움이 될 것입니다. 이 모든 것을 논의하기 위해 지금 저와 함께 하바드 대학의 수학 교수인 Melanie Matchett Wood가 있습니다. 환영합니다, 멜라니!
멜라니 매쳇 우드 (02:09): 안녕하세요, 이야기를 나누게 되어 반갑습니다.
스트로가츠 (02:11): 당신과 이야기를 나누게 되어 매우 기쁩니다. 저는 열렬한 팬입니다. 단어는 종종 함께 사용되지만 수학에서 증명과 확실성을 얻기 위해 사용하는 기술은 과학에서 시도하는 것과 다소 다르기 때문에 수학과 과학에 대해 서로 관련하여 이야기합시다. 예를 들어, 수학에서 증거 수집에 대해 말할 때 과학에서 과학적 방법으로 증거를 수집하는 것과 어떻게 같습니까? 아니면 어떻게 다릅니까?
목재 (02:38): 수학적 증명은 어떤 수학적 주장은 그렇게 되어야 하고 다른 방식으로는 될 수 없다는 절대적으로 기밀하고 완전한 논리적 논증입니다. 따라서 오늘날 우리가 가지고 있는 증거에 기초하여 우리가 가진 최선의 것일 수 있는 과학 이론과는 달리, 앞으로 10년 안에 더 많은 증거를 얻게 될 것이고 아마도 새로운 이론이 있을 것입니다. 수학적 증거 어떤 진술은 그런 식으로 이루어져야 한다고 말합니다. 우리는 그것이 10년 또는 20년 후에 틀릴 것이라는 것을 발견할 수 없습니다.
스트로가츠 (03:17): 음, 수학에서 어떤 것들이 증거로 간주되나요?
목재 (03:19): 따라서 많은 예에서 무언가가 사실임을 알 수 있습니다. 그리고 그 사실에 대한 증거라고 말할 수 있는 많은 예에서 사실임을 바탕으로, 당신은 추측을 할 수 있습니다, 수학자들이 추측이라고 부르는 것, 무언가가 사실이라는 추측. 그러나 수학자들이 원하는 것은 당신이 본 많은 사례에서 해결된 것이 항상 당신이 주장한 방식으로 해결된다는 증거일 것입니다.
스트로가츠 (03:49): 맞아요, 증거의 무게와는 많이 다릅니다. 이것은 모든 경우에 영원히, 영원히, 어떤 것이 진실이 될 이유가 있다는 진술입니다.
목재 (03:58): "오 글쎄, 나는 백만 건의 사례를 보았고 모든 사례에서 사실이었다." 그것이 항상 사실이라고 추측하거나 추측하는 이유입니다. 그러나 수학에서 우리는 많은 경우나 증거를 기반으로 할 수 있는 그런 추측과 정리 또는 증명을 갖는 것과 그것이 모든 경우에, 심지어 당신이 가지고 있지 않은 경우에도 효과가 있을 것이라고 말하는 논증을 구별합니다. 시도하지 않았습니다.
스트로가츠 (04:25): 이제 수학자들이 천성적으로 까다롭기 때문입니까, 아니면 사실처럼 보였던 것이 매우 많은 가능성에 이르기까지 다른 큰 수를 넘어서는 사실이 아닌 경우가 있습니까? ?
목재 (04:39): 아, 정말 좋은 질문이네요. 제가 좋아하는 예가 있습니다. 저는 소수를 좋아하기 때문입니다. 그래서 당신이 할 수 있는 일 중 하나인 2, 3, 5, 7의 소수를 살펴보고 "이봐, 그것들은 2로 나누어 떨어지는가?"라고 말할 수 있습니다. 그리고 그것은 그다지 흥미롭지 않은 것으로 밝혀졌습니다. 2 이후에는 2로 나누어 떨어지지 않습니다. 모두 홀수입니다.
(05:10) 그러면 "3으로 나눌 수 있나요?"라고 생각할 수도 있습니다. 그리고 물론, 3 이후에는 소수이기 때문에 3으로도 나눌 수 없습니다. 그러나 그들 중 일부는 3으로 나누면 나머지 1이 나오고 1의 배수보다 3이 더 크다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 7은 1보다 6을 더 큼 또는 13과 같은 것입니다. , 1보다 12이 큰 소수입니다. 11이나 17과 같은 소수는 2보다 15가 더 크면 2으로 나누면 나머지가 3가 됩니다. 2의 배수.
(05:47) 그리고 팀에서 이러한 소수를 생각할 수 있습니다. 팀 1은 모두 1의 배수보다 3이 큰 팀이고 팀 2는 모두 2의 배수보다 3가 큰 팀입니다. 그리고 소수를 살펴보고 소수를 나열할 때 모든 팀을 나열할 수 있습니다. 소수이고 집계하면 팀 1에 몇 명이 있고 팀 2에 몇 명이 있는지 확인할 수 있습니다. 그리고 600억까지, 모든 지점에서 600억까지의 모든 숫자를 계산하면 다음을 찾을 수 있습니다. 팀 2 소수보다 팀 1 소수가 더 많습니다. 따라서 그 증거를 바탕으로 항상 팀 2 소수보다 팀 1 소수가 더 많을 것이라고 자연스럽게 추측할 수 있습니다.
스트로가츠 (06:33): 물론이죠. 완전히 그렇게 들립니다.
목재: 608억 정도의 숫자로 밝혀졌습니다. 정확한 숫자는 잊어버리고 변경됩니다.
스트로가츠 (06:46): 오, 어서.
목재: 네, 정말 바뀝니다. 그리고 이제 갑자기 팀 1이 선두에 있습니다. 그래서, 그것은 —
스트로가츠 (06:53): 잠시만요. 잠깐만, 이것은 놀랍습니다. 무엇 - 지금, 그들은 계속 변화하고 있습니까? 계속 진행하면 어떻게 되는지 알아요? 그들은 계속 변화합니까?
목재 (07:01): 네, 좋은 질문입니다. 따라서 실제로 리드를 무한히 자주 변경한다는 것이 정리입니다.
스트로가츠 (07:07): 정말요?
목재: 그래서 그들은 리드를 계속 거래할 것입니다. 그러나 이것은 소수를 공부할 때 마음속에 간직해야 할 정말 좋은 예입니다. 처음 600억 개의 경우에 대해 어떤 것이 사실이었다고 해서 그것이 항상 사실일 것이라는 의미는 아닙니다.
스트로가츠 (07:25): 오, 와우. 멋진. 괜찮아. 일반적으로 추측에서 증명으로 가는 방법은 무엇입니까?
목재 (07:31): 케이스에 따라 많이 다릅니다. 내 말은, 우리는 추측만 있고 증명이 없는 수학의 많은 경우가 있습니다. 따라서 추측에서 증명으로 가는 간단한 방법은 없습니다. 또는 사람들이 어떤 것이 특정 방식으로 작동한다고 생각하는 일부 추측이 있는 유명한 공개 문제가 많지 않을 것입니다. 확실히 알고 있습니다. 그러나 때때로 추측은 무언가가 사실이라는 이유를 제시할 수 있습니다. 때때로 그것은 사람들이 수백 년 동안 발전시켜온 점점 더 많은 수학적 이론에 기초한 수학적 이론일 뿐입니다. 우리가 증거를 제시하는 것을 이해하는 데 사용할 수 있는 충분한 도구와 구조를 제공합니다. 그러나 추측이 반드시 증명으로 이어지는 것은 아닙니다. 추측은 사람들로 하여금 증거를 찾으려고 하도록 영감을 줄 수 있지만, 증거가 나오는 방식은 추측 자체와 완전히 별개일 수 있습니다.
스트로가츠 (08:31): 예, 저는 사람들이 증명을 시도할 가치가 있다는 확신을 갖도록 하는 증거에 미치지 못하는 증거의 종류를 열거하거나 나열하는 데 관심이 있습니다.
목재 (08:41): 예, 단순한 예가 아닌 증거라고 부를 수 있는 또 다른 것은 발견적 방법입니다. 휴리스틱은 훨씬 낮은 수준의 엄격함을 제외하고는 논쟁과 비슷할 수 있습니다. 마치, 괜찮아 보이나요? “나는 이 사실을 의심의 여지 없이 확실히 확증했습니까?” 하지만 "그렇게 합니까 — 네, 꽤 그럴듯해 보입니다." 따라서 휴리스틱은 꽤 그럴듯해 보이지만 실제로는 엄격한 논증이 아닌 일련의 추론일 수 있습니다. 일종의 증거입니다.
(09:12) 때때로 우리가 이해하려고 하는 수학적 시스템의 필수 요소를 포착한다고 생각하는 모델이 있을 수 있습니다. 그러면 시스템이 모델과 동일한 동작을 하고 있다고 추측할 수 있습니다.
스트로가츠 (09:30): 알겠습니다. 어느 시점에서 저는 모델과 추측의 몇 가지 예를 듣고 싶습니다. 그리고 그들이 어느 정도 작동하거나 작동하지 않는 질문에 대해서는 작동하지 않거나 작동하지 않습니다. 하지만 괜찮으시다면, 우리는 여기서 숫자에 대해 이야기하고 있고 당신은 숫자 이론가이기 때문입니다. 사람들은 일상 생활에서 많은 수 이론가를 알지 못할 수 있습니다. 그래서, 당신이 우리에게 말할 수 있는지 궁금합니다 정수론이란 무엇인가, 그리고 또한 왜 그것이 흥미롭다고 생각합니까? 왜 공부하러 오셨어요?
목재 (10:02) 정수론은 정수에 대한 수학적 연구입니다. 그러니 1, 2, 3, 4, 5를 생각해 보세요. 그리고 특히 정수에서 중요한 것 중 하나는 소수입니다. 당신이 설명했듯이, 맨 처음에 그것들은 우리가 곱셈을 통해 다른 모든 숫자를 구성할 수 있는 빌딩 블록입니다. 따라서 정수론은 모든 정수와 관련이 있기 때문에 구성 요소, 소수 및 다른 숫자가 소수를 구성하는 방식과 그들은 소수에서 만들어졌습니다..
스트로가츠 (10:37): 그래서, 오늘 우리의 목적을 위한 정수론은 소수에 대한 특별한 관심과 함께 정수에 대한 연구가 될 것입니다. 꽤 좋은 시작인 것 같습니다. 그 이상인 것 같아요. 그러나 그것은 지금 우리에게 좋은 정의일 수 있습니다. 그렇게 생각?
목재 (10:50): 좋습니다. 시작이 좋습니다. 내 말은, 거기에서 더 많은 것을 탐구합니다. 음, 정수보다 더 복잡한 수 체계를 고려하기 시작하면 어떨까요? 2의 제곱근과 같은 다른 숫자를 입력하기 시작하면 소수와 인수분해는 어떻게 될까요? 추가 질문으로 이어집니다. 하지만 솔직히 말해서 정수와 소수에만 풍부하고 아름다운 수학이 많이 있습니다.
스트로가츠 (11:16): 그렇다면 그것을 염두에 두고 왜 그것이 매력적이라고 생각하십니까? 정수론 공부를 좋아하는 이유는 무엇입니까? 무엇에 끌렸나요?
목재 (11:22): 질문이 구체적일 수 있다는 점이 마음에 듭니다. 제가 가서 초등학생들과 이야기를 해요. 그리고 저는 그들에게 제가 생각하는 몇 가지에 대해 말할 수 있습니다. 그래서 저는 한편으로는 질문이 매우 구체적일 수 있지만 다른 한편으로는 그것을 해결하려는 퍼즐이 너무 어려울 수 있는 일을 하는 것이 재미있습니다. 제 말은, 사람들은 문자 그대로 수천 년 동안 정수, 소수에 대한 질문에 답하려고 노력해 왔습니다.
(11:54) 그리고 수학에는 많은 분야가 있습니다. 현대 정수론의 중요한 부분 중 하나는 사람들이 오랫동안 연구해 온 이 완고하고 오래된 질문에 진전을 이루기 위해서는 새로운 아이디어를 가져와야 하고 수학의 다른 부분과 연결해야 한다는 것입니다. 그래서 스스로를 수론자라고 부르지만 다양한 분야의 수학을 사용합니다. 기하학과 위상학, 공간의 형태를 연구하는 것부터 확률과 무작위성을 연구하는 것까지. 저는 모든 종류의 수학을 사용하지만 정수, 소수, 인수분해와 같은 것에 대해 말하려고 합니다.
스트로가츠 (12:36): 네, 저는 이 거대한 상호 연결된 아이디어의 웹이라는 수학의 비전을 좋아합니다. 그리고 여러분이 가장 좋아하는 특정 부분에서 살고 싶을 수도 있습니다. 그러나 당신은 소수가 정수론의 가장 기본적인 부분인 정수론의 특정 관심 영역이라고 언급했습니다. 그들에 대해 어려운 점은 무엇입니까? 아직 명확하지 않습니다. 우리의 논의에서 무엇이 그렇게 신비롭습니까? 우리가 정의한 것처럼 계속 나열할 수 있을 것 같습니다. 당신이 말하는 수백 년 된 문제는 무엇입니까?
목재 (13:05): 가장 크고 가장 중요한 질문 중 하나는 아마도 약 120년 정도 된 것 같습니다. "오, 나열해도 됩니다. 그렇게 하면 몇 개나 찾을 수 있겠습니까?” 그래서 당신이 소수를 나열했다고 가정해 봅시다. 소수를 더 큰 숫자로 나열할 때, 통과하는 숫자 중 실제로 소수가 되는 숫자는 몇 개입니까? 따라서 양이 정말 중요하다는 사실을 이해하고 리만 가설, Clay Math Institute 중 하나인 밀레니엄 상 문제, 답변에 대한 백만 달러의 상금이 있습니다. 그것은 가장 유명한 질문 중 하나이고 우리는 그것을 어떻게 하는지 전혀 모릅니다. 그리고 그것은 정말로 단지 질문에 관한 것입니다. 당신이 그 소수를 나열할 때 당신은 얼마나 많은 것을 찾을 수 있습니까?
스트로가츠 (13:58): 알겠습니다. 재미있지, 그렇지? 목록을 작성하기 시작하면 누군가 우연히 100까지의 소수를 나열하기 시작하더라도 재미있는 사실을 알게 되기 때문입니다. 예를 들어, 처음에는 11과 13에서 2가 떨어져 있습니다. 5는 3와 17으로 나눌 수 있기 때문에 작동하지 않습니다. 그런 다음 4이므로 13과 17 사이에는 19의 간격이 있습니다. 하지만 2는 다시 가깝습니다. 저는 잘 모르겠습니다. 그래서 소수 사이의 간격이 약간 불안정할 수 있습니다. 때로는 거기에 꽤 큰 간격이 있고 때로는 서로 바로 옆에 있고 XNUMX개만 떨어져 있습니다.
목재 (14:31): 예, 간격과 그 간격을 이해하는 것도 큰 관심의 대상이었습니다. 소수 사이의 간격을 이해하는 데 지난 11년 동안 놀라운 진전이 있었습니다. 그러나 여전히 우리가 답을 모르는 정말 감질나게 하고 기본적인 질문이 있습니다. 그래서 당신은 이 소수인 13과 2이 단지 2만큼 떨어져 있다고 언급했습니다. 따라서 이러한 소수를 쌍소수라고 합니다. 2 이후에는 소수가 모두 홀수여야 하기 때문에 소수가 XNUMX보다 더 가까워질 것이라고 기대할 수 없었습니다. 여기에 수학의 미해결 질문이 있습니다. 즉, 답을 모른다는 의미입니다. 쌍둥이 소수의 쌍이 무한히 많이 있습니까?? 그래서 여기에는 추측이 있습니다. 추측은 그렇습니다. 내 말은, "예, 그것들은 영원히 계속되어야 하고 항상 더 많아야 합니다"라는 추측이 있을 뿐만 아니라, 진행하면서 얼마나 많은 것을 발견하게 될 것인지에 대한 추측도 있습니다. 그러나 그것은 완전히 열려 있습니다. 우리가 아는 한, 정말 큰 수에 도달하면 그들은 그냥 멈추고 더 이상 쌍소수 쌍을 찾지 못할 수 있습니다.
스트로가츠 (15:40): 그것에 대해 매우 시적인 무언가가 있습니다. 신랄하고, 그 생각, 예를 들어, 그것이 어느 시점에서 행의 끝이 될 수 있다는 것과 같은 것입니다. 내 말은, 우리 둘 다 아마 그것을 믿지 않을 것입니다. 그러나 가능합니다. 제 생각에는 마지막 외로운 쌍둥이 쌍이 어둠 속에서 껴안고 있다는 것을 생각할 수 있습니다.
목재 (15:57): 네, 있을 수 있습니다. 그리고, 알다시피, 수학자로서 우리는 말할 것입니다. 알다시피, 우리는 모릅니다. 당신이 얼마나 많은 것을 찾았는지 따라가면서 그래프를 만들 수 있다 하더라도, 당신이 그 그래프를 그린다면, 그것은 절대 - 절대 돌아서지 않을 속도로 정말로 확실히 올라가고 있는 것처럼 보입니다. 하지만 그것이 수학과 과학의 차이점의 일부라고 생각합니다. 우리는 회의론을 유지하고 우리는 모른다고 말합니다. 내 말은, 아마도 어느 시점에서 그래프가 그냥 돌아서고 더 이상 없습니다.
스트로가츠 (16:29): 그래서, 그 — 저는 그래프에 대한 당신의 이미지를 좋아합니다. 왜냐하면 모든 사람들이 차트를 만들고 일종의 그래프를 만드는 이 아이디어에 공감할 수 있기 때문입니다. 소수를 일종의 데이터로 생각하면 됩니다. 그래서 지금이 확률 이론에 대해 이야기하기 시작하기에 좋은 시기라고 생각합니다. 그리고 여기에는 기회가 관련되지 않기 때문에 소수와 관련하여 확률과 통계에 대해 이야기하는 것이 약간 이상해 보입니다. 소수는 나눌 수 없다는 우리의 정의에 의해 결정됩니다. 그러나 당신과 같은 수학자와 정수론자들은 소수에 대해 생각할 때 통계적 또는 확률론적 논증을 사용했습니다. 동전 던지기를 사용하여 저를 위해 그런 것을 스케치할 수 있는지 궁금합니다. 처음에 우리가 이야기한 홀수와 짝수로 돌아가십시오.
목재 (17:14): 알겠습니다. 그래서 소수와 달리 우리는 홀수와 짝수의 패턴을 실제로 매우 잘 이해합니다. 그들은 당연히 홀수, 짝수, 홀수, 짝수로 진행됩니다. 그러나 우리가 그 패턴을 이해하지 못했다고 가정해 봅시다. 그리고 우리는 이것을 사용하여 최대 XNUMX만까지의 모든 숫자를 본다면 얼마나 많은 홀수를 찾을 수 있는지 이해합니다. 두 가지 가능성이 있기 때문에 숫자는 홀수일 수도 있고 짝수일 수도 있습니다. 누군가가 따라가서 각 숫자에 대해 동전을 던졌고 동전 앞면이 나오면 숫자가 홀수일 수 있다고 상상할 수 있습니다. 그리고 동전의 뒷면이 나오면 그 숫자는 짝수입니다. 그래서 동전 던지는 사람이 숫자 선을 따라 걷게 하고 각 숫자에서 동전 던지기를 하면 그 숫자가 홀수 또는 짝수라고 선언하게 됩니다.
(18:03) 한편으로는 말도 안되는 소리입니다. 반면에 동전 던지기 모델은 몇 가지를 바로잡을 것입니다. 예를 들어 XNUMX만까지의 숫자 중 짝수인 수는 대략 몇 개나 될까요? 우리는 대략 백만 번과 같이 엄청난 수의 동전 던지기를 수행하면 뒷면이 나오는 동전 던지기의 수는 절반 정도라는 것을 압니다. 따라서 그 모델은 어리석은 것일지라도 여전히 일부 예측을 올바르게 할 수 있습니다. 우리는 이미 그 질문에 대한 답을 알고 있기 때문에 어리석게 들릴 수도 있습니다. 아이디어는 확률이 나타나는 위치가 아니라 숫자 사이에 소수가 나타나는 위치와 같이 더 복잡한 패턴에 대한 모델을 구축한다는 것입니다.
스트로가츠 (18:55): 네. 제 생각에는 소수가 얼마나 심오하게 신비한지 강조해야 한다고 생각합니다. 소수에 대한 공식은 없고 홀수에 대한 공식이 있는 것처럼. 만약 여러분이 생각한다면, 오, 이것은 — 여기에서 우리는 정말로 터무니없는 것에 대해 이야기하고 있습니다. 평균적인 속성을 예측할 수 있는 이러한 통계적 모델을 갖는 것은 실제로 매우 가치가 있습니다. 의 아날로그와 마찬가지로 큰 수보다 작은 숫자의 절반은 홀수입니다. 이것은 소수의 경우 매우 심각하고 흥미로운 질문입니다. 큰 수보다 작은 수의 몇 분율이 소수입니까? 그리고, 당신이 말했듯이, 당신은 그것을 정당화하는 통계 모델을 만들 수 있습니다. 그리고 그 동일한 모델을 사용하여 큰 수보다 적은 쌍소수를 예측할 수 있습니까? 이 경우 동일한 모델이 잘 작동합니까?
목재 (19:41): 그래서 소수의 경우, 우리가 모델을 만든다면 — 아시다시피, 수학자들이 사용하는 모델이 있습니다. 소수의 Cramér 모델 — 누군가가 숫자 선을 따라 걷는다고 상상하는 소수의 동전 던지기 모델을 구축하고 각 숫자에서 동전을 던지면서 그 숫자가 소수인지 아닌지를 결정한다면, 소수에 대해 알고 있는 만큼을 해당 모델에 통합합니다. 그래서 우선, 우리는 큰 숫자가 작은 숫자보다 소수가 될 가능성이 적다는 것을 알고 있습니다. 따라서 그 동전은 가중치를 주어야 합니다. 그리고 우리는 우리가 기대하는 가중치를 정확하게 입력하려고 노력해야 할 것입니다. 그리고 우리는 같은 것을 압니다. 두 개의 소수는 서로 옆에 있을 수 없습니다. 그 중 하나는 홀수이고 하나는 짝수여야 하기 때문입니다. 그래서 우리는 그것을 모델에 넣었습니다. 그리고 우리가 소수에 대해 아는 것이 더 있습니다.
(20:37) 그래서 모델은 동전 던지기 모델로 시작하는 것입니다. 그러나 그 다음에는 이 모든 다른 규칙과 소수에 대해 우리가 알고 있는 다른 모든 것들에 의해 수정됩니다. 그리고 일단 우리가 알고 있는 모든 것을 모델에 집어넣고 나면 이 동전 던지기, 모델, 음, 무한히 자주 동전이 소수의 2만큼 떨어져 나오는 것을 볼 수 있습니까? 그리고 그 모델은 당신에게 오, 예, 우리는 그것을 봅니다. 사실, 우리는 당신에게 공식을 줄 수 있는 이 매우 특정한 비율로 그것을 봅니다. 그런 다음 실제 쌍둥이 소수의 수를 그래프로 나타내면 동전이 던진 적이 없는 실제 숫자에서 모델이 예측한 것과 비교하여 모델이 쌍둥이 소수 쌍의 수에 대해 매우 정확한 예측을 제공한다는 것을 알 수 있습니다. 가다보면 알게 됩니다. 그러면 이 모델이 무슨 말을 하는지 알 수 있을 거라고 생각합니다.
스트로가츠 (21:31): 훌륭합니다. 내 말은, 우리가 방금 거기에 도달한 것이 중요합니다. 당신은 아직 컴퓨터라는 단어를 사용하지 않았습니다. 그러나 나는 당신이 이것을 손으로하지 않는다고 가정합니다. 쌍둥이 소수를 나열하는 사람들은 무엇을 말하는지 모르겠습니다. 조조조? 내 말은, 이것들은 우리가 말하는 큰 숫자입니다. 그렇지 않습니까?
목재 (21:49): 글쎄요, 쌍소수를 나열하기 위해, 즉 — 컴퓨터가 절대적으로 수행할 것입니다. 그러나 이 모델을 구축하고 모델이 제공하는 공식을 생각해 내기 위해. 그것은 본질적으로 수학자들이 모델에 대해 생각하고 그것을 알아내는 수작업으로 이루어집니다.
스트로가츠 (22:07): 정말 멋지네요. 그래서 그것이 모델이 그 물건을 보여주는 곳이고, 모델은 실제로 컴퓨터가 보는 것을 예측할 수 있습니다. 그리고 그 예측을 하기 위해 컴퓨터가 필요하지 않습니다. 그것은 사람이 손으로 할 수 있으며 실제로 증거로 이어질 수 있습니다. 그것이 모델의 속성에 대한 증거라는 점을 제외하고는, 반드시 아직 관심있는 것에 대한 증거는 아닙니다.
목재 (22:28): 맞습니다. 그리고 어느 순간 컴퓨터가 멈춥니다. 계산 능력이 너무 많습니다. 그러나 여러분이 얻게 될, 모델이 여러분에게 줄 수 있는, 여러분이 증명할 수 있는 그 공식은 다시 말하지만 이 모델의 동전 던지기 상황에 대해 그 공식은 계속될 것입니다. 당신의 컴퓨터가 지금까지 계산할 수 있었던 것보다 훨씬 더 큰, 더 큰 숫자를 그 공식에 넣을 수 있습니다.
스트로가츠 (22:53): 그래서 무작위성이 정수론에서 흥미로운 현상의 모델을 제공하는 데 어떻게 도움이 되는지에 대해 조금 말씀해 주셨고 수학의 다른 부분에서도 마찬가지라고 확신합니다. 무작위성을 사용하여 모델뿐만 아니라 실제 증거를 제공할 수 있는 경우가 있습니까?
목재 (23:10): 물론입니다. 수학의 또 다른 분야는 확률 이론이라고 합니다. 그리고 확률 이론에서 그들은 무작위 시스템과 그들이 어떻게 행동하는지에 대한 정리를 증명합니다. 그리고 여러분은 만약 여러분이 무작위로 시작해서 그것으로 무언가를 하면, 항상 무작위적인 것을 갖게 될 것이라고 생각할 수도 있습니다. 그러나 확률 이론에서 찾을 수 있는 놀랍도록 아름다운 것 중 하나는 때때로 임의의 것에서 결정론적인 것을 얻을 수 있다는 것입니다.
스트로가츠 (23:45): 글쎄요, 어떻게 작동합니까? 무엇처럼?
목재 (23:48): 네. 그래서 당신은 종 곡선 또는 정규 분포를 보았을 것입니다. 수학자들은 그것을 호출할 것입니다. 그것은 자연의 모든 곳에서 나타납니다. 사람들의 혈압이나 아기의 출생 체중 등을 보면 나타나는 것처럼. 그리고 여러분은 오, 이 종 모양의 곡선이 이것이 자연의 사실이라고 생각할 수도 있습니다. 그러나 사실 확률 이론에서 중심 극한 정리라고 하는 정리가 있습니다. 이 정리는 실제로 이 종 모양 곡선이 어떤 의미에서는 자연의 사실이 아니라 수학의 사실임을 알려줍니다. 중심 극한 정리는 작은 무작위 효과의 전체 묶음을 독립적으로 결합하면 그 출력이 항상 특정 분포와 일치한다는 것을 알려줍니다. 이 모양, 이 종 모양. 수학 및 확률 이론은 다음과 같은 사실을 증명할 수 있습니다. 만약 당신이 가지고 있다면, 만약 당신이 작은 독립적인 무작위적인 것들을 많이 결합한다면, 그 모든 조합의 결과는 당신에게 이 종형 곡선과 같은 분포를 줄 것입니다. 입력이 어떤 것인지 알지 못하는 경우에도 마찬가지입니다. 그리고 그것은 정말 강력한 정리이자 수학에서 정말 강력한 도구입니다.
스트로가츠 (25:05): 네, 확실히 그렇습니다. 그리고 나는 당신이 작은 효과로 무슨 일이 일어나고 있는지 알 필요가 없다는 강조를 좋아했습니다. 그것이, 어떻게든 씻겨 나가는 것입니다. 해당 정보는 필요하지 않습니다. 작은 효과의 특성을 알지 못하더라도 종형 곡선은 예측할 수 있습니다. 그것들이 많고 적은 한. 그리고 그들은 서로 영향을 미치지 않습니다. 맞습니다. 그들은 어떤 의미에서 독립적입니다.
목재 (25:27): 네, 물론입니다. 그래서 그것은 확률 이론에서 보편성이라고 하는 아이디어입니다. 임의의 입력을 많이 넣으면 출력을 예측할 수 있는 특정 종류의 기계가 있다는 것입니다. 예를 들어, 기계에 무엇을 넣었는지 모를지라도 이 종형 곡선 또는 정규 분포를 얻을 수 있습니다. 그리고 그것은 우리가 잘 이해하지 못하는 것들이 있을 때 매우 강력합니다. 왜냐하면 —
스트로가츠 (25:56): 하지만 말씀하시는 건가요? 말을 끊게 해서 죄송합니다. 하지만 이것이 지금 정수론에서도 일어나고 있다는 말씀이신가요? 어떻게 든 우리는 정수론에서 보편성의 아이디어를 얻고 있다는 것입니까? 아니면 내가 꿈을 꾸고 있습니까?
목재 (26:09): 글쎄요, 어느 정도는 그것이 시작되는 제 꿈이라고 말하고 싶습니다. 알다시피, 우리는 단지, 그것이 실현되는 것을 보기 위한 첫 번째 단계를 밟고 있습니다. 그래서 그것은 당신의 꿈뿐만 아니라 제 꿈이기도 합니다. 오늘 제가 하고 있는 일과 제 동료들과 제가 하고 있는 작업 중 일부는 그런 종류의 꿈을 현실로 만들어 우리가 답을 모르는 숫자에 대한 이러한 수수께끼 같은 질문 중 일부를 종곡선처럼 정규분포처럼 나오는 패턴이 있다는 것을 이해하세요. 어떤 비밀이 담겨 있는지 알지 못하더라도 기계에서 나왔다는 것을 증명할 수 있습니다.
스트로가츠 (26:55): 글쎄요, 그것은 실제로 매우 고무적이고 스릴 넘치는 비전이며 모든 것이 이루어지기를 바랍니다. 오늘 이야기해주셔서 감사합니다, Melanie.
목재 (27:03): 감사합니다. 정말 재미있었어요.
아나운서 (27:06): 원하는 경우 이유의 기쁨, 체크 아웃 Quanta Magazine 과학 팟캐스트, 이 쇼의 프로듀서 중 한 명인 Susan Valot가 진행합니다. 또한, 이 팟캐스트에 대해 친구들에게 알리고 좋아요를 누르거나 듣고 있는 곳을 팔로우하십시오. 사람들이 찾는 데 도움이 됩니다. 이유의 기쁨 팟 캐스트.
스트로가츠 (27 : 26) : 이유의 기쁨 의 팟캐스트입니다. Quanta Magazine, Simons Foundation에서 지원하는 독립적인 편집 간행물. Simons Foundation의 자금 지원 결정은 이 팟캐스트 또는 이 팟캐스트의 주제, 게스트 또는 기타 편집 결정에 영향을 미치지 않습니다. Quanta Magazine. 이유의 기쁨 Susan Valot와 Polly Stryker가 제작했습니다. 우리 편집자는 Matt Carlstrom, Annie Melchor 및 Leila Sloman의 지원을 받는 John Rennie와 Thomas Lin입니다. 우리의 테마 음악은 Richie Johnson이 작곡했습니다. 우리 로고는 Jackie King이, 에피소드 삽화는 Michael Driver와 Samuel Velasco가 담당했습니다. 나는 당신의 호스트 스티브 스트로가츠입니다. 질문이나 의견이 있으면 quanta@simonsfoundation.org로 이메일을 보내주십시오. 듣기 주셔서 감사합니다.
