개요
올해 초, 수학자 세 명이 레몬을 레모네이드로 만들기로 결정했고 결국 큰 진전 수세기 동안 수학자들이 생각해온 문제에 대해.
세 사람은 막 프로젝트를 끝내고 다음 단계에 대해 생각하고 있었는데, XNUMX월 말에 두 사람이 — 레벤트 알포게 하버드 대학교와 아리 슈니드만 예루살렘 히브리 대학교의 — 개별적으로 그러나 거의 동시에 Covid-19에 감염되었습니다. 그런 상황에서 많은 사람들이 휴식을 취하겠지만 세 번째 팀원은 만줄 바르가바 Princeton University의 교수는 그 반대를 제안했습니다. 주간 Zoom 회의를 일주일에 서너 번으로 늘리면 병든 공동 작업자가 증상에서 주의를 딴 데로 돌릴 수 있다고 그는 제안했습니다. 격리는 방해받지 않고 생각할 수 있는 기회가 될 수 있다고 세 사람은 결정했습니다.
이 회의에서 그들은 정수론에서 가장 오래된 질문 중 하나를 고려했습니다. 두 개의 세제곱 분수의 합 또는 수학자들이 유리수라고 부르는 정수의 합으로 나타낼 수 있는 정수는 몇 개입니까? 예를 들어 숫자 6은 (17/21)로 쓸 수 있습니다.3 + (37/21)3, 13 = (7/3) 동안3+(2/3)3.
수학자들은 모든 정수의 절반이 이런 식으로 쓰여질 수 있다고 수십 년 동안 의심해 왔습니다. 홀수와 짝수와 마찬가지로 이 속성은 정수를 두 개의 동일한 진영으로 나누는 것처럼 보입니다. 즉, 두 세제곱의 합인 것과 그렇지 않은 것입니다.
그러나 아무도 이것을 증명할 수 없었고 심지어 각 진영에 속하는 정수의 비율에 대해 어떤 제한도 줄 수 없었습니다. 수학자들이 아는 한, 합리적 세제곱의 합으로 구성된 진영은 아주 작을 수도 있고 거의 모든 정수를 포함할 수도 있습니다. 수학자 계산했다 Birch와 Swinnerton-Dyer 추측이라고 불리는 것이 참이라면(널리 믿어지는 바와 같이), 천만까지의 숫자의 약 59%는 두 유리 세제곱의 합입니다. 그러나 그러한 데이터는 기껏해야 수직선의 나머지 부분이 어떻게 행동할지에 대한 힌트를 제공할 수 있습니다.
홀수와 짝수와 달리 “이 두 진영은 미묘하다”고 말했다. 배리 마주 르 하버드의. 모든 숫자에 대해 작동하는 것으로 알려진 캠프에 속한 숫자를 결정하기 위한 테스트는 없습니다. 수학자들은 강력한 후보인 테스트를 내놓았지만 현재로서는 각각 몇 가지 단점이 있습니다. 수학자들은 테스트가 항상 결론에 도달한다는 것을 증명할 수 없거나 결론이 옳다는 것을 증명할 수 없습니다.
세제곱의 합, 보다 일반적으로 세제곱 방정식을 이해하는 어려움은 "정수 이론가들에게 되풀이되는 당혹감"이라고 Bhargava는 말했습니다. 그 필즈상 수상 2014년 부분적으로 합리적인 솔루션에 대한 그의 작업 두 세제곱의 합이 특수한 경우인 타원 곡선으로 알려진 삼차 방정식에 적용됩니다.
지금에 종이 2월 말에 온라인에 게시된 Alpöge, Bhargava 및 Shnidman은 정수의 최소 21/9.5(약 5%) 및 최대 6/83(약 XNUMX%)가 두 세제곱 분수의 합으로 표시될 수 있음을 보여주었습니다.
세제곱합의 문제는 단순한 호기심이 아닙니다. 타원 곡선은 순수 및 응용 수학의 많은 영역의 중심으로 나아가는 풍부하고 복잡한 구조를 가지고 있으며 특히 암호 작성자가 강력한 암호를 구축할 수 있도록 합니다. 이 분야의 중심 질문인 Birch와 Swinnerton-Dyer 추측은 Clay Mathematics Institute의 Millennium Prize 문제 중 하나로 1만 달러의 현상금이 걸려 있습니다.
새로운 작업은 Bhargava가 공동 작업자와 함께 지난 20년 동안 개발한 일련의 도구를 기반으로 합니다. 전체 가족을 탐험 타원 곡선의. 두 입방체의 합을 이해한다는 것은 훨씬 더 작은 가족을 분석하는 것을 의미하며 “가족이 작을수록 문제가 더 어렵다”고 말했습니다. 피터 사르 낙 프린스턴 고등연구소 소장.
Sarnak은 이 특정 가족이 "손이 닿지 않는" 것처럼 보였다고 덧붙였습니다. "저는 '너무 어려워 보여요, 너무 어려워요'라고 말했을 것입니다."
위상 전환
풍부해 보이는 세제곱 분수의 합과 달리 정수는 거의 두 분수의 제곱의 합이 아닙니다. 1600년대 초, 수학자 Albert Girard와 Pierre de Fermat는 어떤 정수가 두 제곱의 합인지 결정하기 위한 간단한 테스트를 알아냈습니다. 숫자를 소수로 나눈 다음 나머지가 3인 각 소수의 지수를 확인합니다. 4로 나눌 때. 해당 지수가 모두 짝수이면 숫자는 두 제곱 분수의 합입니다. 그렇지 않으면 그렇지 않습니다. 예를 들어, 490은 2로 인수분해됩니다.1 × 51 × 72. 이러한 인수 중 3로 나눌 때 나머지가 4인 유일한 인수는 7이고 7은 지수가 짝수입니다. 따라서 490은 두 제곱의 합입니다.2 + 212).
대다수의 숫자는 짝수 지수 테스트에 실패합니다. 무작위로 정수를 선택하면 두 제곱 분수의 합일 확률은 본질적으로 XNUMX입니다. 수학자들은 두 분수의 합이 XNUMX제곱, XNUMX제곱 또는 XNUMX보다 큰 거듭제곱의 합에 대해서도 마찬가지라고 믿습니다. 갑자기 풍부해지는 것은 입방체의 합으로만 가능합니다.
수학자들은 다른 모든 힘과 다르게 행동하는 삼차 방정식에 익숙합니다. 두 개의 변수로 구성된 방정식(두 큐브의 합 방정식과 같은) 중에서 가장 높은 지수가 1 또는 2인 방정식은 잘 이해되는 경향이 있습니다. 일반적으로 합리적 솔루션이 없거나 무한히 많습니다. 어느 것을 말하십시오. 한편, 최대 지수가 4 이상인 방정식은 일반적으로 오직 한정된 뿌리기 합리적인 솔루션의.
대조적으로 3차 방정식은 해가 유한하게 많거나 무한히 많거나 전혀 없을 수 있습니다. 이 방정식은 XNUMX 이하의 지수와 위의 지수 사이의 일종의 위상 전이를 나타내며 다른 설정에서는 결코 볼 수 없는 현상을 표시합니다. Mazur는 “큐브는 모든 면에서 다릅니다.
지수가 낮은 방정식과 달리 정육면체는 이해하기가 놀라울 정도로 어렵습니다. 항상 작동하는 것으로 입증된 XNUMX차 방정식에 대한 합리적 솔루션을 찾거나 계산하기 위한 포괄적인 방법은 없습니다.
"우리가 가진 모든 컴퓨팅 능력에도 불구하고 계수가 매우 큰 타원 곡선을 제공하면 그것이 얼마나 많은 합리적 솔루션을 가지고 있는지 반드시 알 수는 없습니다."라고 말했습니다. 웨이 호, Bhargava의 전 학생 현재 객원교수 고등연구소에서.
두 세제곱의 합 문제에서 관련된 분수는 엄청날 수 있습니다. 예를 들어 숫자 2,803은 분모가 각각 40자리인 두 세제곱 분수의 합입니다. Bhargava는 수백만 개의 숫자를 살펴보면 "이 세상의 모든 종이에 들어갈 수 있는 것보다 더 많은 숫자가 포함될 것"이라고 말했습니다.
매핑 행렬
타원 곡선은 통제할 수 없기 때문에 정수 이론가들은 더 다루기 쉬운 대상과 연결하는 방법을 찾습니다. 올 2월 Alpöge와 Shnidman이 Covid와 싸우는 동안 그들과 Bhargava는 이전에 Ho와 함께 수행한 작업을 기반으로 세제곱합 방정식에 합리적인 솔루션이 있을 때마다 적어도 하나의 특수 2를 구축할 수 있는 방법이 있다는 것을 알아냈습니다. × 2 × 2 × 2 행렬 — 친숙한 2차원 행렬의 2차원 유사체. "우리는 이 2 × XNUMX × XNUMX × XNUMX 행렬을 세는 계획을 세우기 시작했습니다."라고 세 사람은 썼습니다.
이를 위해 팀은 각각 20년 이상 연구된 두 가지 고전적 주제를 사용했습니다. 하나는 다른 기하학적 모양 내부의 격자점을 세는 방법을 포함하는 "숫자의 기하학"입니다. 이 주제는 지난 XNUMX년 동안 Bhargava와 공동 작업자의 작업으로 인해 타원 곡선 분야에서 르네상스를 누리고 있습니다.
원 방법으로 알려진 다른 기술은 20세기 초 인도의 전설적인 수학자 Srinivasa Ramanujan과 그의 오랜 협력자 GH Hardy의 작업에서 시작되었습니다. 호는 "이것은 원 방법을 이러한 수기하학적 기법과 결합한 첫 번째 주요 응용 프로그램"이라고 말했다. “그 부분이 너무 멋져요.”
이 방법을 사용하여 세 사람은 모든 정수의 적어도 1/6에 대해 2 × 2 × 2 × 2 행렬이 존재하지 않는다는 것을 보여줄 수 있었습니다. 즉, 이러한 숫자에 대해 세제곱합 방정식에는 합리적인 솔루션이 없습니다. 따라서 정수의 5/6 이하, 즉 약 83%는 두 분수의 세제곱의 합이 될 수 있습니다.
역방향으로 그들은 모든 정수 중 적어도 5/12가 정확히 하나의 일치하는 행렬을 가지고 있음을 발견했습니다. 이 숫자가 두 세제곱의 합이라고 결론짓고 싶지만 자동으로 따라오는 것은 아닙니다. 두 세제곱의 합인 모든 숫자에는 행렬이 있지만 이것이 반드시 그 역이 참이라는 의미는 아닙니다. 행렬이 있는 모든 숫자는 두 세제곱의 합입니다.
Alpöge, Bhargava 및 Shnidman은 타원 곡선 연구자들이 역정리(converse theorem)라고 부르는 것, 즉 삼차 방정식에 대한 정보를 가져와 합리적인 솔루션을 구성하는 데 사용하는 것이 필요했습니다. 역 정리는 타원 곡선 이론의 번성하는 하위 분야를 형성하므로 트리오는 하위 분야의 전문 실무자 두 명에게 의지했습니다. 애세이 브룬게일 텍사스 대학교, 오스틴 및 프린스턴 대학교. Burungale과 Skinner는 정수가 하나의 연관된 행렬을 갖는 경우 적어도 일정 시간 동안 그 숫자가 두 유리수 세제곱의 합이어야 한다는 것을 보여줄 수 있었습니다. 본질적으로 Birch와 Swinnerton-Dyer 추측의 관련 덩어리를 증명하는 그들의 정리는 사르낙이 그 자체로 놀라운 것으로 묘사하는 XNUMX페이지 분량의 부록으로 논문에 나타납니다.
Burungale과 Skinner는 정확히 하나의 행렬로 모든 정수에 대한 정리를 증명하지 못했습니다. 그들은 5/12 부분 집합을 2/21, 즉 모든 정수의 약 9.5%로 줄이는 기술적 조건을 부과해야 했습니다. 그러나 Bhargava는 Burungale과 Skinner, 또는 해당 분야의 다른 연구자들이 머지않아 나머지 5/12(전체 약 41%)에 도달할 것이라고 낙관합니다. Bhargava는 "그들의 기술은 꾸준히 강해지고 있습니다."라고 말했습니다.
모든 정수의 정확히 절반이 두 세제곱의 합이라는 전체 추측을 증명하려면 결국 둘 이상의 관련 행렬이 있는 숫자 집합을 다루어야 합니다. Bhargava가 "매우 흐릿한"이라고 부르는 이 집합에는 두 개의 큐브의 합인 숫자와 그렇지 않은 숫자가 모두 포함됩니다. 그러한 수치를 처리하려면 완전히 새로운 아이디어가 필요할 것이라고 그는 말했습니다.
현재 연구자들은 정수의 상당 부분에 대한 문제를 마침내 해결한 것을 기쁘게 생각하며 증명의 기술을 더 자세히 조사하기를 열망하고 있습니다. "이것은 아름다운 것 중 하나입니다. 결과를 매우 쉽게 설명할 수 있지만 도구는 정수론의 최첨단에 있습니다."라고 Sarnak은 말했습니다.
