개요
벌집 모양의 육각형 격자가 당신 앞에 펼쳐져 있다고 상상해보십시오. 일부 육각형은 비어 있습니다. 다른 것들은 6피트 높이의 단단한 콘크리트 기둥으로 채워져 있습니다. 결과는 일종의 미로입니다. 반세기가 넘는 기간 동안 수학자들은 무작위로 생성된 미로에 대해 질문을 제기해 왔습니다. 지워진 길의 가장 큰 그물은 얼마나 큽니까? 한쪽 가장자리에서 그리드 중앙까지 갔다가 다시 되돌아오는 경로가 있을 가능성은 얼마나 됩니까? 그리드의 크기가 커지고 가장자리에 점점 더 많은 육각형이 추가됨에 따라 이러한 기회는 어떻게 변합니까?
빈 공간이 많거나 콘크리트가 많으면 이러한 질문에 쉽게 답할 수 있습니다. 모든 육각형에는 다른 모든 육각형과 독립적으로 전체 그리드에 걸쳐 일정한 확률로 무작위로 상태가 할당된다고 가정해 보겠습니다. 예를 들어 각 육각형이 비어 있을 확률은 1%일 수 있습니다. 콘크리트가 그리드를 가득 채우고 그 사이에 작은 공기 주머니만 남게 되어 가장자리까지의 경로를 찾을 가능성이 사실상 99이 됩니다. 반면에, 각 육각형이 비어 있을 확률이 XNUMX%라면, 미로가 아닌 열린 공간이 군데군데 흩뿌려져 있는 콘크리트 벽만 있을 뿐입니다. 이 경우 중심에서 가장자리까지의 경로를 찾는 것은 거의 확실합니다.
큰 그리드의 경우 확률이 1/2에 도달하면 눈에 띄게 급격한 변화가 있습니다. 얼음이 정확히 섭씨 XNUMX도에서 액체 물로 녹는 것처럼, 임계 확률이라고 불리는 이 전환점에서 미로의 특성이 급격하게 변합니다. 임계 확률 미만에서는 대부분의 그리드가 콘크리트 아래에 놓이게 되며 빈 경로는 항상 막다른 골목에 이르게 됩니다. 임계 확률을 넘어서면 거대한 부지가 비어 있고 콘크리트 벽이 확실히 무너질 것입니다. 임계확률에 정확히 멈춘다면 콘크리트와 공허함은 서로 균형을 이루며 어느 쪽도 미로를 지배할 수 없게 된다.
"중요한 지점에서 나타나는 것은 더 높은 수준의 대칭성입니다."라고 말했습니다. 마이클 아이젠만, 프린스턴 대학의 수리 물리학자. "그것은 거대한 수학의 세계로의 문을 열어줍니다." 또한 방독면 디자인부터 전염병이 어떻게 퍼지는지 분석하거나 암석을 통해 기름이 스며드는 방식에 대한 분석까지 모든 분야에 실용적으로 적용됩니다.
안에 지난 가을에 게시된 논문, 1명의 연구자가 마침내 2/XNUMX의 임계 확률로 미로의 경로를 찾을 확률을 계산했습니다.
군비 경쟁
2000년대 중반 프랑스에서 박사과정을 밟던 중, 피에르 놀랭 중요한 확률 시나리오를 매우 자세히 연구했습니다. 그는 무작위 미로가 "정말 아름다운 모델이며 아마도 우리가 발명할 수 있는 가장 간단한 모델 중 하나일 것"이라고 생각합니다. 2008년에 박사 과정을 마친 Nolin은 임계 확률에서 육각형 격자가 어떻게 작동하는지에 대한 특히 어려운 질문에 매료되었습니다. 중심점 주위에 격자를 만들어 원에 가깝게 만들고 거기에서 무작위로 미로를 만든다고 가정해 보겠습니다. Nolin은 가장자리에서 중앙까지 도달했다가 되돌아오지 않고 되돌아오는 열린 경로를 찾을 수 있는 가능성을 탐구하고 싶었습니다. 수학자들은 이것을 단색의 두 팔 경로라고 부릅니다. 안쪽과 바깥쪽 "팔"이 모두 열린 경로에 있기 때문입니다. (때때로 이러한 그리드는 열린 셀과 닫힌 셀이 아니라 연한 파란색과 진한 파란색 등 두 가지 다른 색상으로 구성된 것으로 동등하게 간주됩니다.) 미로의 크기를 늘리면 필요한 경로의 길이도 늘어납니다. , 그리고 그러한 경로를 찾을 확률은 점점 더 작아질 것입니다. 그러나 미로가 임의로 커짐에 따라 확률은 얼마나 빨리 감소합니까?
더 간단한 관련 질문은 수십 년 전에 답변되었습니다. 1979년부터 계산 마르셀 덴 니즈 가장자리에서 중앙까지 하나의 경로 또는 팔을 찾을 수 있는 가능성을 추정했습니다. (이것은 팔이 하나 있고 별도의 팔이 있어야 한다는 Nolin의 요구 사항과 대조됩니다.) Den Nijs의 연구는 육각형 격자에서 팔 하나를 찾을 확률이 $latex 1/n^{5/48}$에 비례한다고 예측했습니다. , 어디 n 중앙에서 가장자리까지의 타일 수 또는 그리드의 반경입니다. 2002년에는 그레고리 롤러, 오데드 슈람 및 벤델린 베르너 최종적으로 증명 외팔 예측이 맞았다는 것입니다. 그리드 크기가 커짐에 따라 감소하는 확률을 간결하게 정량화하기 위해 연구자들은 분모 5/48의 지수(한쪽 팔 지수라고 함)를 사용합니다.
Nolin은 좀 더 파악하기 어려운 단색의 두 팔 지수를 계산하고 싶었습니다. 1999년의 수치 시뮬레이션 0.3568에 매우 가까운 것으로 나타났으나 수학자들은 그 정확한 값을 파악하지 못했습니다.
중앙에서 시작하여 주변으로의 "열린" 경로뿐만 아니라 별도의 "닫힌" 경로도 찾을 수 있는 가능성을 특징으로 하는 다색성 두 팔 지수(polychromatic two-arm exComponent)로 알려진 것을 계산하는 것이 훨씬 쉬웠습니다. (폐쇄 경로를 미로의 콘크리트 벽 꼭대기를 가로지르는 경로로 생각하십시오.) 2001년에 Stanislav Smirnov와 Werner는 증명 이 지수는 1/4이었습니다. (1/4이 5/48보다 상당히 크기 때문에 $latex 1/n^{1/4}$는 다음과 같이 $latex 1/n^{5/48}$보다 더 빨리 줄어듭니다. n 자랍니다. 그렇다면 다색의 두 팔 구조가 나올 확률은 예상할 수 있듯이 한쪽 팔이 나올 확률보다 훨씬 낮습니다.)
그 계산은 그래프의 클러스터 모양에 대한 지식에 크게 의존했습니다. 수백만 개의 육각형으로 구성된 임계 확률의 미로가 매우 크다고 상상해 보세요. 이제 빈 육각형 클러스터를 찾아 두꺼운 검정색 Sharpie로 클러스터의 가장자리를 추적합니다. 이로 인해 단순하고 둥근 모양이 생성되지는 않을 것입니다. 수 마일 상공에서 끊임없이 뒤로 물러나는 꿈틀거리는 곡선을 볼 수 있는데, 종종 마치 스스로 교차하려는 것처럼 보이지만 실제로는 전혀 실행되지 않습니다.
이것은 Schramm이 도입한 SLE 곡선이라고 불리는 곡선 유형입니다. 2000 용지 분야를 재정의한 것입니다. 하나의 열린 경로와 하나의 닫힌 경로를 찾을 가능성을 연구하는 수학자들은 이러한 경로가 결국 SLE 곡선을 따라 만나는 열린 사이트와 닫힌 사이트의 더 큰 클러스터 내에 있어야 한다는 것을 알고 있습니다. SLE 곡선의 수학적 속성은 미로 내의 경로에 대한 귀중한 정보로 변환됩니다. 그러나 수학자들이 동일한 유형의 여러 경로를 검색하는 경우 SLE 곡선의 효율성이 많이 떨어집니다.
2007년까지 Nolin과 그의 공동 작업자 Vincent Beffara는 단색의 두 팔 지수가 약 0.35임을 보여주는 수치 시뮬레이션을 만들었습니다. 이는 의심스러울 정도로 17/48에 가까웠습니다. 즉, 한 쪽 팔 지수인 5/48과 다색 두 팔 지수의 합인 1/4(또는 12/48)입니다. Nolin은 "17/48은 정말 놀랍습니다."라고 말했습니다. 그는 17/48이 정답이라고 의심하기 시작했습니다. 이는 다양한 종류의 지수 사이에 단순한 연결이 있다는 의미입니다. 그냥 함께 추가하면 됩니다. “우리는 이렇게 말했습니다. 거짓이 되기에는 너무 좋은 일입니다. 그것은 사실이어야합니다.”
개요
Nolin은 다른 사람들이 작업할 수 있도록 자신의 웹사이트에 이를 게시했지만 한동안 Nolin과 Beffara의 추측에서는 아무 것도 나오지 않았습니다. 그는 2017년 홍콩으로 건너가 홍콩 시립대학교 교수직을 맡으면서 계속해서 문제를 해결하기 위해 노력했습니다. 2018년에 그는 인터뷰에서 지수를 언급했습니다. 웨이 치안, 그는 당시 영국 케임브리지 대학교에서 박사후 연구원이었습니다. Qian은 SLE 곡선에 특히 중점을 두고 이산적 맥락이 아닌 연속적 맥락에서 무작위 기하학을 연구하고 있었습니다. 그녀는 SLE를 사용하여 다양한 유형의 무작위 모델에서 지수를 계산하는 프로젝트를 진행 중이었고 Nolin은 자신의 전문 지식이 단색 두 팔 지수에도 관련이 있다고 의심하기 시작했습니다. 두 사람은 곧 해가 지수를 제공하는 간단해 보이는 방정식을 찾았지만, 그 방정식은 그리드 가장자리의 SLE 곡선으로 둘러싸인 공간과 관련된 중간 수량에 의존했습니다. Nolin과 Qian은 그 숫자를 정확히 알 수 없었습니다.
Qian은 "많은 계산을 했지만 여전히 이 속성을 계산할 수 없었습니다."라고 말했습니다. “성공하지 못해서 잠시 멈췄을 뿐이에요.”
"우리는 그것이 유용한지 아닌지 확신할 수 없었기 때문에 누구에게도 언급한 적이 없습니다"라고 Nolin은 덧붙였습니다.
백본 지수
단색의 두 가지 팔 지수는 그리드의 "백본"을 설명하기 때문에 특히 흥미롭습니다. 두 개의 서로 겹치지 않는 팔(하나는 미로의 가장자리에, 다른 하나는 미로의 가장자리에 연결됨)로 확장되는 두 개의 별개 팔에 연결된 육각형 모음입니다. 그 중심. 이러한 사이트에 색상이 지정되면 전체 그리드에 걸쳐 도달하고 백본이라고 불리는 웹을 형성합니다. 연구자들이 질병의 확산이나 다공성 암석층을 모델링할 때 백본은 미생물이나 기름이 흐를 수 있는 고속도로입니다. Nolin과 Qian이 구한 지수는 백본의 크기를 나타내며 이를 백본 지수라고 합니다.
Nolin과 Qian만이 백본을 쫓는 것은 아니었습니다. 신순, 당시 펜실베이니아 대학교에서도 백본 지수를 계산하려고 시도했습니다. 지난 몇 년 동안 Sun과 뉴욕 대학의 Nina Holden을 포함한 공동 작업자는 임의의 프랙탈 표면을 사용하여 SLE 곡선을 연구하는 방법을 알아냈습니다. 이 넓게 펼쳐진 곡선 표면에는 긴 덩굴손으로 확장되는 부채꼴 가장자리가 있습니다. 어떤 지점은 이웃과 짧은 거리에 있지만 다른 지점은 몇 달 동안 여행해야 합니다. 특정 장소에서는 이러한 효과가 너무 심해서 시각화할 수 없습니다. Holden은 "실제로 그리는 것은 불가능합니다"라고 완전히 정확하게 말했습니다. "표면을 많이 늘려야 할 것입니다."
2022년 여름, Sun은 XNUMX년차 대학원생 Zijie Zhuang을 모집하여 임계 확률의 무작위 미로 연구에 참여했습니다. 그들은 육각형이 평평한 평면이 아닌 임의의 프랙탈 표면에 놓여 있는 임의의 미로를 고려했습니다. 표면이 늘어나거나 압축되는 위치와 정도가 우연에 따라 결정되기 때문에 표면은 고유한 특성을 갖습니다. (이러한 특성은 또한 XNUMX차원 우주에서 양자 중력 모델을 연구하는 물리학자들에게 이러한 표면을 유용하게 만들어 그 이름을 리우빌 양자 중력 표면이라고 합니다.) 예를 들어 가위를 그러한 표면에 가져가면 표면의 모양이 나타납니다. 두 반쪽은 서로 의존하지 않습니다. "그런 종류의 독립성은 정말 일을 엄청나게 단순화시킵니다."라고 말했습니다. 스캇 셰필드 매사추세츠 공과대학의. 일이 무작위적이면 그에 대해 아는 것이 적어지지만 지루하게 설명할 정보가 적어질 수 있습니다.
Sun과 Zhuang은 먼저 그리드 중앙 주위의 작은 원을 더 큰 주변 원으로 연결하는 열린 경로가 있을 확률을 확인하려고 했습니다. 그들이 그 질문에 대답한 후, Sun은 한 단계 더 발전된 야망을 제안했습니다. 즉, 중첩된 원을 연결하는 두 개의 경로가 있을 가능성을 계산하여 백본 지수를 계산할 수 있는 방법을 제공하는 것입니다. 그러나 곧 그들은 어려움에 봉착했습니다. Zhuang은 이메일에 “우리는 이 접근 방식을 몇 달 동안 시도했지만 계산이 그다지 다루기 힘든 것 같습니다.”라고 썼습니다.
개요
한편 Nolin과 Qian은 지수 값을 찾는 데 성공하지 못했지만 다른 방법으로 진전을 이루었습니다. Qian은 프랑스 국립과학연구센터에서 휴직하고 Nolin에 합류하여 홍콩 시립대학교의 교수로 재직했습니다. (그들은 결혼도 했습니다.) 2021년 여름, 그녀는 Sun과 그의 협력자들이 작성한 몇 가지 논문에 흥미를 느꼈고, 전염병 여행 제한이 해제되자 2022년 XNUMX월 프린스턴 고등연구소 방문을 계획했습니다. , Sun이 XNUMX년을 보낸 곳은 뉴저지입니다.
이는 수익성 있는 방문임이 입증되었습니다. Qian이 자신과 Nolin이 발견한 방정식을 설명하면서 Sun은 Liouville 양자 중력 표면에 미로를 오버레이하는 자신과 Zhuang의 기술이 적용될 수 있다고 생각하기 시작했습니다. Sun은 “일종의 우연이다”고 말했다. “한 사람은 자물쇠를 갖고 있고, 한 사람은 열쇠를 가지고 있어요.”
Zhuang은 약간 회의적이었습니다. 그는 당시 상황을 설명하면서 "우리는 예측이 없으며 공식이 좋은 해결책을 가질지조차 모릅니다"라고 말했습니다. Sun과 Zhuang은 Liouville 양자 중력 기술(핵심)을 사용하여 수년 전 Nolin과 Qian의 방정식에서 파악하기 어려운 양인 자물쇠를 풀기 위해 다음 몇 달을 보냈습니다.
0.3566668개월 간의 작업 끝에 Sun과 Zhuang은 비유적인 자물쇠를 열었습니다. Sun은 Zhuang, Qian 및 Nolin에게 이메일을 보내 "훌륭한 소식: 백본 지수의 정확한 공식"을 선언했습니다. 그가 발견한 대답은 제곱근과 삼각 사인 함수의 적당히 복잡한 표현이었습니다. 이는 XNUMX로 시작하는 끝없는 숫자의 흐름인 이전 추정치와 일치했습니다.
네 사람은 자신의 작업을 서면 논문으로 전환하여 한쪽에서는 Nolin과 Qian, 다른 쪽에서는 Sun과 Zhuang의 아이디어가 결합되어 Sun의 박사 고문이었던 Sheffield가 "아름다운"이라고 불렀던 증거를 만들 때까지 논쟁을 다듬었습니다. 보석." "증명 전략은 확실히 놀랍고 매우 독창적입니다. 그러나 보면 그것은 일종의 자연스러운 느낌이기도 합니다"라고 Holden은 말했습니다.
Nolin은 지수가 정확히 2011/17이었다는 48년의 의심을 한탄합니다. “우리는 꽤 오랫동안 현장을 오도했습니다. 별로 자랑스럽지 않아요.” 백본 지수는 다색성 지수와 현저하게 다릅니다. 비합리적일 뿐만 아니라 초월적이기도 합니다. 즉, $latex pi$ 및 e, 이는 간단한 다항 방정식의 해로 쓸 수 없습니다.
“증거는 이 공식이 어디서 나오는지 실제로 설명하지 못합니다.”라고 그는 말했습니다. "우리는 그것을 물리학자들에게 보여왔고 그들의 통찰력을 정말로 기대하고 있습니다."
백본 지수의 초월적인 특성은 해당 분야의 다른 사람들의 관심을 끌었습니다. 공동 저술한 Chan Zuckerberg Biohub의 Gregory Huber 후속 기사 백본 지수에 대해 그는 그 결과가 통계 역학에서 "새로운 대륙을 처음으로 엿볼 수 있는 것"이라고 생각한다고 말했습니다. SLE 곡선과 리우빌 양자중력을 결합하는 것은 극도로 기술적이지만, 나타난 명확하고 간단한 수치적 답은 "놀랍도록 단순하고 우아하다"고 그는 썼습니다.
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- 출처: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
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