Daniel Larsen은 중학교에 다닐 때 십자말 풀이를 디자인하기 시작했습니다. 그는 체스, 프로그래밍, 피아노, 바이올린과 같은 다른 관심사 위에 취미를 추가해야 했습니다. 그는 지역 대회에서 우승한 후 워싱턴 DC 근처의 Scripps National Spelling Bee 자격을 두 번이나 얻었습니다. Larsen의 어머니인 Ayelet Lindenstrauss는 "그는 무언가에 집중하고 성공할 때까지 쾅, 쾅, 쾅"하고 말했습니다. 그의 첫 번째 십자말 풀이는 주요 신문에서 거부되었지만 그는 그것을 유지했고 결국에는 침입했습니다. 현재까지 그는 기록 보유 가장 어린 사람이 십자말풀이를 게시할 수 있도록 뉴욕 타임즈, 13세. “그는 매우 끈기 있습니다.”라고 Lindenstrauss는 말했습니다.
그럼에도 불구하고 Larsen의 가장 최근 집착은 "그의 다른 대부분의 프로젝트보다 더 길고 강렬하게" 다르게 느껴졌다고 그녀는 말했습니다. XNUMX년 반 이상 동안 Larsen은 특정 수학 문제에 대해 생각하는 것을 멈출 수 없었습니다.
그것은 수학자 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)가 수학에서 가장 중요한 것으로 간주한 더 넓은 질문에 뿌리를 두고 있습니다. 바로 소수(1과 자기 자신으로만 나누어 떨어지는 수)를 합성수와 구별하는 방법입니다. 수백 년 동안 수학자들은 효율적인 방법을 모색해 왔습니다. 오늘날 가장 널리 사용되는 암호 시스템 중 일부는 거대한 소수를 사용하여 산술을 수행하는 것과 관련이 있기 때문에 이 문제는 현대 암호학의 맥락에서도 관련이 있습니다.
1990여 년 전, 빠르고 강력한 소수 테스트를 찾는 과정에서 수학자들은 문제가 있는 그룹을 우연히 발견했습니다. Carmichael 수로 알려진 이러한 유사 소수는 특히 파악하기 어려웠습니다. 예를 들어, 수학자들이 그것들이 무한히 많다는 것을 증명한 것은 XNUMX년대 중반이었습니다. 숫자 라인을 따라 배포되는 방식에 대해 더 말할 수 있다는 것은 훨씬 더 큰 도전 과제였습니다.
그러자 라슨이 함께 왔다. 새로운 증거 바로 그것에 대해, 정수론의 다른 영역에서 최근의 획기적인 연구에서 영감을 얻은 것입니다. 당시 그의 나이 겨우 17세였다.
스파크
인디애나 주 블루밍턴에서 자란 Larsen은 항상 수학에 끌렸습니다. 수학자인 그의 부모는 어렸을 때 그와 그의 누나에게 이 주제를 소개했습니다. (그녀는 지금 수학 박사 과정을 밟고 있습니다.) Lindenstrauss는 Larsen이 3살이었을 때 무한의 본질에 대한 철학적 질문을 그녀에게 하기 시작했다고 회상합니다. "나는 이 아이가 수학적인 사고를 가지고 있다고 생각했다"고 말했다. 린덴스트라우스, 인디애나 대학교 교수.
그러다가 몇 년 전 그가 철자법과 낱말 맞추기 프로젝트에 몰두하던 즈음에 다큐멘터리 about 장 이탕, 2013년 무명에서 깨어난 무명의 수학자 획기적인 결과를 증명하다 연속된 소수 사이의 간격에 상한선을 설정합니다. Larsen에서 무언가가 클릭되었습니다. 그는 정수론에 대해 생각하는 것을 멈출 수 없었고, Zhang과 다른 수학자들이 여전히 해결하기를 희망했던 관련 문제에 대해 생각하는 것을 멈출 수 없었습니다. 쌍둥이 소수 추측, 즉 2만 다른 소수 쌍이 무한히 많다는 것입니다.
70만 미만의 차이가 있는 소수 쌍이 무한히 많다는 것을 보여준 Zhang의 연구 이후, 다른 사람들이 뛰어 들었다 이 경계를 더욱 낮추기 위해. 수개월 내에 수학자들은 제임스 메이 너드 와 테렌스 타오 독립적으로 소수 사이의 간격에 대한 훨씬 더 강력한 진술을 입증했습니다. 그 격차는 이후 246으로 줄어들었다.
Larsen은 Maynard와 Tao의 작업에 깔려 있는 수학의 일부를 이해하고 싶었지만 “저에게는 거의 불가능했습니다.”라고 그는 말했습니다. 그들의 서류는 너무 복잡했습니다. Larsen은 관련 저작물을 읽으려고 했으나 꿰뚫을 수 없다는 것을 발견했습니다. 그는 계속해서 한 결과에서 다른 결과로 넘어갔고 마침내 2021년 XNUMX월에 아름답고 이해하기 쉬운 논문을 발견했습니다. 주제: Carmichael 숫자, 때때로 소수로 간주될 수 있는 이상한 합성 숫자.
프라임을 제외한 모든
17세기 중반에 프랑스 수학자 피에르 드 페르마는 친구이자 절친한 친구인 프레니클 드 베시에게 편지를 썼는데, 이 편지에서 그는 나중에 자신의 "작은 정리"로 알려지게 될 내용을 말했습니다. 만약에 N 는 소수이고, 그러면 bN - b 항상 의 배수입니다 N, 무슨 일이 있어도 b 이다. 예를 들어 7은 소수이고 결과적으로 27 – 2(126과 같음)는 7의 배수입니다. 마찬가지로 37 – 3은 7의 배수입니다.
수학자들은 주어진 숫자가 소수인지 합성인지에 대한 완벽한 테스트의 가능성을 보았습니다. 그들은 알고 있었다 N 프라임이고, bN - b 항상 의 배수입니다 N. 그 반대도 사실이라면? 즉, 만약 bN - b 의 배수입니다 N 의 모든 값에 대해 b반드시 N 프라임?
아아, 매우 드문 경우로 밝혀졌습니다. N 이 조건을 만족하면서도 여전히 합성할 수 있습니다. 가장 작은 숫자는 561입니다. 임의의 정수에 대해 b, b561 - b 561이 소수가 아니더라도 항상 561의 배수입니다. 이러한 숫자는 1910년에 첫 번째 예를 발표한 것으로 종종 알려진 수학자 Robert Carmichael의 이름을 따서 명명되었습니다(체코 수학자 Václav Šimerka가 1885년에 독립적으로 예를 발견했지만).
수학자들은 정수론의 가장 기본적인 대상인 소수와 매우 유사한 이러한 수를 더 잘 이해하기를 원했습니다. Carmichael의 결과가 나오기 1899년 전인 XNUMX년에 또 다른 수학자 Alwin Korselt가 동등한 정의를 내놓았습니다. 그는 단순히 청구서에 맞는 숫자가 있는지 몰랐습니다.
Korselt의 기준에 따르면, N 세 가지 속성을 충족하는 경우에만 Carmichael 수입니다. 첫째, 하나 이상의 소인수가 있어야 합니다. 둘째, 소인자는 반복될 수 없습니다. 셋째, 모든 소수에 대해 p 나누는 것 N, p – 1도 나눕니다. N – 1. 숫자 561을 다시 고려하십시오. 3 × 11 × 17과 같으므로 Korselt 목록의 처음 두 속성을 분명히 만족합니다. 마지막 속성을 표시하려면 각 소인수에서 1을 빼서 2, 10 및 16을 얻습니다. 또한 1에서 561을 뺍니다. 작은 수 세 개는 모두 560의 제수입니다. 따라서 숫자 561은 카마이클 수입니다.
수학자들은 카마이클 수가 무한히 많다고 생각했지만 소수에 비해 상대적으로 적기 때문에 정확한 수를 찾기가 어려웠습니다. 그리고 1994년 레드 알포드는 앤드류 그랜빌 와 칼 포메 란스 획기적인 발표 종이 마침내 그들은 이러한 유사 소수가 실제로 무한히 많다는 것을 증명했습니다.
불행히도 그들이 개발한 기술로는 Carmichael 숫자가 어떻게 생겼는지 말할 수 없었습니다. 숫자 선을 따라 클러스터로 나타나며 사이에 큰 간격이 있습니까? 아니면 짧은 간격으로 항상 Carmichael 번호를 찾을 수 있습니까? Granville은 다음과 같이 말했습니다.
특히 그와 그의 공동 저자들은 이 아이디어를 반영하는 진술을 증명하기를 희망했습니다. X, 사이에는 항상 Carmichael 번호가 있습니다. X 및 2X. 관련 연구를 수행한 국방 분석 연구소(Institute for Defense Analysis)의 수학자 존 그랜섬(Jon Grantham)은 “그것은 그것들이 얼마나 어디에나 존재하는지를 표현하는 또 다른 방법”이라고 말했다.
그러나 수십 년 동안 아무도 그것을 증명할 수 없었습니다. Alford, Granville 및 Pomerance가 개발한 기술을 통해 "Carmichael 숫자가 많을 것이라는 것을 보여줄 수 있었습니다."라고 Pomerance는 말했습니다. "
그런 다음, 2021년 17월, Granville은 당시 XNUMX세였던 Larsen이 고등학교 XNUMX학년 때 보낸 이메일을 열었습니다. ㅏ 종이 첨부되어 있었고 Granville은 놀랍게도 정확해 보였습니다. “이 책은 결코 쉽지 않은 책이었습니다.”라고 그는 말했습니다. “하지만 내가 그것을 읽었을 때 그가 장난을 치고 있지 않다는 것이 아주 분명했습니다. 그는 기발한 아이디어를 가지고 있었습니다.”
이후 버전의 작업을 읽은 Pomerance는 동의했습니다. "그의 증명은 정말 상당히 발전되어 있습니다."라고 그는 말했습니다. “수학자라면 누구나 자랑스러워할 논문일 것입니다. 그리고 여기 고등학생이 쓰고 있어요.”
Larsen의 증명에 대한 핵심은 처음에 그를 Carmichael 수로 이끌었던 작업이었습니다. Maynard와 Tao의 주요 격차에 대한 결과입니다.
가능성 없음 — 불가능하지 않음
Larsen이 짧은 간격으로 항상 Carmichael 수를 찾을 수 있음을 보여주기 위해 처음 시작했을 때 "그것이 너무도 명백한 사실인 것 같았는데 증명하는 것이 얼마나 어려울 수 있습니까?" 그는 말했다. 그는 그것이 실제로 매우 어려울 수 있음을 빨리 깨달았습니다. 그는 “이것은 우리 시대의 기술을 시험하는 문제”라고 말했다.
1994년 논문에서 Alford, Granville 및 Pomerance는 무한히 많은 Carmichael 수를 생성하는 방법을 보여주었습니다. 그러나 그들은 그것들을 구성하는 데 사용한 소수의 크기를 제어할 수 없었습니다. 그것이 Larsen이 상대적으로 크기가 비슷한 Carmichael 수를 만들기 위해 해야 할 일입니다. 문제의 어려움은 그의 아버지인 Michael Larsen을 걱정했습니다. "나는 그것이 불가능하다고 생각하지 않았지만 그가 성공할 것 같지는 않다고 생각했습니다."라고 그는 말했습니다. "나는 그가 그 일에 얼마나 많은 시간을 들이고 있는지 보았고 ... 나는 그가 이것에 자신의 많은 것을 바쳤지만 얻지 못한다는 것은 파괴적일 것이라고 느꼈습니다."
하지만 그는 아들을 설득하는 것보다 더 잘 알고 있었습니다. “다니엘이 정말로 자신에게 관심이 있는 일에 전념할 때, 그는 굵고 가늘게 그것을 고수합니다.”라고 그는 말했습니다.
그래서 Larsen은 Maynard의 논문으로 돌아왔습니다. 특히, 충분한 수의 특정 시퀀스를 취하는 경우 해당 수의 일부 하위 집합이 소수여야 함을 보여주는 작업으로 돌아갔습니다. Larsen은 Maynard의 기술을 수정하여 Alford, Granville 및 Pomerance가 사용하는 방법과 결합했습니다. 이를 통해 그는 그가 원하는 간격 내에 속하는 Carmichael 수를 생성하기에 충분한 크기가 달라지는 소수의 크기를 보장할 수 있었습니다.
Granville은 “그는 우리가 가진 것보다 더 많은 것을 통제할 수 있습니다. 그리고 그는 Maynard의 작업을 특히 영리하게 사용하여 이를 달성했습니다. "소수 사이의 짧은 간격에 이 진행 상황을 사용하는 것은 쉽지 않습니다."라고 말했습니다. 카이사 마토마키, 핀란드 투르쿠 대학의 수학자. "카마이클 수에 대한 이 질문과 그가 그것을 결합할 수 있다는 것은 아주 좋은 일입니다."
사실, Larsen의 주장은 Carmichael number가 항상 사이에 나타나야 한다는 것을 보여주도록 허용하지 않았습니다. X 및 2X. 그의 증명은 훨씬 더 작은 간격에서도 작동합니다. 수학자들은 이제 이것이 이 이상한 숫자의 행동의 다른 측면을 밝히는 데 도움이 되기를 바랍니다. 다른 생각이다"라고 말했다. 토마스 라이트, 사우스 캐롤라이나에 있는 Wofford College의 수학자이며 pseudoprimes에 대해 연구하고 있습니다. "카마이클 수에 대한 것을 증명하는 방법에 대해 많은 것을 바꿉니다."
그랜담은 동의했다. 그는 “이제는 생각지도 못한 일을 할 수 있다”고 말했다.
한편, Larsen은 Massachusetts Institute of Technology에서 XNUMX학년을 막 시작했습니다. 그는 다음에 어떤 문제를 해결해야 할지 확신할 수 없지만 거기에 무엇이 있는지 알고 싶어합니다. “저는 단지 코스를 수강하고 있으며 … 열린 마음을 가지려고 노력하고 있습니다.”라고 그는 말했습니다.
“그는 학부 교육 없이 이 모든 일을 했습니다.”라고 Grantham은 말했습니다. “그가 대학원에서 무엇을 생각해낼지 상상할 수 있을 뿐입니다.”
