Een korte geschiedenis van lastig wiskundig tegelwerk | Quanta-tijdschrift

Dagelijks zien we voorbeelden van zich herhalende motieven. Deze symmetrie en regelmaat kunnen alledaags en bijna onzichtbaar lijken, zoals bij metselwerk op muren van gebouwen of het zeshoekige patroon in een honingraat. Of als we het geluk hebben zoiets als het elegante tegelwerk in het Spaanse Alhambra of de creatieve tekeningen van MC Escher tegen te komen, kunnen de patronen ons inspireren en verbazen.

Eeuwenlang hebben wiskundigen met deze zich herhalende vormen gespeeld en er fascinerende inzichten en nieuwe mogelijkheden aan ontleend. De schoonheid van de wiskunde wedijvert met de schoonheid van de ontwerpen zelf.

De eenvoudigste betegelingen zijn gemaakt van identieke veelhoeken met zijden van gelijke lengte en hoeken van gelijke grootte, die van volledige rand tot volledige rand zijn verbonden. Maar hoewel er oneindig veel van deze ‘regelmatige’ polygonen zijn – één voor elk aantal zijden – zijn er slechts drie regelmatige betegelingen, gevormd uit vormen met drie, vier of zes zijden – dat wil zeggen driehoeken, vierkanten en zeshoeken.

De andere vormen zijn er gewoon niet voor gebouwd. Een regelmatige vijfhoek (met vijf zijden) heeft een binnenhoek van 108 graden. Dit is niet gelijkmatig verdeeld in 360 graden, dus elke poging om regelmatige vijfhoeken samen te voegen tot een tegelwerk zal ongetwijfeld gaten opleveren die niet kunnen worden opgevuld; we zeggen dat de reguliere vijfhoek het vlak niet kan betegelen. En regelmatige veelhoeken met meer dan zes zijden hebben binnenhoeken die te groot zijn om er drie in één punt te laten samenkomen, en dat kunnen zij dus ook niet.

Een andere kijk op het betegelen met regelmatige veelhoeken komt van Johannes Kepler, tegenwoordig vooral bekend om zijn ontdekkingen over de beweging van planeten. In 1619 toonde hij aan dat zelfs als je meer dan één regelmatige veelhoek gebruikt, je slechts acht nieuwe tegelpatronen kunt maken waarbij de configuratie rond elk hoekpunt identiek is. (Als we van deze beperking mogen afwijken, zijn er meer mogelijkheden.)

Wanneer we onregelmatige polygonen toestaan, wordt het interessanter. Verrassend genoeg kan elke driehoek het vlak betegelen, en nog verrassender, dat geldt ook voor elke vierhoek.

Aan de andere kant is het onmogelijk om het vlak te betegelen met een convexe veelhoek van meer dan zes zijden; de som van de binnenhoeken is gewoon te groot. Er blijven dus alleen vijfhoeken en zeshoeken over als resterende mogelijkheden.

In zijn proefschrift uit 1918 bewees Karl Reinhardt dat het mogelijk is om het vlak te betegelen met oneindig veel convexe zeshoeken – die zonder inkepingen – die hij in drie families groepeerde.

Bolle vijfhoeken die het vlak betegelen, waren lastiger te classificeren. Reinhardt ontdekte vijf families van dergelijke vijfhoeken; 50 jaar later vond Richard Kershner er nog drie. In 1975 schreef Martin Gardner over het probleem Scientific American, waardoor het onder de aandacht van zowel professionele als amateurwiskundigen komt. Eén van die amateurs, een computerprogrammeur genaamd Richard James III, stuurde Gardner een voorbeeld van een negende familie met de vraag: 'Bent u het ermee eens dat Kershner deze heeft gemist?' Hij had.

Marjorie Rice, een huisvrouw, las ook de column van Gardner en begon aan haar keukentafel over het probleem te puzzelen. Ze sleutelde ruim twee jaar en ontdekte het nog vier gezinnen van het betegelen van vijfhoeken.

Onderzoekers vonden in 14 een 1985e familie van tegelvijfhoeken, en dertig jaar later vond een ander team een ​​15e familie met behulp van een computerzoekopdracht. Niemand wist of deze ontdekking de lijst compleet maakte, of dat er nog meer families ondergedoken waren. Die vraag werd in 2017 beantwoord toen Michaël Rao bewezen dat alle convexe tegelvijfhoeken – en daarmee ook alle convexe tegelpolygonen – waren gevonden.

Al deze betegelingen herhalen zich. Dat wil zeggen, ze hebben een periodieke symmetrie, wat in feite betekent dat als we de tegels op een stuk papier zouden overtrekken en dat papier in bepaalde richtingen zouden schuiven, het weer precies op één lijn zou komen met de tegels.

Andere soorten symmetrieën zijn ook mogelijk. Een spiegelsymmetrie houdt bijvoorbeeld in dat onze patronen op één lijn komen als we ons calqueerpapier ondersteboven om een ​​vaste lijn draaien. Rotatiesymmetrie betekent dat ze op één lijn komen als we ons papier roteren. En we kunnen acties combineren om een ​​glijdende reflectiesymmetrie te verkrijgen, wat hetzelfde is als het papier verschuiven en dan omdraaien.

In 1891 bewees de Russische kristallograaf Evgraf Fedorov dat er slechts 17 manieren zijn waarop deze symmetrieën kunnen worden gecombineerd. Omdat deze beperking van toepassing is op alle periodieke versieringen van het vliegtuig, worden deze doorgaans de 17 ‘achtergrondgroepen’ genoemd.

Als je eenmaal bekend bent met deze classificatie van symmetriepatronen, is het bijna onmogelijk om een ​​periodiek ontwerp, hoe ingewikkeld ook, te zien en het niet te zien als een puzzel die je moet ontcijferen: waar en hoe herhaalt het zich precies? Waar zijn die symmetrieën?

Natuurlijk is niet elk tegelontwerp periodiek. Het is mogelijk, en vaak eenvoudig, om tegels in het vlak te plaatsen, zodat het resulterende ontwerp zich nooit herhaalt. In ons voorbeeld met zeshoeken, vierkanten en driehoeken kun je dit doen door simpelweg een enkele zeshoek en de veelhoeken eromheen 30 graden te draaien. De resulterende tegels hebben niet langer translationele symmetrieën.

In 1961 vermoedde de logicus Hao Wang dat als een reeks vormen het vlak betegelt, de vormen het vlak periodiek moeten kunnen betegelen. Slechts een paar jaar later bewees zijn afgestudeerde student Robert Berger dat hij ongelijk had door een enorme reeks van meer dan 20,000 tegels te ontdekken die het vlak betegelen, maar alleen niet-periodiek. Dergelijke tegelsets worden aperiodisch genoemd.

Hoewel Berger en anderen erin slaagden de omvang van deze aperiodieke sets aanzienlijk terug te brengen, trok Roger Penrose halverwege de jaren zeventig de aandacht van de wereld door zeer kleine sets van zijn eigen aperiodische tegels te ontdekken. Voor de kleinste sets zijn slechts twee tegels nodig.

Deze vormen en patronen boeiden wiskundigen, wetenschappers en het grote publiek. Maar ze wierpen wel een voor de hand liggende volgende vraag op: bestaat er een enkele aperiodieke tegel? De ultieme zoektocht van de tegeltheorie was nu om zo’n ‘einstein’-tegel te vinden – niet vernoemd naar de natuurkundige, maar naar de Duitse uitdrukking ‘één steen’.

In 2010 kwamen Joshua Socolar en Joan Taylor heel dicht bij de ontdekking van een Einstein. Het probleem met hun aanpak was dat hun tegel moest worden losgekoppeld; dit zou hetzelfde zijn als het vlak betegelen met vormen zoals de staat Hawaï, een enkele entiteit die uit afzonderlijke regio's bestaat, in plaats van met verbonden vormen zoals Californië. Wiskundigen vermoedden steeds vaker dat als er een Einstein zou bestaan, dit iets heel geometrisch ingewikkelds zou moeten zijn.

In maart 2023 schokte een amateur opnieuw de wereld. Een gepensioneerde printtechnicus en wiskundige hobbyist genaamd David Smith had niet slechts één aperiodiek monotiel ontdekt, maar... een oneindige familie van deze ongrijpbare Einsteins. Hij voegde Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss en Joseph Samuel Myers eraan toe – experts in computerwetenschappen, wiskunde en de theorie van betegeling – en samen presenteerden ze een geometrisch eenvoudige einstein genaamd de hoedentegel (waarvan het internet dacht dat het op een T-shirt leek). ).

De reactie was snel en positief. De ontdekkers spraken op conferenties en hielden online lezingen. Wiskundige kunstenaars grepen de kans aan om creatieve manieren te vinden om Escher-achtige ontwerpen te maken op basis van deze nieuwe geometrisch interessante tegels. De hoedentegel verscheen zelfs in de monoloog van een televisieshow op de late avond.

Toch was er nog ruimte voor verbetering. Om het vlak met de hoed te betegelen, moet je ongeveer een zevende van de tegels ondersteboven draaien. Een huiseigenaar die zijn badkamer wil betegelen met de hoedentegel, zou twee soorten tegels moeten kopen: een standaardtegel en een spiegelbeeld. Was dit echt nodig?

Nog voordat de opwinding over de hoedenfiche was geluwd, deed het team nog een aankondiging. Smith had in die oneindige familie van aperiodieke monotielen er een gevonden die hij een ‘spook’ noemde die het vlak kon betegelen zonder dat er gereflecteerde kopieën nodig waren. Eindelijk was er een echte Einstein verschenen.

We bevinden ons nu midden in een heropleving van de wiskundige verkenning van betegelingen en vlakvullingen. Het heeft zich gebaseerd op belangrijke bijdragen van amateurs, heeft de creativiteit van wiskundige kunstenaars geïnspireerd en de kracht van computers benut om de grenzen van kennis te verleggen. En daaruit hebben we nieuwe inzichten verkregen in de aard van symmetrie, geometrie en ontwerp.

correctie: 30 oktober 2023
In de originele versie van dit artikel stond dat het onmogelijk is om het vlak te betegelen met een polygoon van meer dan zes zijden. Dit geldt alleen als de veelhoek convex is.

Quanta voert een reeks onderzoeken uit om ons publiek beter van dienst te zijn. Neem onze lezersonderzoek wiskunde en je doet mee om gratis te winnen Quanta koopwaar.