Een eeuw later maakt nieuwe wiskunde de algemene relativiteitstheorie glad | Quanta-tijdschrift

De algemene relativiteitstheorie van Albert Einstein is enorm succesvol geweest in het beschrijven van hoe de zwaartekracht werkt en hoe deze de grootschalige structuur van het universum vormgeeft. Het wordt samengevat in een gezegde van de natuurkundige John Wheeler: “De ruimte-tijd vertelt materie hoe ze moet bewegen; materie vertelt ruimte-tijd hoe ze moeten buigen.” Toch is de wiskunde van de algemene relativiteitstheorie ook diep contra-intuïtief.

Omdat de basisvergelijkingen zo ingewikkeld zijn, zijn zelfs de eenvoudigst klinkende beweringen moeilijk te bewijzen. Pas rond 1980 bewezen wiskundigen bijvoorbeeld, als onderdeel van een belangrijke stelling in de algemene relativiteitstheorie, dat een geïsoleerd fysiek systeem, of ruimte, zonder enige massa erin, vlak moet zijn.

Hierdoor bleef de vraag onopgelost hoe een ruimte eruit ziet als deze bijna een vacuüm is en slechts een kleine hoeveelheid massa heeft. Is het noodzakelijkerwijs bijna vlak?

Hoewel het voor de hand liggend lijkt dat een kleinere massa tot een kleinere kromming zou leiden, zijn de zaken niet zo droog als het gaat om de algemene relativiteitstheorie. Volgens de theorie kunnen dichte concentraties materie een deel van de ruimte ‘vervormen’, waardoor deze sterk gekromd wordt. In sommige gevallen kan deze kromming extreem zijn, wat mogelijk kan leiden tot de vorming van zwarte gaten. Dit kan zelfs gebeuren in een ruimte met kleine hoeveelheden materie, als deze sterk genoeg geconcentreerd is.

In een recente papier, Conghan Dong, een afgestudeerde student aan de Stony Brook University, en Antoine Lied, een assistent-professor aan het California Institute of Technology, heeft bewezen dat een reeks gebogen ruimtes met steeds kleinere hoeveelheden massa uiteindelijk zal convergeren naar een vlakke ruimte zonder kromming.

Dit resultaat is een opmerkelijke vooruitgang in de wiskundige verkenning van de algemene relativiteitstheorie – een streven dat meer dan een eeuw nadat Einstein zijn theorie bedacht nog steeds vruchten afwerpt. Dan Lee, een wiskundige aan het Queens College die de wiskunde van de algemene relativiteitstheorie bestudeert maar niet bij dit onderzoek betrokken was, zei dat het bewijs van Dong en Song een diep begrip weerspiegelt van hoe kromming en massa op elkaar inwerken.

Wat ze hebben bewezen

Het bewijs van Dong en Song betreft driedimensionale ruimtes, maar beschouw ter illustratie eerst een tweedimensionaal voorbeeld. Stel je een vlakke ruimte zonder massa voor als een gewoon, glad vel papier. Een ruimte met een kleine massa kan er in dit geval van een afstand hetzelfde uitzien, dat wil zeggen grotendeels vlak. Bij nadere inspectie kunnen echter hier en daar enkele scherpe pieken of belletjes naar voren komen – gevolgen van de clustering van materie. Door deze willekeurige uitstulpingen lijkt het papier op een goed onderhouden gazon, waar af en toe een paddestoel of stengel uit het oppervlak steekt.

Dong en Song bewezen een vermoeden die in 2001 door de wiskundigen werd geformuleerd Gerard Huisken en Tom Ilmanen. Het vermoeden stelt dat naarmate de massa van een ruimte nul nadert, dat ook geldt voor de kromming ervan. Huisken en Ilmanen erkenden echter dat dit scenario gecompliceerd wordt door de aanwezigheid van bellen en pieken (die wiskundig van elkaar verschillen). Ze veronderstelden dat de bellen en pieken zo konden worden afgesneden dat het grensgebied dat bij elke uitsnijding op het oppervlak van de ruimte achterbleef klein was. Ze suggereerden, maar konden het niet bewijzen, dat de ruimte die overbleef nadat deze lastige aanhangsels waren verwijderd, vrijwel vlak zou zijn. Ze wisten ook niet zeker hoe dergelijke bezuinigingen moesten worden doorgevoerd.

“Deze vragen waren moeilijk en ik had niet verwacht dat ik een oplossing zou zien voor het vermoeden van Huisken-Ilmanen,” zei Lee.

De kern van het vermoeden is een meting van de kromming. De ruimte kan op verschillende manieren, in verschillende hoeveelheden en in verschillende richtingen buigen – zoals een zadel (in twee dimensies) dat naar voren en naar achteren naar boven buigt, maar naar links en naar rechts naar beneden buigt. Dong en Song negeren die details. Ze gebruiken een concept dat scalaire kromming wordt genoemd en dat de kromming voorstelt als een enkel getal dat de volledige kromming in alle richtingen samenvat.

Het nieuwe werk van Dong en Song, zei Daniel achtersteven van Cornell University, is “een van de sterkste resultaten die we tot nu toe hebben en die ons laat zien hoe scalaire kromming de geometrie van de ruimte als geheel bepaalt. Hun artikel illustreert dat “als we een niet-negatieve scalaire kromming en een kleine massa hebben, we de structuur van de ruimte heel goed begrijpen.”

Het Bewijs

Het vermoeden van Huisken-Ilmanen heeft betrekking op de geometrie van ruimtes met een gestaag afnemende massa. Het schrijft een specifieke methode voor om te zeggen hoe dicht een ruimte met een kleine massa zich bij een vlakke ruimte bevindt. Die maat heet Gromov-Hausdorff-afstand, genoemd naar de wiskundigen Michaël Gromov en Felix Hausdorff. Het berekenen van de Gromov-Hausdorff-afstand bestaat uit twee stappen.

De eerste stap is het vinden van de Hausdorff-afstand. Stel dat je twee cirkels hebt, A en B. Begin met een willekeurig punt op A en zoek uit hoe ver het is naar het dichtstbijzijnde punt op B.

Herhaal dit voor elk punt op A. De grootste afstand die je vindt is de Hausdorff-afstand tussen de cirkels.

Zodra u de Hausdorff-afstand heeft, kunt u de Gromov-Hausdorff-afstand berekenen. Om dat te doen, plaatst u uw objecten in een grotere ruimte om de Hausdorff-afstand ertussen te minimaliseren. In het geval van twee identieke cirkels, aangezien je ze letterlijk op elkaar zou kunnen plaatsen, is de Gromov-Hausdorff-afstand ertussen nul. Geometrisch identieke objecten zoals deze worden ‘isometrisch’ genoemd.

Het meten van afstand is uiteraard moeilijker als de objecten of ruimtes die worden vergeleken gelijk zijn, maar niet hetzelfde. De Gromov-Hausdorff-afstand geeft een nauwkeurige maatstaf voor de overeenkomsten (of verschillen) tussen de vormen van twee objecten die aanvankelijk in verschillende ruimtes liggen. "De Gromov-Hausdorff-afstand is een van de beste manieren om te zeggen dat twee ruimtes bijna isometrisch zijn, en het geeft daar 'bijna' een getal aan", zei Stern.

Voordat Dong en Song een vergelijking konden maken tussen een ruimte met een kleine massa en een ruimte die volkomen vlak is, moesten ze de vervelende uitsteeksels wegknippen: de smalle pieken waar de materie dicht opeengepakt zit, en nog dichtere belletjes die kleine zwarte gaten kunnen herbergen. “We hebben ze zo gesneden dat het grensgebied [waar het plakje werd gemaakt] klein is,” zei Song, “en we hebben laten zien dat het gebied kleiner wordt naarmate de massa afneemt.”

Hoewel die tactiek misschien als bedrog klinkt, zei Stern dat het bij het bewijzen van het vermoeden toegestaan ​​is om een ​​soort voorbewerking uit te voeren door bellen en pieken weg te snijden waarvan de oppervlakte tot nul krimpt naarmate de massa afneemt.

Als maatstaf voor een ruimte met een kleine massa, zo opperde hij, kunnen we ons een verkreukeld vel papier voorstellen dat, nadat het opnieuw is gladgestreken, nog steeds scherpe vouwen en vouwen vertoont. Je zou een perforator kunnen gebruiken om de meest opvallende onregelmatigheden te verwijderen, waardoor er een enigszins oneffen stuk papier overblijft met enkele gaatjes erin. Naarmate de grootte van die gaten kleiner wordt, neemt ook de oneffenheid van het terrein van het papier toe. Aan de limiet, zou je kunnen zeggen, zouden de gaten tot nul krimpen, zouden de heuvels en randen verdwijnen, en zou je een gelijkmatig glad stuk papier overhouden - een echte vervanger voor een vlakke ruimte.

Dat is wat Dong en Song probeerden te bewijzen. De volgende stap was om te zien hoe deze blootgelegde ruimtes – ontdaan van hun ruwe kenmerken – zich opstapelden tegen de standaard van totale vlakheid. De strategie die zij volgden maakte gebruik van een speciaal soort kaart, een manier om twee ruimtes te vergelijken door punten in de ene ruimte te associëren met punten in een andere. De kaart die ze gebruikten is ontwikkeld in a papier geschreven door Stern en drie collega's: Hubert Bray, Demetre Kazaras en Marcus Khuri. Deze procedure kan precies aangeven hoe dichtbij twee spaties zijn.

Om hun taak te vereenvoudigen, hebben Dong en Song een andere wiskundige truc van Stern en zijn co-auteurs overgenomen, waaruit bleek dat een driedimensionale ruimte kan worden verdeeld in oneindig veel tweedimensionale plakjes, niveausets genoemd, net zoals een hardgekookt ei dat kan. worden gesegmenteerd in smalle vellen door de strakke draden van een eiersnijder.

De niveausets erven de kromming van de driedimensionale ruimte die ze omvatten. Door hun aandacht te richten op niveaureeksen in plaats van op de grotere driedimensionale ruimte, konden Dong en Song de dimensionaliteit van het probleem terugbrengen van drie naar twee. Dat is erg nuttig, zei Song, omdat “we veel weten over tweedimensionale objecten … en we hebben veel hulpmiddelen om ze te bestuderen.”

Als ze met succes zouden kunnen aantonen dat elk niveau ‘een beetje plat’ is, zei Song, zou dit hen in staat stellen hun algemene doel te bereiken: laten zien dat een driedimensionale ruimte met weinig massa bijna vlak is. Gelukkig heeft deze strategie succes gehad.

Volgende stappen

Vooruitkijkend zei Song dat een van de volgende uitdagingen van het veld is om het bewijs explicieter te maken door een precieze procedure op te stellen voor het wegwerken van bellen en pieken en een betere beschrijving van de weggesneden gebieden. Maar voorlopig, zo gaf hij toe, “hebben we geen duidelijke strategie om dat te bereiken.”

 Een andere veelbelovende weg, zei Song, zou zijn om een apart vermoeden dat werd in 2011 geformuleerd door Lee en Christina Sormani, een wiskundige aan de City University van New York. Het vermoeden van Lee-Sormani stelt een soortgelijke vraag als die van Huisken en Ilmanen, maar berust op een andere manier om het verschil tussen vormen te meten. In plaats van de maximale afstand tussen twee vormen te beschouwen, zoals de Gromov-Hausdorff-afstand doet, vraagt ​​de Lee-Sormani-benadering naar de volume van de ruimte tussen hen. Hoe kleiner dat volume, hoe dichterbij ze zijn.

Song hoopt ondertussen fundamentele vragen over scalaire kromming te onderzoeken die niet door de natuurkunde worden gemotiveerd. ‘In de algemene relativiteitstheorie’, zei hij, ‘hebben we te maken met heel bijzondere ruimtes die bijna vlak zijn in het oneindige, maar in de meetkunde geven we om allerlei soorten ruimtes.’

“Er bestaat hoop dat deze technieken van waarde kunnen zijn in andere omgevingen” die niets te maken hebben met de algemene relativiteitstheorie, zei Stern. “Er bestaat een grote familie van gerelateerde problemen,” zei hij, die wachten om onderzocht te worden.

Quanta voert een reeks onderzoeken uit om ons publiek beter van dienst te zijn. Neem onze lezersonderzoek wiskunde en je doet mee om gratis te winnen Quanta koopwaar.