Introductie
Zoals veel mensen die later wiskundige zouden worden, Wei Ho groeide op met meedoen aan wiskundewedstrijden. In de achtste klas won ze de Mathcounts-staatscompetitie in Wisconsin, en haar team behaalde de derde plaats bij de nationale kampioenschappen.
In tegenstelling tot veel toekomstige wiskundigen, wist ze niet zeker of ze er ooit een wilde worden.
"Ik wilde alles doen, de hele tijd," zei Ho. “Tot de vroege middelbare school nam ik ballet heel serieus. Ik redigeerde het literaire tijdschrift. Ik deed debat en forensisch onderzoek. Ik speelde tennis en voetbal en piano en viool.” Daarentegen leken veel succesvolle wiskundigen geobsedeerd te zijn door wiskunde met uitsluiting van al het andere. Hoe kon zij, een persoon met talloze passies, concurreren met dat niveau van focus?
Uiteindelijk werd Ho aangetrokken door de strengheid van de wiskunde. Ze houdt nog steeds van ballet, het lezen van romans en het maken van cryptische kruiswoordpuzzels, ook al helpt ze bij het opnieuw uitvinden van de wiskundige machinerie die ten grondslag ligt aan fundamentele wiskundige objecten, zoals polynoomvergelijkingen, waaraan al lang bestaande en verwarrende open vragen verbonden zijn.
Ho bestudeert bekende geometrische objecten, maar ze herformuleert de vragen om ze te situeren in het rijk van de rationale getallen - getallen die kunnen worden geschreven als breuken. "Dan begint de getaltheorie hierin vermengd te raken," zei ze.
Ze is vooral geïnteresseerd in elliptische krommen, die worden gedefinieerd door een bepaald soort polynoomvergelijking die toepassingen heeft in verschillende takken van de wiskunde. Elliptische krommen komen voor in de analyse - in grote lijnen de studie van continue dingen, zoals de reële getallen - en in de algebra, die gaat over het vinden en definiëren van precieze wiskundige structuren. (Hoewel hun focus anders is, worden analyse en algebra meer gescheiden door gevoeligheid dan door een strikte grens, aangezien er veel overlap tussen is.)
Introductie
In een grensverleggende voordruk die in 2018 werd uitgebracht, beschrijven Ho en haar medewerker Levent Alpöge van de Harvard-universiteit ontdekte een nieuwe bovengrens voor het aantal gehele oplossingen van polynomen die elliptische krommen definiëren. Hun techniek is gebaseerd op het tientallen jaren oude werk van Louis Mordell, een Amerikaanse wiskundige die in 1906 naar Groot-Brittannië emigreerde. In hun paper konden Ho en Alpöge nieuwe informatie verzamelen over de verdeling van deze integeroplossingen die andere teams die soortgelijke studies bestudeerden, hadden ontweken. problemen.
Ho brengt het jaar (met verlof van haar facultaire positie aan de Universiteit van Michigan) door als gastprofessor aan het Institute for Advanced Study, waar ze onlangs werd benoemd tot de eerste directeur van het IAS's Women and Mathematics-programma. Ze is ook een 2023 fellow van de American Mathematical Society en een onderzoeker aan Princeton University.
Ze heeft goede hoop dat het leiden van het programma Vrouwen en wiskunde "in ieder geval de gemeenschap meer zal helpen, meer mensen zal helpen, in plaats van dat ik alleen in mijn kantoor wiskundeonderzoek doe, alleen of met medewerkers", zei ze. “Ik kan stellingen bewijzen, en misschien kan ik ooit een stelling bewijzen die er over 100 jaar toe zal doen. Misschien misschien niet. Maar ik had het gevoel dat ik niet genoeg impact had op de wereld of op de mensen om me heen.”
Quanta sprak met Ho in een reeks videoconferenties. De interviews zijn voor de duidelijkheid ingekort en bewerkt.
Hoe zou je de manier waarop je aan wiskunde doet omschrijven?
Soms verdelen wiskundigen ons in algebraïsche en analytische mensen. De wiskunde die ik doe raakt beide kanten, maar in wezen ben ik een algebraïst, hoewel ik meetkundig ben in de manier waarop ik denk. Ik heb vaak de neiging om algebra en geometrie als in wezen hetzelfde te beschouwen.
Dat is niet helemaal juist, maar eigenlijk sinds het werk van Descartes en vooral in de vorige eeuw, zijn de twee onderwerpen heel dichtbij gekomen. Er is een vrij nauwkeurig woordenboek dat in sommige situaties kan helpen bij het vertalen van een meetkundig beeld naar algebraïsche gevolgen.
In mijn eigen geval helpt het geometrische beeld vaak bij het formuleren van uitspraken en vermoedens en het geven van intuïtie, maar dan vertalen we ze naar algebra bij het schrijven. Het is gemakkelijker om fouten op te sporen, omdat algebra doorgaans strenger is. Het kan ook gemakkelijker zijn om algebra te gebruiken wanneer geometrie te moeilijk wordt om te visualiseren.
Op welke ideeën heb je je gericht in je recente werk?
Heel wat van mijn werk heeft te maken met elliptische krommen, die heel natuurlijke objecten zijn in de getaltheorie en de rekenkundige meetkunde.
Het zou moeilijk moeten zijn om gehele oplossingen van vergelijkingen als deze te hebben. We verwachten in principe dat bijna alle krommen geen gehele oplossingen zouden moeten hebben. Maar het is heel moeilijk om dat te bewijzen.
Levent en ik bestudeerden deze verdeling van het aantal integrale punten. We gebruiken een klassieke constructie uit het boek van Mordell uit 1969 Diophantische vergelijkingen. We kunnen een bovengrens geven aan het aantal integrale punten op een elliptische kromme. Andere mensen hebben bovengrenzen opgegeven. We hebben een andere grens gevonden die eenvoudig te omschrijven is.
Welke rol speelde het eerdere werk van Mordell in uw recente resultaat?
Onze vraag betreft integrale punten op elliptische krommen. Mordell heeft een manier om het te relateren aan iets anders dat we kunnen bestuderen.
Dat is iets wat we de hele tijd doen in wiskunde: we willen een object begrijpen, maar we moeten een proxy vinden om het te begrijpen. Soms is die proxy erg nauwkeurig. Soms verliest het informatie. Maar het is eigenlijk iets waar we toegang toe hebben.
Wanneer besloot je je op wiskunde te richten?
Ik denk niet dat er voor mij een omslagpunt was. Ik ben nu blij met mijn leven en carrière, maar ik heb het gevoel dat als de dingen iets anders waren geweest, ik gelukkig had kunnen zijn in veel carrières of andere gebieden. Misschien zouden de meeste wiskundigen dat niet zeggen, omdat ze graag praten over hoe gepassioneerd ze zijn over wiskunde en hoe ze nooit aan iets anders zouden kunnen denken. Voor mij is dat volgens mij niet waar.
Ik ben benieuwd naar veel verschillende dingen. Misschien ben ik uiteindelijk wiskundige geworden omdat ik gefrustreerd was door het gebrek aan nauwkeurigheid op andere gebieden. Als kind werd ik geleerd om in sommige opzichten als een wiskundige te denken, want zo deden we dingen thuis. Mijn vader speelde rekenspelletjes met me, waardoor ik al op jonge leeftijd logisch redeneren leerde. Ik wilde dat dingen bewezen werden.
Maar ik wist niet zeker of ik een goede wiskundige zou zijn.
Waarom?
Toen ik jonger was, kende ik niet zoveel wiskundemensen die op verschillende manieren op mij leken. We gooien deze woorden rond over rolmodellen. Het is niet alleen dat ik niet genoeg vrouwen of Aziatisch-Amerikaanse vrouwen zag.
Wat ik bedoel is dat ik niet veel mensen zag die gepassioneerd waren door andere dingen dan wiskunde. Daardoor ging ik erg aan mezelf twijfelen. Hoe kan ik succesvol zijn in wiskunde als ik niet 100% van mijn tijd aan wiskunde besteed? Dat is wat ik om me heen zag. Ik had de indruk dat andere mensen wiskunde anders benaderden dan ik, mijn leeftijdsgenoten en mensen die ouder waren dan ik. Ik dacht dat het moeilijk was om een carrière na te jagen waarin ik niet zo zou worden. Ik zou andere interesses hebben.
Het menselijke aspect is iets waar ik andere mensen niet zoveel om zag geven. Ik was bang dat een deel van mij me slecht zou maken in het worden van een wiskundige.
Introductie
Je bent zojuist benoemd tot directeur van het IAS-programma Vrouwen en Wiskunde. Wat biedt dat programma vrouwelijke wiskundigen?
Het is een workshop van een week voor vrouwen in verschillende loopbaanfasen, waaronder niet-gegradueerde vrouwen, afgestudeerde studenten, postdocs en enkele junior en senior docenten. Het is wiskunde leren in een ondersteunende omgeving.
Studenten die misschien niet wisten dat ze wiskunde wilden volgen, ontmoeten zeer ervaren wiskundigen en krijgen mentoring helemaal naar boven. Ze kunnen veel verschillende mensen in verschillende loopbaanfasen zien en met mensen over hun ervaringen praten. Ik denk niet dat er veel andere programma's zijn die dat hele bereik hebben en gericht zijn op een bepaald deelgebied.
Het programma voor 2023 heet 'Patronen in gehele getallen'. Het zal veel mensen hebben in additieve combinatoriek en analytische getaltheorie. We brengen mensen uit verschillende loopbaantrajecten binnen zodat ze elkaar kunnen ontmoeten.
Voor de oudere afgestudeerde studenten die al in dit gebied werken, ontmoeten ze postdocs, junior en senior docenten in hun vakgebied en krijgen ze de kans om een week met hen samen te werken.
Ook ben je betrokken bij de Stapels project, een uitgebreide online bron. Wat is er uniek aan?
Het enorme volume en de toegankelijkheid ervan. Het is dit enorme online samenwerkingsproject - meer dan 7,500 pagina's als je het hebt uitgeprint. Maar realistisch gezien [de wiskundige van Columbia University] Aise Johan de Jong schrijft bijna alles. Het is een rigoureuze, zorgvuldig geschreven bron voor algebraïsche meetkundigen. Het is geweldig wat hij voor de gemeenschap heeft gedaan.
Elke week of twee groeit het. Het is een betrouwbare referentie voor bijna alles. Het behandelt een enorme hoeveelheid algebraïsche meetkunde waarvoor je ongeveer 20 leerboeken zou moeten bekijken.
Het is leven in de zin dat dingen kunnen worden toegevoegd en bewerkt. Als er fouten zijn, worden ze gepakt.
Het andere dat er interessant aan is, is het tag-systeem. Hoewel dit document voortdurend groeit, kunt u nog steeds voor altijd naar een specifieke tag verwijzen. Er zijn meer dan 21,000 permanente tags voor bepaalde resultaten die u misschien wilt citeren. Pieter Belmans bouwde de hele backend, die ook in andere projecten is gebruikt. Andere mensen hebben de technologie ervan aangepast.
Het probleem is - en Johan weet dit - dat hij dit uiteindelijk niet zal kunnen blijven schrijven. Als we willen dat dit op een dag doorgaat, moeten andere mensen er meer bij betrokken worden.
Welke rol spelen jullie workshops in het Stacks-project?
Het punt is om jongere mensen erbij te betrekken. We laten ze stukjes en beetjes schrijven die er uiteindelijk in verwerkt kunnen worden. Er zijn hier wat spanningen, want om ervoor te zorgen dat de website correct en van hoge kwaliteit blijft als bron, moet deze zorgvuldig worden gemodereerd. Dus Johan moet nog veel werk doen om er dingen in te stoppen. Het kan niet zijn zoals Wikipedia waar iedereen het kan aanraken. Dat is een beetje jammer, maar moet gebeuren als je wilt dat dit werkt.
We proberen manieren te vinden om langzaamaan meer mensen bij het Stacks-project te betrekken. We halen mentoren binnen om aan projecten te werken met afgestudeerde studenten en postdocs. Ze leren wat algebraïsche meetkunde. Dan schrijven ze iets op.
We zojuist gepubliceerd een bundel met een aantal verklarende artikelen waarvan we hopen dat ze uiteindelijk in het Stacks-project terechtkomen.
Het Stacks-project zou honderden jaren lang een enorme impact kunnen hebben als er genoeg mensen bij betrokken raken en het draaiende houden.
