Een numeriek mysterie uit de 19e eeuw wordt eindelijk opgelost

Begin jaren vijftig begon een groep onderzoekers van het Institute for Advanced Study aan een hightechproject. Bij de opdracht van John von Neumann en Herman Goldstine, programmeerde de natuurkundige Hedvig Selberg de 1,700-vacuümbuiscomputer van de IAS om merkwaardige wiskundige sommen te berekenen waarvan de oorsprong teruggaat tot de 18e eeuw.

De sommen waren gerelateerd aan kwadratische Gauss-sommen, genoemd naar de beroemde wiskundige Carl Friedrich Gauss. Gauss zou een priemgetal kiezen p, tel dan de getallen op van de vorm $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$. Sinds hun oprichting zijn kwadratische Gauss-sommen van onschatbare waarde gebleken voor taken zoals het tellen van oplossingen voor bepaalde soorten vergelijkingen. "Het blijkt dat Gauss-sommen magisch zijn, dat ze gewoon geweldige dingen doen om god weet om welke reden," zei Jeffrey Hofstein, een wiskundige aan de Brown University.

Halverwege de 19e eeuw speelde de Duitse wiskundige Ernst Eduard Kummer met een nauw verwant aan deze kwadratische Gauss-sommen, waarbij de n² in de exponent wordt vervangen door an n³. Kummer merkte op dat ze de neiging hadden om in verrassende mate bijna bepaalde waarden te verzamelen - een scherpe observatie die zou leiden tot eeuwenlang onderzoek in de getaltheorie.

Als kubieke Gauss-sommen niet worden herwerkt tot een eenvoudigere formule, zijn hun waarden moeilijk af te leiden. Bij gebrek aan een dergelijke formule begon Kummer met het berekenen van kubieke Gauss-sommen - en berekenen en berekenen. "Het was in die tijd heel gewoon voor hen om dit soort heroïsche berekeningen met de hand te doen," zei Matthijs de Jong, een wiskundige aan de Texas A&M University. Nadat hij 45 sommen had doorgeploegd, overeenkomend met de eerste 45 niet-triviale priemgetallen, gaf Kummer het uiteindelijk op.

Toen hij zijn resultaten overzag, merkte Kummer iets interessants op. In theorie zouden de sommen alles tussen -1 en 1 kunnen zijn (na te zijn "genormaliseerd" - gedeeld door een geschikte constante). Maar toen hij de berekeningen deed, ontdekte hij dat ze op een vreemde manier waren verdeeld. De helft van de resultaten lag tussen ½ en en slechts een zesde daarvan lag tussen −1 en −½. Ze leken te clusteren rond 1.

Kummer zette zijn observaties uiteen, samen met een vermoeden: als het je op de een of andere manier zou lukken om alle oneindig veel kubieke Gauss-sommen te plotten, zou je de meeste tussen ½ en 1 zien; minder tussen −½ en ½; en nog minder tussen −1 en −½.

Selberg, von Neumann en Goldstine wilden dit testen op hun vroege computer. Selberg programmeerde het om de kubieke Gauss-sommen te berekenen voor alle niet-triviale priemgetallen van minder dan 10,000 - in totaal ongeveer 600. (Goldstine en von Neumann zouden doorgaan met het schrijven van het artikel; haar bijdragen zouden aan het eind worden gedegradeerd tot een regel van erkenning.) Ze ontdekten dat naarmate de priemgetallen groter werden, de genormaliseerde sommen minder geneigd waren te clusteren bij 1. Met overtuigend bewijs dat Kummers vermoeden onjuist was, begonnen wiskundigen te proberen kubieke Gauss-sommen op een diepere manier te begrijpen die verder ging dan alleen berekeningen.

Dat proces is nu voltooid. In 1978, de wiskundige Samuël Patterson waagde een oplossing voor Kummers wiskundige mysterie, maar kon het niet bewijzen. Afgelopen herfst bewezen twee wiskundigen van het California Institute of Technology het vermoeden van Patterson, waarmee ze eindelijk een einde maakten aan Kummers overpeinzingen uit 1846.

Patterson raakte voor het eerst verslaafd aan het probleem als afgestudeerde student aan de Universiteit van Cambridge in de jaren zeventig. Zijn vermoeden werd gemotiveerd door wat er gebeurt als getallen willekeurig ergens tussen −1970 en 1 worden geplaatst. Als je optelt N van deze willekeurige getallen is de typische grootte van de som $latexsqrt{N}$ (het kan positief of negatief zijn). Evenzo, als kubieke Gauss-sommen gelijkmatig zouden worden verspreid van −1 tot 1, zou je verwachten dat N van hen om op te tellen tot ongeveer $latexsqrt{N}$.

Met dit in gedachten heeft Patterson opgeteld N kubieke Gauss-sommen, waarbij (voorlopig) de vereiste wordt genegeerd om zich aan de priemgetallen te houden. Hij ontdekte dat de som rond was N^5/6 — groter dan $latexsqrt{N}$ (die kan worden geschreven als N^1/2), maar minder dan N. Deze waarde impliceerde dat de sommen zich gedroegen als willekeurige getallen, maar met een zwakke kracht die ze naar positieve waarden duwde, een zogenaamde bias. Net zo N als je groter en groter werd, zou de willekeur de vooroordelen beginnen te overweldigen, en dus als je op de een of andere manier naar alle oneindig veel kubieke Gauss-sommen tegelijk zou kijken, zouden ze gelijkmatig verdeeld lijken.

Dit verklaarde schijnbaar alles: de berekeningen van Kummer die een vooroordeel vertoonden, evenals de IAS-berekeningen die er een weerlegden.

Maar Patterson kon niet dezelfde berekeningen doen voor priemgetallen, dus in 1978 schreef hij het officieel op als een vermoeden: Als je de kubieke Gauss-sommen voor priemgetallen bij elkaar optelt, krijg je hetzelfde N^5/6 gedrag.

Kort nadat hij een lezing had gegeven over zijn werk aan het Kummer-probleem, werd Patterson benaderd door een afgestudeerde student genaamd Roger Heath-Brown, die voorstelde technieken uit de priemgetaltheorie op te nemen. De twee werkten samen en al snel gepubliceerde een voorschot op het probleem, maar ze konden nog steeds niet aantonen dat Patterson voorspelde N^5/6 bias was juist voor priemgetallen.

In de daaropvolgende decennia was er weinig vooruitgang. Eindelijk, aan het begin van het millennium, maakte Heath-Brown nog een doorbraak, waarin een hulpmiddel dat hij had ontwikkeld, de kubieke grote zeef, een essentiële rol speelde.

Om de kubieke grote zeef te gebruiken, gebruikte Heath-Brown een reeks berekeningen om de som van kubieke Gauss-sommen te relateren aan een andere som. Met deze tool kon Heath-Brown aantonen dat als je de kubieke Gauss-sommen optelt voor priemgetallen kleiner dan N, het resultaat kan niet veel groter zijn dan N^5/6. Maar hij dacht dat hij het beter kon doen - dat de zeef zelf verbeterd kon worden. Als het zou kunnen, zou het de grens verlagen om N^5/6 precies, waarmee het vermoeden van Patterson wordt bewezen. In een korte tekstregel schetste hij wat volgens hem de best mogelijke formule voor de zeef zou zijn.

Zelfs met deze nieuwe tool in de hand konden wiskundigen niet verder komen. Toen, twee decennia later, een gelukkige ontmoeting tussen de postdoc van Caltech Alexander Dunn en zijn supervisor Maksym Radziwiłł markeerde het begin van het einde. Voordat Dunn in september 2020 aan zijn functie begon, stelde Radziwiłł voor dat ze samen aan het vermoeden van Patterson zouden werken. Maar terwijl de Covid-19-pandemie nog steeds woedt, gingen onderzoek en onderwijs op afstand door. Eindelijk, in januari 2021, kwam het toeval - of het lot - tussenbeide toen de twee wiskundigen elkaar onverwachts tegen het lijf liepen op een parkeerplaats in Pasadena. "We hebben hartelijk gebabbeld en we waren het erover eens dat we wiskunde moesten gaan ontmoeten en praten", schreef Dunn in een e-mail. In maart werkten ze ijverig aan een bewijs van Pattersons vermoeden.

"Het was spannend om aan te werken, maar een extreem hoog risico", zei Dunn. "Ik bedoel, ik herinner me dat ik vier of vijf maanden lang elke ochtend om vijf uur naar mijn kantoor kwam."

Dunn en Radziwiłł, zoals Heath-Brown voor hen, vonden de kubieke grote zeef onmisbaar voor hun bewijs. Maar toen ze de formule gebruikten die Heath-Brown had opgeschreven in zijn artikel uit 2000 – de formule waarvan hij dacht dat het de best mogelijke zeef was, een vermoeden waarvan de getaltheorie-gemeenschap was gaan geloven dat het waar was – realiseerden ze zich dat er iets niet klopte. . "We waren in staat om te bewijzen dat 1 = 2, na heel, heel ingewikkeld werk", zei Radziwiłł.

Op dat moment was Radziwiłł er zeker van dat de fout van hen was. "Ik was er min of meer van overtuigd dat we in feite een fout in ons bewijs hebben." Dunn overtuigde hem van het tegendeel. De kubieke grote zeef kon, tegen de verwachting in, niet verbeterd worden.

Gewapend met de juistheid van de kubieke grote zeef, herkalibreerden Dunn en Radziwiłł hun benadering van Pattersons vermoeden. Deze keer zijn ze geslaagd.

"Ik denk dat dat de belangrijkste reden was waarom niemand dit deed, omdat dit vermoeden [Heath-Brown] iedereen misleidde", zei Radziwiłł. "Ik denk dat als ik Heath-Brown zou vertellen dat zijn vermoeden onjuist is, hij er waarschijnlijk achter zou komen hoe hij het moest doen."

Dunn en Radziwiłł plaatsten hun paper op 15 september 2021. Uiteindelijk was hun bewijs gebaseerd op de algemene Riemann-hypothese, een beroemd onbewezen vermoeden in de wiskunde. Maar andere wiskundigen zien dit als slechts een klein nadeel. “We willen graag van de hypothese af. Maar we zijn blij met een resultaat dat sowieso voorwaardelijk is", zei Heidebruin, die nu emeritus hoogleraar is aan de Universiteit van Oxford.

Voor Heath-Brown is het werk van Dunn en Radziwiłł meer dan alleen een bewijs van Pattersons vermoeden. Met zijn onverwachte inzicht in de kubieke grote zeef, bracht hun papier een verrassend einde aan een verhaal waar hij al tientallen jaren deel van uitmaakt. "Ik ben blij dat ik niet echt in mijn paper heb geschreven: 'Ik weet zeker dat je hiervan af kunt komen'", zei hij, verwijzend naar het stukje zeef dat Dunn en Radziwiłł ontdekten dat essentieel was. “Ik zei gewoon: 'Het zou mooi zijn als men hiervan af kan komen. Het lijkt mogelijk dat je dat zou moeten kunnen.' En ik had het mis – niet voor de eerste keer.”