Een toren van vermoedens die op een naald rust | Quanta-tijdschrift

In de wiskunde is een eenvoudig probleem vaak niet wat het lijkt. Eerder deze zomer, Quanta gerapporteerd over een dergelijk probleem: Wat is het kleinste gebied dat je kunt vegen terwijl je een oneindig dunne naald in alle mogelijke richtingen draait? Draai het rond het midden als een wijzerplaat en je krijgt een cirkel. Maar als je het slimmer draait, kun je een willekeurig klein deel van de ruimte bestrijken. Als u niet wilt dat de naald in één doorlopende beweging beweegt, en in plaats daarvan eenvoudigweg een naald in elke richting neerlegt, kunt u een opstelling van naalden maken die helemaal geen gebied bedekt.

Wiskundigen noemen deze arrangementen Kakeya-verzamelingen. Hoewel ze weten dat dergelijke sets klein kunnen zijn in termen van oppervlakte (of volume, als je je naalden in drie of meer dimensies rangschikt), zijn ze van mening dat de sets altijd groot moeten zijn als hun grootte wordt gemeten met een metriek die de Hausdorff wordt genoemd. dimensie.

Wiskundigen moeten deze bewering, bekend als het Kakeya-vermoeden, nog bewijzen. Maar hoewel het ogenschijnlijk een simpele vraag over naalden is, "onderbouwt de geometrie van deze Kakeya-sets een hele reeks vragen op het gebied van partiële differentiaalvergelijkingen, harmonische analyse en andere gebieden", zei Jonathan Hickman van de Universiteit van Edinburgh.

Het vermoeden van Kakeya ligt aan de basis van een hiërarchie van drie centrale problemen in de harmonische analyse – een tak van de wiskunde die bestudeert hoe functies kunnen worden weergegeven als sommen van periodieke functies, zoals regelmatig oscillerende sinusgolven.

De volgende stap omhoog in die hiërarchie is het vermoeden van ‘beperking’. Als het waar is, dan is het vermoeden van Kakeya dat ook. (Dit betekent ook dat als het vermoeden van Kakeya onwaar blijkt te zijn, het vermoeden van de beperking niet waar kan zijn.) Het vermoeden van de beperking wordt op zijn beurt geïmpliceerd door het zogenaamde vermoeden van Bochner-Riesz. En helemaal bovenaan staat het vermoeden van lokale afvlakking.

De eerste twee vermoedens hebben betrekking op het gedrag van de Fourier-transformatie, een techniek in de harmonische analyse waarmee in feite wordt berekend hoe vrijwel elke functie kan worden uitgedrukt als een som van sinusgolven. Het is een van de krachtigste wiskundige hulpmiddelen die beschikbaar zijn voor natuurkundigen en ingenieurs. De Fourier-transformatie heeft een fundamentele rol gespeeld bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen, het uiten van kwantummechanische ideeën zoals het onzekerheidsprincipe van Heisenberg, en het analyseren en verwerken van signalen – waardoor zaken als moderne mobiele telefoons mogelijk zijn geworden.

Aangezien elke uitspraak in de hiërarchie de uitspraak eronder impliceert, is geen van de andere vermoedens waar als het vermoeden van Kakeya onwaar is. De hele toren zal instorten. "Je kunt een supermonster-tegenvoorbeeld creëren dat veel vermoedens zou doorbreken", zei Hickman.

Aan de andere kant zou het bewijzen van de waarheid van het Kakeya-vermoeden niet automatisch de waarheid van die andere vermoedens impliceren – maar het zou wiskundigen belangrijke inzichten geven over hoe verder te gaan.

En dus “werkt bijna de helft van de gemeenschap van harmonische analyse die ik ken aan deze en aanverwante problemen, of heeft er ooit aan gewerkt”, zei Shaoming Guo van de Universiteit van Wisconsin, Madison.

Meer recentelijk hebben wiskundigen tot hun verbazing ontdekt dat de technieken die zij hebben ontwikkeld om deze problemen aan te pakken, ook kunnen worden gebruikt om belangrijke resultaten te bewijzen op het ogenschijnlijk ongerelateerde gebied van de getaltheorie. “Het is een veel algemener fenomeen dan mensen dachten,” zei Guo.

Bladertaart

Het verhaal begint met de Fourier-transformatie. "Je wilt [functies] in kleine stukjes ontbinden, hun interacties analyseren en ze weer bij elkaar voegen", zegt hij Yumeng Ou van de Universiteit van Pennsylvania. Voor eendimensionale functies (krommen die je op een stuk papier kunt tekenen) weten wiskundigen goed hoe ze dit moeten doen, zelfs als ze de Fourier-transformatie moeten omkeren met slechts enkele stukjes.

Maar in twee of meer dimensies kan het rommelig worden.

In 1971, Charlie Feffermann, een wiskundige aan de Universiteit van Princeton, ontdekte hoe hij Kakeya-verzamelingen kon gebruiken om aan te tonen dat het omkeren van de Fourier-transformatie tot vreemde en verrassende uitkomsten in meerdere dimensies kan leiden.

Wiskundigen hebben een oplossing gevonden in de vorm van het vermoeden van Bochner-Riesz, dat in wezen stelt dat er meer geavanceerde manieren zijn om de oorspronkelijke functie te herstellen die niet kapot gaan zoals in het voorbeeld van Fefferman. Maar die oplossing hing af van de waarheid van het Kakeya-vermoeden.

Als het waar is, "zal het inkorten van frequenties slechts tot kleine fouten leiden", zei hij Betsy Stovall van de Universiteit van Wisconsin, Madison. “Het betekent dat de kleine fouten niet ontploffen.”

Zo begon de hiërarchie. Later ontdekten wiskundigen nog een ander belangrijk verband: als het waar was, impliceerde het vermoeden van Bochner-Riesz ook een verklaring die het restrictievermoeden werd genoemd. Dit vermoeden stelt dat als je begint met een beperkte versie van de Fourier-transformatie – waarbij je de waarden waarnaar je kijkt ‘beperkt’ tot alleen de waarden die op bepaalde oppervlakken leven – dit je nog steeds belangrijke informatie kan geven over de oorspronkelijke functie. En het bleek dat als het vermoeden van de beperking waar was, het vermoeden van Kakeya dat ook was. (Dit plaatste het beperkingsvermoeden tussen Kakeya en Bochner-Riesz in de toren.)

Het bekroningsprobleem in de hiërarchie, het lokale afvlakkingsvermoeden genoemd, houdt zich niet rechtstreeks bezig met de Fourier-transformatie, maar stelt eerder grenzen aan de omvang van oplossingen voor vergelijkingen die het gedrag van golven beschrijven.

Je kunt hier ook aan denken in termen van de geometrie van lijnen in een Kakeya-set. Je kunt een algemene oplossing voor de golfvergelijking opsplitsen in een aantal stukjes die in verschillende richtingen bewegen en in de loop van de tijd op verschillende manieren met elkaar interacteren. Elk van deze stukken lijkt wiskundig op een naald in een Kakeya-set. Het vermoeden van Kakeya stelt dat een dergelijke configuratie niet teveel overlap mag hebben. In deze fysieke context zouden overlappingen overeenkomen met het voortbestaan ​​van onregelmatig en onverwacht gedrag in de oplossing. Een geluidsgolf kan bijvoorbeeld in veel gebieden en op veel verschillende tijdstippen versterken.

Het lokale afvlakkingsvermoeden stelt dat dergelijke onregelmatigheden zouden moeten uitgemiddelden. "Het is alsof je het gemiddelde van de financiële markt neemt", zei hij Ciprian Demeter van de Indiana Universiteit Bloomington. "Er kunnen hier en daar crashes zijn, maar als je je geld belegt en over veertig jaar met pensioen gaat, is de kans groot dat je een aantal goede investeringen krijgt."

Maar zoals met alle vermoedens in de hiërarchie hangt dat af van de waarheid van het Kakeya-vermoeden. "Het idee is dat als je veel kruispunten in Kakeya-sets uitsluit, je situaties kunt uitsluiten waarin delen van je oplossing samenspannen om een ​​soort uitbarsting te creëren," zei Stovall.

Dit vermoeden is het moeilijkste van allemaal: terwijl de tweedimensionale gevallen van de Kakeya-, restrictie- en Bochner-Riesz-problemen tientallen jaren geleden werden opgelost, werd het tweedimensionale vermoeden van lokale afvlakking pas een paar jaar geleden bewezen. (In hogere dimensies blijven al deze problemen open.)

Maar ondanks de trage vooruitgang bij het bewijzen van het vermoeden van lokale afvlakking, heeft het werk daaraan elders tot enorme vooruitgang geleid. In 1999 introduceerde de wiskundige Thomas Wolff, terwijl hij dit vermoeden probeerde te ontkrachten, een methode die bekend staat als ontkoppeling. Sindsdien is die techniek een eigen leven gaan leiden: ze is gebruikt om grote doorbraken te bewerkstelligen, niet alleen op het gebied van de harmonische analyse, maar ook op het gebied van getaltheorie, meetkunde en andere gebieden. “Door ontkoppelingsresultaten te gebruiken, heb je nu wereldrecords in zeer bekende, belangrijke problemen”, zei hij Christoffel Sogge van de Johns Hopkins Universiteit, die in de jaren negentig voor het eerst het lokale afvlakkingsvermoeden formuleerde. Ontkoppeling is bijvoorbeeld gebruikt om te helpen tellen op hoeveel manieren een geheel getal kan worden weergegeven als de som van vierkanten, kubussen of een andere macht.

Zoals Demeter het uitdrukte, zijn deze resultaten mogelijk omdat “we getallen als golven kunnen beschouwen.” Dat al deze problemen verband houden met Kakeya-naaldensets “is fascinerend”, voegde hij eraan toe. “Je denkt niet dat er zoveel schoonheid, moeilijkheid en belang verborgen kan zitten in iets dat geformuleerd kan worden met behulp van lijnstukken.”