Kleuren op nummer onthult rekenkundige patronen in breuken

Een jaar nadat hij aan zijn Ph.D. in wiskunde aan de McGill University had Matt Bowen een probleem. "Ik deed mijn kwalificerende examens en deed het absoluut vreselijk", zei hij. Bowen was er zeker van dat zijn scores niet overeenkwamen met zijn wiskundige vaardigheden, en hij besloot het te bewijzen. Afgelopen herfst deed hij dat, toen hij en zijn adviseur, Marcin Sabok, boekte een grote voorsprong in het gebied dat bekend staat als Ramsey-theorie.

Al bijna een eeuw verzamelen Ramsey-theoretici bewijzen dat de wiskundige structuur blijft bestaan ​​in vijandige omstandigheden. Ze kunnen grote reeksen getallen, zoals de gehele getallen of breuken, uit elkaar halen, of de verbindingen tussen punten op een netwerk opsplitsen. Vervolgens vinden ze manieren om te bewijzen dat bepaalde structuren onvermijdelijk zijn, zelfs als je ze probeert te vermijden door op een slimme manier te breken of te snijden.

Wanneer Ramsey-theoretici het hebben over het opsplitsen van een reeks getallen, gebruiken ze vaak de taal van kleuren. Kies meerdere kleuren: rood, blauw en geel bijvoorbeeld. Wijs nu een kleur toe aan elk nummer in een verzameling. Zelfs als je dit op een willekeurige of chaotische manier doet, zullen er onvermijdelijk bepaalde patronen ontstaan ​​zolang je maar een eindig aantal verschillende kleuren gebruikt, zelfs als dat aantal erg groot is. Ramsey-theoretici proberen deze patronen te vinden door te zoeken naar gestructureerde getallenreeksen die 'monochromatisch' zijn, wat betekent dat hun elementen allemaal dezelfde kleur hebben gekregen.

De eerste kleurresultaten gaan terug tot het einde van de 19e eeuw. In 1916 had Issai Schur bewezen dat hoe je de positieve gehele getallen (ook wel natuurlijke getallen genoemd) kleurt, er altijd een paar getallen zal zijn x en y zoals dat x, y, en hun som x+y zijn allemaal dezelfde kleur. Gedurende de 20e eeuw bleven wiskundigen werken aan kleurproblemen. 1974, Nel Hindman verlengde het resultaat van Schur om een ​​oneindige deelverzameling van de gehele getallen op te nemen. Net als de stelling van Schur, is die van Hindman van toepassing ongeacht hoe de natuurlijke getallen zijn gekleurd (met een eindig aantal kleurpotloden). Niet alleen hebben deze gehele getallen in de verzameling van Hindman allemaal dezelfde kleur, maar als je een verzameling ervan optelt, zal het resultaat ook die kleur zijn. Dergelijke sets lijken in die zin op de even getallen, net zoals elke som van even getallen altijd even is, zo zou ook de som van alle getallen in een van Hindmans sets in die set zitten.

"De stelling van Hindman is een geweldig staaltje wiskunde", zei Sabok. "Het is een verhaal waar we een film van kunnen maken."

Maar Hindman dacht dat er meer mogelijk was. Hij geloofde dat je een willekeurig grote (maar eindige) monochromatische verzameling kon vinden die niet alleen de som van de leden bevatte, maar ook de producten. "Ik heb tientallen jaren volgehouden dat dat een feit is", zei hij, eraan toevoegend: "Ik beweer niet dat ik het kan bewijzen."

Hindmans vermoeden

Als je de som opgeeft en er alleen voor wilt zorgen dat de producten dezelfde kleur hebben, is het eenvoudig om de stelling van Hindman aan te passen door machtsverheffen te gebruiken om sommen om te zetten in producten (net zoals een rekenliniaal dat doet).

Worstelen met sommen en producten tegelijkertijd is echter veel moeilijker. "Het is heel moeilijk om die twee met elkaar te laten praten", zei hij Joël Moreira, een wiskundige aan de Universiteit van Warwick. "Begrijpen hoe optellen en vermenigvuldigen zich verhouden - dit is in zekere zin bijna de basis van de hele getaltheorie."

Zelfs een eenvoudigere versie die Hindman in de jaren zeventig voor het eerst voorstelde, bleek een uitdaging. Hij vermoedde dat elke kleuring van de natuurlijke getallen een monochromatische set van de vorm {x, y, xy, x+y} — twee cijfers x en y, evenals hun som en product. "Mensen hebben decennia lang geen vooruitgang geboekt met dit probleem", zei Bowen. "En dan ineens, rond 2010, begonnen mensen er steeds meer dingen over te bewijzen."

Bowen leerde over de {x, y, xy, x+y} probleem in 2016, zijn tweede semester van de universiteit, toen een van zijn professoren aan de Carnegie Mellon University het probleem in de klas beschreef. Bowen werd getroffen door de eenvoud ervan. "Het is een van die coole dingen waar het is alsof, nou, ik weet niet veel wiskunde, maar ik kan dit wel begrijpen," zei hij.

In 2017 Moreira bewezen dat u wel altijd zoek een monochromatische set die drie van de vier gewenste elementen bevat: x, xy en x + y. Ondertussen begon Bowen tijdens zijn laatste jaar terloops aan de vraag te sleutelen. "Ik kon het probleem niet echt oplossen," zei hij. "Maar ik zou er ongeveer om de zes maanden op terugkomen." Na zijn slechte resultaat op zijn Ph.D. kwalificerende examens in 2020, verdubbelde hij zijn inspanningen. Een paar dagen later had hij de {x, y, xy, x+y} vermoeden voor het geval van twee kleuren, een resultaat dat Ron Graham al in de jaren zeventig had bewezen met behulp van een computer.

Met dat succes werkte Bowen samen met Sabok om het resultaat uit te breiden naar een willekeurig aantal kleuren. Maar al snel raakten ze verstrikt in technische details. "De complexiteit van het probleem loopt volledig uit de hand als het aantal kleuren groot is", zei Sabok. 18 maanden lang probeerden ze zichzelf te bevrijden, met weinig geluk. "Gedurende deze anderhalf jaar hadden we ongeveer een miljoen verkeerde bewijzen", zei Sabok.

Eén moeilijkheid in het bijzonder weerhield de twee wiskundigen ervan vooruitgang te boeken. Als je willekeurig twee gehele getallen kiest, kun je ze waarschijnlijk niet delen. Delen werkt alleen in het zeldzame geval dat het eerste getal een veelvoud is van het tweede. Dit bleek uiterst beperkend te zijn. Met dat besef draaiden Bowen en Sabok zich om te bewijzen dat de {x, y, xy, x+y} vermoeden in de rationale getallen (zoals wiskundigen breuken noemen) in plaats daarvan. Daar kunnen getallen met overgave worden gedeeld.

Het bewijs van Bowen en Sabok is het elegantst wanneer alle betrokken kleuren veelvuldig voorkomen in de rationale getallen. Kleuren kunnen op verschillende manieren "vaak" voorkomen. Ze kunnen elk grote delen van de getallenlijn beslaan. Of het kan betekenen dat je niet te ver langs de getallenlijn kunt reizen zonder alle kleuren te zien. Meestal voldoen de kleuren echter niet aan dergelijke regels. In die gevallen kun je je concentreren op kleine gebieden binnen de rationale getallen waar de kleuren vaker voorkomen, legt Sabok uit. "Hier kwam het grootste deel van het werk", zei hij.

In oktober 2022 plaatsten Bowen en Sabok een bewijs dat als je de rationale getallen met een eindig aantal kleuren kleurt, er een set van de vorm {x, y, xy, x+y} waarvan de elementen allemaal dezelfde kleur hebben. "Het is een ongelooflijk slim bewijs," zei Imre leider van de Universiteit van Cambridge. “Het maakt gebruik van bekende resultaten. Maar het combineert ze op een absoluut briljante, zeer originele, zeer innovatieve manier.”

Er blijven genoeg vragen over. Kan een derde nummer z aan de collectie worden toegevoegd, samen met de daaruit voortvloeiende bedragen en producten? Om aan Hindmans stoutste voorspellingen te voldoen, zou een vierde, een vijfde en uiteindelijk willekeurig veel nieuwe getallen aan de reeks moeten worden toegevoegd. Het zou ook nodig zijn om van de rationele getallen naar de natuurlijke getallen te gaan en een manier te vinden om het raadsel van de verdeling te omzeilen dat de inspanningen van Bowen en Sabok belemmerde.

Leader gelooft dat, nu Moreira, Bowen en Sabok allemaal aan het probleem werken, dat bewijs niet ver weg zal zijn. "Die jongens lijken bijzonder briljant in het vinden van nieuwe manieren om dingen te doen," zei hij. "Dus ik ben nogal optimistisch dat zij of sommige van hun collega's het zullen vinden."

Sabok is voorzichtiger in zijn voorspellingen. Maar hij sluit niets uit. "Een van de charmes van wiskunde is dat voordat je een bewijs krijgt, alles mogelijk is", zei hij.